探析兩道2018年高考題的題設條件

(鹽城市伍佑中學,江蘇 鹽城 224041)

每年高考都會出現一些情景新穎、構思巧妙、設問獨到的原創新題．研究這些考題的解答思路和技巧,探究問題的形成背景和條件,了解題目背后隱藏的原理或規律,對研究高考很有意義．本文探析兩道2018年高考題的題設條件,管窺命題專家科學嚴謹的精巧構思．

圖1

題1.(2018年江蘇卷12A③)如圖1所示,一定質量的理想氣體在狀態A時壓強為2.0×105Pa,經歷A→B→C→A的過程,整個過程中對外界放出61.4J熱量.求該氣體在A→B過程中對外界所做的功.

中學解答：本題考查熱力學第一定律,解答思路是利用全過程的熱傳遞情況和其中兩個過程的做功情況,間接推算出另一個過程的做功情況．

由于B→C過程是等容變化,不做功,所以整個過程中,外界對氣體做功W=WAB+WCA．又因C→A過程為等壓變化,所以WCA=pA(VC—VA)=2.0×105×(2×10-3-1×10-3) J=2.0×102J．

根據熱力學第一定律ΔU=Q+W,且整個A→B→C→A過程ΔU=0,得WAB=-(Q+WCA)=-(-61.4+200) J=-138.6J,即氣體在A→B過程中對外界做功為138.6J．

疑問：有教師對題目中的已知條件“整個過程中對外界放出61.4J熱量”感到不解,命題人為什么給出這樣的一個數值?因為我們平常碰到類似問題,為了便于計算通常都取整數．

探析：物理中的許多習題,物理量可以任意取值,比如這樣的問題.

質量為m的物體停放在光滑水平面上,用一水平拉力F作用于該物體,求該物體經時間t所發生的位移．

很明顯,本題中的已知條件m、F、t可以任意取值,取值不同也不影響問題的解答,只是結果不同而已．因為這些物理量各自獨立,沒有關聯,其中一個量(如，m)的取值不會影響另一個(如F),命題時為簡單起見取整數值或特殊值無可厚非．

但是,有些物理量,由于受具體物理過程或特定物理規律的約束和限制,物理量之間相互關聯．這時物理量就不能隨便取值,否則將無法自洽．比如下面的問題.

質量為m=1×103kg的汽車從靜止開始以恒定功率P=3×104W開始運動,已知運動過程所受阻力大小為f=1×103N不變,若汽車前進s=100m位移時速度變為v=20m/s,求此過程經歷的時間．

實際上,汽車運動時遵循牛頓第二定律,即

上例說明物理量如果受特定運動狀態或變化過程的約束,物理量之間存在數量的關聯,則不能隨意取值,即使其中的物理規律中學生并不知曉．至此,我們不難理解高考題1中熱量的為何要取61.4J．

在高考題1中,A→B過程為等溫變化,隨著氣體體積增大,壓強變小,學生無法直接使用公式W=pAΔV求解.這也是前述中學解答中間接求解的原因．不過采用積分的方法,還是可以直接求出A→B過程對外做的功．將A→B過程的體積變化無限分割,則在發生微小變化的dV過程,可認為壓強不變,則此微元過程對外做功dW=pdV,即

另據克拉珀龍方程pV=nRT得

加上原題A狀態的p、V、T參量已知,代入上式得

所以A→B過程氣體的p、V關系為

-ln(1×10-3)] J=138.6J,

與參考答案一致．可見,氣體由于受到具體狀態變化的約束,本題給定的“61.4J”熱量其實是多余的但為了方便中學生解答原題“61.4J熱量”的條件卻又不能取其他值．命題專家顯然早就考慮到了這一點,這也是值得我們中學教師反思和學習的地方．

題2.(2018年北京卷第8題)根據高中所學知識可知,做自由落體運動的小球,將落在正下方位置．但實際上,赤道上方200m處無初速下落的小球將落在正下方位置偏東約6cm處,這一現象可解釋為,除重力外,由于地球自轉,下落過程小球還受到一個水平向東的“力”,該“力”與豎直方向的速度大小成正比,現將小球從赤道地面豎直上拋,考慮對稱性,上升過程該“力”水平向西,則小球

(A) 到最高點時,水平方向的加速度和速度均為0.

(B) 到最高點時,水平方向的加速度和速度均不為0.

(C) 落地點在拋出點東側.

(D) 落地點在拋出點西側.

