Matlab在繪制兩相互垂直斜鋸齒振動與簡諧振動合成運動軌跡圖形的應用

劉會玲 王小克 牛海波 趙麗華 胡齡之 雷玉明

(西安交通大學城市學院，陜西 西安 710018)

1 提出問題

在振動學中，相互垂直的兩簡諧振動合成時，如果兩簡諧振動的頻率相同，則可形成穩定的橢圓曲線，極端條件為圓和直線；而當兩相互垂直的簡諧振動頻率不同時，合成運動比較復雜，其運動軌跡一般不閉合，但當兩分振動頻率成簡單的整數比時，其合成運動的軌跡則為封閉曲線，因由法國物理學家李薩如發現而得名，故稱為李薩如圖形(Lissajous figure)。而相互垂直的兩任意振動的合成運動軌跡圖形，則稱為廣義李薩如圖形。

在學習物理學的波動理論和大學物理實驗的振動合成時，都接觸過李薩如圖形，關于李薩如圖形的幾何特征(大小、結構、對稱性、歪曲方向和歪曲程度等)，以及李薩如圖形的合成軌跡受多個因素(兩個分振動的頻率比、初相位、相位差等)的影響規律，書中也有很好的歸納和總結，然而，這些結論比較抽象，不易理解和掌握；雖然課堂上和實驗室中也有很多演示李薩如圖形的方法，比如物理課堂上用激光來演示李薩如圖形，實驗室中用示波器來顯示，但是一般都需要比較多的儀器來配合完成，而且演示的效果及種類受儀器的限制，很難滿足實際的需求。

如果能夠用軟件繪制出多種情況下的李薩如圖形，就可以直觀體現出李薩如圖形的幾何特征，以及上述因素對軌跡合成的影響，從而便于學生比較分析，進行深入理解和認識，為教學和測量提供有效的手段。

本文主要介紹利用MatLab編程繪制廣義李薩如圖形，主要繪制不同參數下的兩相互垂直的斜鋸齒振動與余弦振動的合成運動軌跡圖形，鋸齒振動也是一種簡單的周期性振動，兩相互垂直的鋸齒振動與簡諧振動的合成運動軌跡圖形，也可以用兩相互垂直簡諧振動的合成運動軌跡圖形的方法討論。此類合成運動軌跡圖形比較復雜，而MatLab編程繪制這類圖形快速、靈活且準確度高，從而體現出其在繪圖方面的強大功能。

2 用Matlab編程繪制 兩相互垂直斜鋸齒振動與簡諧振動合成運動軌跡

2.1 鋸齒函數的定義

相位φ的鋸齒函數S(φ) 定義如下：

圖1 S(φ) 函數曲線(a) α=π; (b) 0<α<π; (c) π<α<2π; (d) α=0

(1)

在式(1)給定的鋸齒函數中，α為常數。圖1是S(φ) 的函數曲線，其中橫坐標代表相位φ，縱坐標代表函數S(φ)(RS(φ)、OS(φ) 和IS(φ))，這3類函數定義見下面幾段文字。

習慣上，把α等于π的鋸齒函數，稱為正鋸齒函數，記作RS(φ)，對應的曲線叫做三角波，見圖1(a)；

把α等于零的鋸齒函數，稱為理想鋸齒函數，記作IS(φ)，對應的曲線見圖1(d)；

把α不等于零和π的鋸齒函數，統稱為斜鋸齒函數，記作OS(φ)，對應的曲線如圖1(b)和1(c)。

它們所描述的振動，分別稱為正鋸齒振動、理想鋸齒振動和斜鋸齒振動。

2.2 兩相互垂直斜鋸齒振動與余弦振動的合成運動

設x分振動為斜鋸齒振動，y分振動為余弦振動，合成運動的方程為

(2)

2.3 繪制上述合成運動軌跡圖形的程序設計

Matlab中的M文件的語法與C語言類似，是一種程序化的編程語言，同時也是一種解釋性的編程語言，即逐行解釋運行程序，程序更容易調試。它只是一個簡單的ASCII碼文本文件，語法比一般的高級語言都要簡單，與數學語言比較接近，更容易掌握和理解。

以下是用MatLab編程繪制的不同頻率比(為有理數)、不同相位差的兩相互垂直斜鋸齒振動與余弦振動合成運動軌跡圖形程序的完整代碼：

clc;clear;

fx=1;

f0=0;

ffx=0:0.01:(2*pi);

y1=zeros(size(ffx));

N=length(ffx);

for k=1:N

x=floor((ffx(k)-f0)/(fx*pi))/2;

if(x==floor(x))

y1(k)=2*(2*x+f0/(fx*pi))+1-2*ffx(k)/(fx*pi);

else

y1(k)=-1+2*(ffx(k)-(2*x)*pi*fx)/(fx*pi)-2*f0/(fx*pi);

end

end

fy=1;

fy0=0;

ffy=0:0.01:(2*pi);

y2=zeros(size(ffy));

N=length(ffy);

for k=1:N

x=floor((ffy(k)-fy0)/(fy*pi))/2;

if (x==floor(x))

y2(k)=2*(2*x+fy0/(fy*pi))+1-2*ffy(k)/(fy*pi);

else

y2(k)=-1+2*(ffy(k)-(2*x)*pi*fy)/(fy*pi)-2*fy0/(fy*pi);

end

end

y3=cos(ffy+fy0);

plot(y3,y1,'k');

