基于菲涅爾透鏡的改進型紋影成像系統

黃鈺堃 馬啟涵 張國鋒

(北京航空航天大學，1航空科學與工程學院； 2物理科學與核能工程學院，北京 100191)

紋影法作為一種流動顯示方法，可將透明氣體介質內部的密度變化可視化，因而常用于對邊界層、氣體燃燒等流動現象的觀測[1]。紋影系統的性能主要用靈敏度來衡量，即系統對被觀測氣體密度(或折射率)微小改變的響應能力[2]。

在平行光紋影系統中，透射式紋影系統成像質量好，但由于其所需大口徑的雙球面透鏡加工十分困難，故常采用反射式紋影系統來代替[1]。然而，反射式紋影系統所需的大口徑精密凹面鏡價格也十分昂貴，一般的小型實驗室難以負擔。菲涅爾透鏡常用于投影、聚光場合。由于其結構特性，菲涅爾透鏡加工簡單，制造成本低，且容易制作成大直徑透鏡[3]。雖然其精度較傳統透鏡稍低，但是使用菲涅爾透鏡作為紋影透鏡搭建紋影設備應該可以滿足小型實驗室較低成本的觀測需求。經調研發現，目前尚未有相關文獻對菲涅爾透鏡的替代可行性進行研究。

基于此，本文根據紋影法相關理論，嘗試采用大直徑(360mm)菲涅爾透鏡搭建透射式紋影法光路，通過實驗研究采用菲涅爾透鏡代替傳統透鏡搭建紋影系統的可行性，并計算實驗中紋影系統的靈敏度。最后針對菲涅爾透鏡的一些成像問題，討論相應的圖像后處理方案。

1 紋影法成像原理分析

1.1 光線的偏折

圖1 波陣面面元的偏折

設光線從空氣正入射，其波陣面經不均勻介質后發生偏轉。進一步，考慮長度為Δy的波陣面微元，經微小時間Δt后整體偏轉一小角度Δα0。設面元兩端y1，y2處介質折射率為n1，n2，其差值Δn為一小量。微元中間任取一點z1，可直接設該處介質折射率為n。n的連續變化導致光線實際偏折路徑為曲線，但偏折角Δα0為小量，因此偏折的光線可近似為直線處理，在計算時也可視為水平。可得

(1)

(2)

(3)

設不均勻介質在z方向長度為L，對上式積分可得到光線通過整個介質區域的總偏折角為

(4)

假設擾動區與空氣被平板薄玻璃隔開，光線從不均勻介質進入空氣后，將再次發生折射。設空氣折射率為1，光線折射角為α，若L不太大，則α0與α均為有限值，近似滿足小角度條件，由折射定律可得

α=nα0

(5)

將式(4)代入式(5)，由于n不沿z方向變化，故可直接代入積分號，可得

(6)

上式揭示了光線離開不均勻介質后其出射角與介質折射率梯度間的關系。

1.2 成像系統的反差和靈敏度

典型的透射式紋影法光路如圖2所示[5]。

圖2 透射式紋影光路

當使用點光源作為系統光源時，凸透鏡L1將點光源轉為平行光。在兩透鏡間，介質受到擾動變得不再均勻，從而使得部分光線發生偏折。在凸透鏡L2的焦平面處放置刀口，由于刀口的遮擋作用，部分偏折的光線將不能到達屏幕，因此屏上可以觀察到明暗圖像。

如果用擴展光源代替點光源，如圖3所示，可以將擴展光源視為一系列的點光源[6]。這樣，在凸透鏡L2的焦平面處將成一個擴展光源的倒像。此時若用刀口在焦平面上遮擋部分的像，可觀測到屏幕均勻地變暗。取受擾動的某點為研究對象，由于擴展光源上所有點光源都有光線射向該擾動點，因此來自擴展光源的一系列光線均受到了偏折。這些光線在凸透鏡L2后會在刀口處成像，且由于偏折，像的位置發生了偏移。最終在凸透鏡L3的作用下，該系列光線在觀察屏上對應的位置成像。

圖3 用擴展光源成像

圖4 刀口處的擴展光源像(視圖沿光線傳播方向)

