為大汗獻出天文與算術之鑰

陳巍，理學博士，現為中國科學院自然科學史研究所副研究員。主要研究科技知識在古代世界的傳播并把世界連為一體的歷程。喜愛“上窮碧落下黃泉”，品鑒各個文明在應對相似問題時展現出的智慧。

在長達近千年之間，中世紀伊斯蘭世界高舉的對知識和學術的火炬，幾乎只是在各個王朝都城之間傳遞，而并沒有熄滅。盡管思想創新的自由流動逐漸受到限制，但至少在15世紀初，從北非到安納托利亞，再到中亞，新的學術中心在繼續形成。其中，在中亞阿姆河與錫爾河之間（即“河中地區”），帖木兒汗國興盛一時。它繼承了此前各個大型伊斯蘭政權把首都建設為文化與學術中心的壯志，經過帖木兒大帝、沙哈魯和兀魯伯3代大汗的建設，帝國都城撒馬爾罕聚集了大批各個領域的英才。這批學者中最著名的，當屬天文學家和數學家阿爾，卡西（Jamshid al-Kashi.1380-1429）和詩人魯米。前者以其制作天文儀器的杰出才能，以及《算術之鑰》中的眾多成就，不僅成為服務兀魯伯學術愛好的得力助手，同時也在科技史上留下顯赫聲名。

學者生涯

1380年，阿爾·卡西生于現伊朗中部的文化城市卡尚，當時此地受帖木兒汗國控制。他早年生活似乎比較動蕩，因而有努力向學改變命運的想法。但我們并不清楚他早年的成長與求學經歷，只能從1406年在卡尚的一次月食觀測中看到卡西最早的學術印跡。次年，他將一本天文學著作《天國階梯》獻給當地長官。此后他不斷向更高層級的貴族呈現學術著作以尋求庇護和資助。最終，他的成就得到當時還是太子的兀魯伯的注意，后者不但是王儲，還熱衷于天文觀測，正在撒馬爾罕準備興建規模龐大的天文臺，卡西關于建造觀測儀器的論述適逢其會。

從1417年起，兀魯伯開始在撒馬爾罕開設傳授神學、教法、邏輯學、數學和自然科學的學堂，為此他希望邀請各個領域的頂尖學者前來主持。在這個研究機構里，卡西作為最杰出的天文和數學家而受到倚重。1424年，兀魯伯的天文臺破土動工，卡西繼續被委任設計當時尺寸最大、測量最精確的儀器。

比起少年時期的坎坷，此時的卡西可謂已躋身成功人士之列。在回復仍留在卡尚的父親的信件時，卡西生動地記載了他在撒馬爾罕的生活，包括兀魯伯這樣的君主是如何頻繁地光顧科研機構、他們的交往是多么密切，在與學院中其他六七十名學者辯駁或解決學術難題時他取得了多么輝煌的勝利，以及天文臺的儀器是如何制作的等內容。兀魯伯在很多方面都接納了卡西的建議，可見他們二者之間緊密的合作關系。當然，這封信也成為研究帖木兒帝國科技史的重要資料。

卡西之興與衰都與兀魯伯有千絲萬縷的聯系。1429年6月22日，卡西在撒馬爾罕天文臺外遇刺身亡，年僅49歲。他暴亡的幕后兇手據說就是兀魯伯，因為卡西對朝中另一派神學家持激烈的反對態度，這使得兀魯伯不得不因平衡勢力而忍痛割愛。不過，卡西追尋的科學事業并沒有因他之死而中斷，他未完成的著作在其身后仍被補充完善，兀魯伯的天文臺則一直維持運營到15世紀中葉。

測天之器

卡西在抵達撒馬爾罕之前就開始在天文學領域作出貢獻。1413年，他在赫拉特完成了《哈卡尼星表》，這部星表改進了一個半世紀前納西爾丁·圖西（詳見本刊2018年11月《從“鷹巢”圖書館到大汗天文臺——納西爾丁·圖西》一文）的《伊利汗星表》。卡西以六十進制的形式（卡西常用六十進制表示數值，但他對推廣十進制也作出了許多努力），為每個角度求出分、秒以下4位（相當于十進制的小數點后8位）的精確數值，并制作表格幫助閱讀者進行天球坐標系的轉換（如從黃道坐標系變換為赤道坐標系）。這部書中還記載了河中地區許多地點的地理坐標，從而讓繪制這一地區更精確的地圖成為可能。