2.4 上述合成運動軌跡圖形結果

下面是不同頻率比、不同相位差的兩相互垂直斜鋸齒振動與余弦振動合成運動軌跡圖形的舉例圖像，見圖2，以便學生對比研究。

3 應用上述Matlab程序繪制并分析兩相互垂直振動的合成運動軌跡圖形的分振動頻率比規律

3.1 兩相互垂直簡諧振動合成運動軌跡圖形的分振動頻率比規律

在李薩如圖形中，當兩相互垂直的簡諧振動的頻率比為整數比時，若設Y方向振動的頻率為fY，X方向振動的頻率為fX，設縱直線與合成運動軌跡的切點數為nY，橫直線與合成運動軌跡的切點數為nx，則Y方向振動與X方向振動的頻率比規律為：fY：fX=nx：nY，或者說兩相互垂直的簡諧振動的周期比為整數比時，則XY方向振動的周期比等于圖形中橫縱切點數目比。

當兩相互垂直簡諧振動頻率比一定時，李薩如圖形隨相位Φ變化周期性地變化，若Φ取一個周期2π內的一系列適當值，作出一組李薩如圖，稱為系列圖。

系列圖可以形象地表示出分振動頻率比與橫縱切點數的關系，及不同頻率比時的李薩如圖形隨Φ變化的規律，同時還可根據系列圖推想出該頻率比的所有李薩如圖形的性狀。圖3是幾種不同頻率比的兩相互垂直簡諧振動合成運動軌跡系列圖。

圖2 兩相互垂直的斜鋸齒振動與余弦振動的合成運動軌跡圖形舉例圖

圖3 幾種不同頻率比的兩相互垂直的簡諧振動合成運動軌跡系列圖

圖4 幾種不同頻率比的兩相互垂直的正鋸齒振動與余弦振動的合成運動軌跡系列圖

從系列圖還可以看出，李薩如圖形性狀與Φ值和頻率比有關，與頻率比對應的兩個分振動fY、fX的大小沒有直接關系。

3.2 兩相互垂直的正鋸齒振動與余弦振動合成運動軌跡圖形、兩相互垂直正鋸齒振動合成運動軌跡圖形的分振動頻率比規律

圖4是幾種不同頻率比的 兩相互垂直的正鋸齒振動與余弦振動的合成運動軌跡系列圖。圖5是幾種不同頻率比的 兩相互垂直正鋸齒振動的合成運動軌跡系列圖。

從圖3、圖4和圖5可以看出，合成運動軌跡圖形具有相似性，所以當兩相互垂直的鋸齒振動的頻率比為整數比時，或者當兩相互垂直的鋸齒振動與簡諧振動的頻率比為整數比時，其分振動的頻率比仍遵循兩相互垂直的簡諧振動合成運動軌跡圖形的頻率比規律。

3.3 兩相互垂直鋸齒、兩相互垂直鋸齒與簡諧振動及兩相互垂直簡諧振動的合成運動軌跡圖形的相似性

正鋸齒函數曲線與余弦函數曲線除去連接兩個時間相鄰的極值點的函數曲線為直線段之外，正鋸齒函數曲線與余弦函數曲線有許多共同之處。因此，兩相互垂直的正鋸齒振動的合成運動軌跡圖形，或相互垂直的正鋸齒振動與余弦振動的合成運動軌跡圖形，與兩相互垂直的余弦振動合成運動軌跡圖形具有一定的相似性。

圖5 幾種不同頻率比的兩相互垂直的正鋸齒振動的合成運動軌跡系列圖

理想鋸齒函數和斜鋸齒函數的性質與余弦函數有較大的差別，但也有一些共同之處，它們都是相位和時間的周期函數，相位周期為2π，時間周期為1/f，在一個周期內，函數只有一個極大值和一個極小值，在時間相鄰的正、負極值點之間，函數隨自變量單調連續地變化，因此，兩相互垂直的簡諧振動的合成運動軌跡圖形的很多規律，也適用于兩相互垂直的理想鋸齒(或斜鋸齒)振動的合成運動軌跡圖形，及相互垂直的理想鋸齒(或斜鋸齒)振動與簡諧振動的合成運動軌跡圖形。

4 總結

上面的程序具有通用性，只需要更改函數及參數，就可以繪制出各種情況的這類合成運動軌跡圖形。利用Matlab編程還可以繪制高斯分布、麥克斯韋分布、電場分布、等勢線分布、等厚干涉及干涉衍射圖樣等等。物理學是一門實驗性很強

的科學，其理論是建立在實驗的基礎之上的，由于實驗條件的限制，物理學中的許多內容無法在課堂上直接用實驗來驗證，使學生對理論的理解有一定的困難，而通過Matlab數值計算和圖形模擬，能夠把抽象復雜的物理概念和公式以更加直觀的圖形形式呈現出來，從而激發學生學習的興趣，提高了教學質量。同時通過繪制出的圖形，還可以進行很多方面的分析和研究，在解決實際問題時有著非常重要的作用。