在刀口處，受擾動光線的偏移使得它與未受擾動的背景光線區分開，因此刀口對擾動光線和背景光線強度的削弱是不同的。在成像透鏡的作用下，屏上就呈現出了擾動的像。紋影圖像同時展現了擾動的形狀和強度。參看圖4，設刀口處受擾動前擴展光源像的幾何尺寸是a0×b0(a0與b0分別為寬度和長度，一維時僅有a0)，其中刀口法線方向未被刀口遮擋部分像長度是ak。設光線受擾動后向上偏轉，使得受擾動后擴展光源的像相比原像高出了Δa[5,7]。特別地，我們對刀口外法線方向做一規定：對圖4所示情況，刀口橫置，且遮擋像的下半部分，則其外法線方向為y正方向，類似可推得其他情況。

設光線經擾動區后的出射角α滿足小角度假設，由相關文獻[5]可得

Δa=±αf2

(7)

式中f2為透鏡L2的焦距，正負號表明了刀口的放置位置，其中正號表示刀口外法線指向y的正方向。設未受擾動前觀察屏上某位置光強為Ik，光線偏折后該位置光強為Ia，則根據圖4可得

(8)

光強的相對變化稱為反差，用RC表示[5,7]，滿足

(9)

仍然考慮前一節所述的一維情況。進而將式(6)代入式(9)可得

(10)

為建立擾動區介質折射率n與對應密度ρ間的關系，引入描述流體密度和折射率間關系的Gladstone-Dale公式[5-7]：

(11)

(12)

將上式代入式(10)，可得

(13)

可見，紋影照片上的明暗反映了密度在刀口法線上的分布，變亮表示沿刀口法線方向密度增大，變暗表示沿刀口法線方向密度減小。特別地，紋影系統靈敏度反映了系統對被觀測氣體密度(或折射率)微小改變的響應能力，根據參考文獻[5,7]定義如下

(14)

2 裝置的搭建

在對紋影法原理進行分析后，開始著手搭建基于菲涅爾透鏡的透射式紋影系統。菲涅爾透鏡保留了傳統透鏡光學表面的彎曲度，而將連續表面部分“坍陷”到一個平面上形成一系列鋸齒形凹槽，每個凹槽都將光線匯于一處形成透鏡焦點(參看圖5)。因此，菲涅爾透鏡相比傳統透鏡在大量減少光學材料使用的同時兼具了良好的聚光特性，用其替代原紋影系統中的玻璃透鏡將使得成本大大降低[3]。

圖5 菲涅爾透鏡(a)和傳統透鏡(b)

由于較大的透鏡對空間尺度較大的現象有更好的觀測效果，為了保證其靈敏度，紋影透鏡的焦距應盡量的大。又考慮到實驗室的空間大小，因此采用了兩片直徑360mm、焦距900mm的菲涅爾透鏡作為紋影透鏡。

參考相關文獻[2]、[8]，設計實驗光路如圖6所示：

圖6 本實驗搭建的光路圖

實驗中使用汞燈作為光源，經凸透鏡匯聚到狹縫后形成上文所述的擴展光源。兩片菲涅爾透鏡之間為擾動區，刀口位于第二個菲涅爾透鏡的焦平面處。在刀口后方，光線經過凸透鏡最終匯聚到CCD上形成紋影圖像。實驗使用的部分裝置如圖7所示。注意圖示位置刀口豎置，其法線為水平方向。

圖7 部分實驗裝置(a) 菲涅爾透鏡； (b) 刀口，凸透鏡和CCD

3 裝置可行性驗證

擾動區分別用打火機與酒精燈作為擾動源，使用計算機記錄CCD得到的圖像準備后處理。觀察打火機丁烷氣體噴出穩定的過程，如圖8所示。

圖8 逐漸穩定的丁烷氣流

噴出的丁烷氣體與周圍空氣分界明顯，說明搭建的裝置可以對密度不同的氣體加以區分。更換CCD前的聚焦透鏡，可以改變視場的大小。增大視場后，便于對酒精燈造成的熱氣流進行成像，如圖9所示。

圖9 CCD觀察到的點燃的酒精燈(a) 安靜無擾動地燃燒； (b) 受到輕微的空氣擾動

該熱氣流的主要成分仍為空氣，因此G-D常數可視為不變。從紋影圖像中可清晰觀察到，熱氣流處的亮度明顯低于周圍空氣，與前述理論相符合。

為進一步說明裝置可行性，還需驗證刀口的作用。保持刀口方向豎直，并緩慢沿著刀口法線方向，即水平方向移動刀口，使刀口漸漸遮擋住更多部分，可以觀察到整個屏幕內的光強均勻地變弱，如圖10所示。