在天文儀器的發展歷史上，卡西也占據著相當重要的地位。他首先研究了此前伊利汗國馬拉蓋天文臺所使用的儀器，并在《喜悅花園》中描述了被他稱為“聯星盤”和“環帶盤”的2種儀器。聯星盤是10世紀早期發展出的行星定位儀的最終發展形態，其功能是在幾乎不使用天文表的前提下，僅用機械方法就能給出行星在任意時間在黃道上的位置。卡西較前人作出的改進是在儀器中添置帶有平行刻度尺的中央照準儀，在刻度尺的幫助下，觀測操作可以方便地依靠觀察照準儀的投影進行。環帶盤則可以根據事先計算的每個行星的經度差，以及它們在各自軌道中每天穿越的距離，用機械計算2個行星相會合的日期。可惜的是，我們還不太了解這種計算儀器的其他細節。

一代算圣

卡西更大的成就在于數學，尤其是三角函數和代數領域。這方面他的代表作是1427年完成的《算術之鑰》。這是一部內容如百科全書般豐富的數學著作，卡西希望通過運用“由相關已知量求得未知數的基本規則組成的科學”，也就是算術學，解決涉及天文學、測量學和社會經濟生活等廣泛領域內的問題，例如他以精湛的數學技能用復雜的計算方法和構造，計算出曲線外切體、斜圓柱體、斜錐形體、尖拱、拱頂、圓頂和鐘乳石形體，以及其他不規則的空心體的體積，從而見證了在15世紀前半葉阿拉伯 伊斯蘭文化區在數學上全面而專業的知識。

《算數之鑰》中最顯著的成就在于，卡西在書中借計算任意數字的五次方根，而總結出計算任意次方根的任意位小數結果的一般性方法，也就是西方數學所說的“霍納法”。值得注意的是，卡西之前約200年，這種計算方法在中國南宋數學家秦九韶的《數書九章》中就得到運用。卡西利用構造五次方程求得數值解的思路，與秦九韶的方法有類似之處，這或許不能只用不謀而合概括，也許蒙古帝國向西的征伐裹挾著懂得這類算法的學者向西游歷，讓這種算法為伊斯蘭學者所知。

我們熟知在探索圓周率精確數值的歷史上，祖沖之曾讓中國學者在各文明競賽中一度領先，卡西則把祖沖之又大大甩到身后（當然他比祖沖之要晚約1000年之多）。在1424年完成的《圓周論》里，他批判了前人所使用的方法，而通過計算圓內接和外切3 × 228.即800335168邊形的周長，給出了2倍圓周率（2π）精確到六十進制下9位之多的數值（其精確度相當于十進制下小數點后16位），即π≈3.14159265358979325。卡西在該書導言中提到，在宇宙那么大的尺度下，哪怕所用圓周率存在極小誤差，也會導致實際觀測中的顯著錯誤。用他所提供的圓周率數值計算出的結果，能夠讓觀測結果與預測值的誤差在1根馬毛（波斯長度單位，約等于寸的1/36）的寬度以內。這個結果比近200年后歐洲學者范·羅門給出的結果還要準確（但后者卻常被稱贊使圓周率測量進入了一個新的光輝時代）。

在未完成的著作《論弦與正弦》中，卡西計算出了從1°開始的精確到六十進制下10位的正弦值。此前學者們多依賴古典時期天文大師托勒密計算正弦的方法，在3°間隔下只能計算出個別角度的正弦值。卡西在計算方法上進行了創新，提出sin3θ=3sinθ4sin³θ。如果θ=1°時，就可以根據此前已知的3°正弦值計算出每隔1°的正弦數值。這樣計算正弦數值就被轉化為解三次方程。這種算法在西方通常被歸功于16世紀法國數學家維耶特。卡西的計算結果讓他貢獻出空前精確的三角函數表，并對兀魯伯此后推出精確的天文表格打下最關鍵的基礎。

卡西在科學創造方面橫空出世時，已經是20多歲的“大齡青年”，他在良好環境下全心投入研究，滿打滿算也只有10年時間。他的天文和數學成就，可以看出都是由細致耐心、孜孜不倦的科學精神一點一滴凝結而成的。他在儀器制作方面的創新，又體現出集成和發展前人成果的靈性。我們或許可以用“一代算圣”概括卡西的一生，同時惋惜如果不是在暗殺時猝然倒下，他本該作出多么大的貢獻！