中學解答：本題的關鍵是要利用好原題所給的水平“力”的條件,結合牛頓定律和運動的分解進行作答．題中小球的運動可分解為豎直和水平方向,由題目所給水平“力”的信息可知,小球上升時水平“力”向西、下落時向東,乍一看小球上升過程西偏,下落過程東偏,結果好像應落回原處．實際上,小球向上減速運動時,向西的水平“力”雖逐漸減小,但由于水平“力”的持續作用,向西的水平速度不斷增加,因此當小球到達最高點時,水平加速度雖減為0但水平速度卻達到最大,故(A)、(B)均錯．下落過程水平“力”雖也向東,但因小球在最高點已具有最大向西的速度,所以接下來小球將向西做減速運動．并根據對稱性可知,直到小球落至地面時向西的速度方減為0．所以整個過程小球水平方向都在向西運動,落點位于拋出點的西側．故(C)錯,(D)正確,本題選(D)．

需要注意的是,小球上拋后從最高點開始下落的運動與小球單純從最高點由靜止下落的運動是有區別的:前者在最高點存在水平速度而后者卻沒有．雖然它們下落過程所受水平力和水平加速度的方向都向東,但因水平初速不同,由力和運動的關系可確定,一個是從最高點開始向西減速,另一個是從最高點開始向東加速．所以本題中的小球被上拋后,上升過程西偏,之后下落的過程繼續西偏．原題中所提及的落體偏東現象,特指物體從高空無初速下落的情況,并不具有普遍意義．解題時切不可套用現成結論,而應根據最基本的力和運動的關系分析．

疑問：大多數學生以及部分教師不清楚原題中所給定的水平“力”究竟是什么力?從哪來?為何與豎直方向的速度大小成正比?

圖2 落體偏東的定性解釋

探析：本題取材于理論力學中典型的“落體偏東”問題,并進一步拓展到“上拋偏西”．就“落體偏東”而言,由于地球存在自轉,所謂小球在高空無初速下落,只是相對于地面(轉動參考系)而言．如圖2所示,在赤道上A點正上方高200m處的P點無初速下落的小球,由于隨地球自轉,在靜止(實驗室)參考系中看,仍具有初速vP,小球下落過程將因vP存在而產生水平方向的漂移．并因v=ωr,vP大于地面上A點自轉的線速度vA,所以小球落地時在水平方向漂移的距離,大于地面上A點因自轉而發生的距離,由此產生落體偏東的現象．

然而,地面(轉動系)上的人認為,小球剛下落時并不存在水平初速,但卻落在A點東側,所以他會覺得小球下落過程除重力外還受到向東的水平力作用．當然,這個力并非真實存在的力,因為我們找不到該力的施力物體．實際上,由于物體具有慣性,在轉動系中會產生偏離原來運動方向的傾向,我們把該傾向歸結為一個外加力的作用,這時的慣性力稱之為科里奧利力,其本質是物體具有慣性的結果．就像在水平加速行駛的火車里,桌上的雞蛋向后滾,乘客覺得雞蛋受到一個向后的作用力一樣．

根據理論力學知識,在平面勻速轉動參考系中,質點的運動方程為

圖3 科氏力與速度方向的關系

如圖3所示,小球從赤道A點正上方的B處無初速下落,在轉動系中考察小球所受科氏力方向．因地球自轉ω矢量垂直紙面向里,根據右手定則在圖3中標出了C、D兩點的速度v與科氏力F的方向,因此“落體偏東”．同理,若將小球從地面上M點豎直上拋,圖3中標出了M、N、O、P、Q各點的速度v與科氏力F方向,即上升過程科氏力向西,這說明原題的題設條件“考慮對稱性,上升過程該水平‘力’向西”與真實情況相符,小球水平方向加速西偏;最高點由于有速度,亦存在向下的科氏力;繼續下落過程科氏力向東,小球水平方向減速西偏,因此“上拋偏西”．

要說明的是,原題中的水平“力”,嚴格講只是科氏力的水平分量,因科氏力F與物體相對轉動系的速度v垂直,從圖3亦可看出相對速度v并非豎直而是有一點點傾斜．不過,原題給出的該“力”與豎直速度大小成正比是完全正確的,因為科氏力

以上探究,筆者深感命題專家的設計精巧,問題的情境原始真實,科學準確,而非閉門造車;問題的內涵豐富高遠,涉及大、中學多個知識點,但命題人通過巧妙地給定合理且簡化的題設條件,用中學知識亦能解決;同時題干中的背景內容又潛移默化地拓寬了中學生的視野．

本題的嚴格計算較復雜,這里僅簡單估算赤道上空高200m無初速下落的小球的東偏結果．由于地球自轉ω=7.27×10-5rad/s很小,離心力mω2r以及科氏力的豎直分量2mv平ω相對重力mg均可忽略,即小球豎直方向仍可看成自由落體運動．科氏力的水平分量2mv豎ω=2mωgt使物體發生微小的東偏．據牛頓第二定律,水平方向有

解得

將ω=7.27×10-5rad/s，g=9.8m/s2，h=200m代入,得s=6.008×10-2m,與原題所給的偏東約6cm的結果完全吻合．

反思：通過以上兩道題題設條件的探析可以看出,高考題所給條件或信息,既要滿足學生利用中學階段的知識能夠順利解答,又要符合問題本身所遵循的深層次的物理規律．這兩道考題為中學階段如何創新命題提供了很好的示范．作為中學物理教師,在研究高考題時,不但要知其然更要知其所以然,給學生一碗水自己就應有一桶水,只有這樣,才能滿足不同學生的需求,才能培養出具有質疑精神和創新意識的高素質人才．