圖10 刀口沿法線方向平移

改變刀口法線方向，使得刀口分別遮擋住上部區域(圖11(a))，遮擋住下部區域(圖11(b))，遮擋住左部區域(圖11(c))。

圖11 不同的刀口方向(a) 刀口在上； (b) 刀口在下； (c) 刀口在左

對于前兩種情況，刀口的法線在豎直方向，熱氣流在水平方向上沒有明顯的分界；對第三種情況，刀口的法線在水平方向，可觀察到熱氣流在水平方向分界明顯，且擾動區從左到右亮度先減小后增大。此現象與上文式(13)結論相對應,即紋影照片中的明暗表征密度沿法線方向的分布，變亮表示密度增大，變暗表示密度減小。

上述的一系列實驗表明實驗現象與理論規律吻合，使用菲涅爾透鏡搭建的紋影光路可以用于對變密度氣體的觀察。

4 靈敏度計算與圖像后處理

從前述實驗現象不難看出，菲涅爾透鏡搭建的紋影系統相比傳統系統具有更大的視場，且可以清晰地反映出擾動區的密度梯度，但是其缺點也很明顯：視場內存在明暗不一的背景光。這是由于菲涅爾透鏡常用亞克力等材料制作，透鏡的剛度很低，容易發生微小的形變，從而使得光線發生了非預期的偏折。為了提高觀測精度，使紋影系統真正具有使用價值，可利用圖像處理技術對明暗不均勻的背景圖像進行處理，以還原目標圖像真實信息。

由于用CCD采集的紋影圖像為黑白圖像，因此在這里我們以圖像灰度值作為亮度的度量進行后處理。具體方法如下：首先獲取無擾動時的CCD圖像，作為背景圖像，如圖12(a)所示；再獲取有擾動時的CCD圖像，作為目標圖像。由于實驗過程中火焰擾動現象最為明顯，因此此處以火焰擾動為例進行說明，如圖12(b)所示；進一步，調用計算機相關軟件包(本文以Matlab為例)處理圖像，為了避免目標圖像較背景圖像暗的區域與背景混疊，分別逐點提取目標圖像和背景圖像的灰度值，構成灰度矩陣Gt和Gb，兩者相減，得到結果圖像的灰度矩陣Gs=Gt-Gb，并根據Gs繪制最終結果圖像，如圖12(c)所示。

圖12 圖像處理過程(a) 背景圖像； (b) 待觀測圖像； (c) 最終結果圖像

圖13 酒精燈火焰擾動氣流圖像的灰度峰圖

去除了背景干擾的圖片為定量試驗提供了可能性，進而可獲取受擾動氣體相對背景的灰度偏差作為亮度的定量表示。仍以酒精燈的擾動氣流圖像為例進行說明，將上述去除了背景的圖像導入Matlab后，將每個像素點的灰度值作為縱坐標值，像素點的平面位置作為x，y坐標值，可以得到三維的灰度分布圖像，如圖13所示。正視該三維圖，可得到圖上灰度沿著橫向或者縱向的分布峰值，進而可讀出灰度最大值與最小值偏離背景常數的多少。將兩個偏離的絕對值取較大值，就是該圖像的最大灰度偏差。該值可以反映人眼辨識圖像中擾動氣體的難易程度，最大灰度偏差越大，人眼越容易辨識圖像中的擾動氣體[9]。

使用上述圖片后處理方法，可以定量測量出任一特定位置的圖像灰度值，根據實際需求獲取所需的擾動區氣體空間形狀、密度梯度等信息。

5 結語

經實驗發現，使用菲涅爾透鏡作為紋影透鏡可以滿足精度要求不高情況下的觀測需求，雖然其制造誤差、實驗光路誤差造成視野內光線亮度并不均勻，但是結合相關軟件的圖像處理技術可以將背景濾去，只留下由擾動形成的像，方法具有一般性。且由于菲涅爾透鏡直徑大，改進后紋影系統對于較大空間尺度的氣體觀測有一定的優勢，為小型實驗室的流動觀測實驗提供了一種低成本的解決方案。該系統同時具有搭建簡單、易于攜帶的優勢，可用于教師進行實驗教學及學生進行創新實驗研究。