含三維內裂紋試件單軸拉伸裂紋擴展數值模擬研究

彭 博

(西南交通大學 土木工程學院， 四川 成都 611756)

1 研究背景

裂隙與缺陷廣泛存在于巖土和水利工程當中，與邊坡失穩、壩體垮塌以及結構的使用壽命息息相關[1-4]，尤其是在水利巖土工程中的深埋地下結構，裂隙與軟弱夾層在高應力作用下將成為結構穩定的關鍵因素[5-6]，因此，對于巖土及水利工程中的裂紋擴展演化規律一直是學術界的研究熱點，同時也是難點問題。

對于工程中的巖體來說，抗拉強度要遠遠小于抗壓強度[7]，含裂紋的巖體在受拉情況下更容易導致災難性的后果，因此研究裂紋在拉應力下的裂紋擴展演化規律顯得很有必要，針對于此，國內外許多學者進行了大量的室內試驗與數值模擬研究。試驗方面：喻勇等[8]對彈性模量以及泊松比對巴西圓盤抗拉強度的影響進行了室內試驗的分析；于慶磊等[9]對含中心穿透型裂紋的巴西圓盤進行了室內試驗，研究了不同角度預制裂紋在軸壓下的裂紋擴展演化規律；張緒濤等[10]利用改進的拉伸試驗裝置對砂巖、灰巖和花崗巖的抗拉強度進行了測定。數值模擬方面：魯國富等[11]對蒙皮材料試件進行了雙軸拉伸數值模擬研究；黎坤運等[12]利用擴展有限元對含不同角度穿透型裂紋進行了數值模擬，得到了裂紋擴展規律。然而上述研究僅僅針對二維裂紋或者三維穿透型裂紋，在實際情況中，裂隙往往以三維形態存在于巖體中，因此，對三維內裂紋在軸拉情況下的裂紋擴展規律的研究意義重大。

本文利用Franc3D軟件，對于含不同角度預制內裂紋的標準立方體試件進行了單軸拉伸數值模擬研究，并將數值模擬結果與室內試驗對比，驗證了模擬的合理性，同時給出了裂紋前緣的應力強度因子的變化規律，為相應的工程實際提供了一定的參考。

2 計算理論

2.1 M積分計算應力強度因子

J積分可以表示為以下形式[13]：

(1)

式中：δij為克羅狄克符號;q為賦值函數;Γ為計算積分域。

應力強度因子KⅠ，KⅡ，KⅢ，與J積分的關系可以表示為以下形式：

(2)

式中：KⅠ、KⅡ、KⅢ分別為Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型應力強度因子；E為彈性模量；ν為泊松比。

應力、應變及位移關系可以表述為：

(3)

(4)

(5)

Ki=Ki(1)+Ki(2)

(6)

其中應力、應變以及位移上的(1)與(2)為兩種獨立的線彈性狀態，將公式(6)代入公式(2)，可得：

J=J(1)+J(2)+M(1,2)

(7)

其中：

(8)

(9)

(10)

其中：

(11)

(12)

(13)

(14)

因此利用M積分便可計算出3個應力強度因子，本文所使用的Franc3D軟件正是利用這樣的原理，計算出裂紋尖端的應力強度因子的分布，同時可以依據應力強度因子判斷出裂紋擴展的方向。

2.2 最大拉應力準則(MTS)

裂紋擴展準則采用最大拉應力準則(MTS)，裂紋將沿著最大周向應力σθmax方向進行擴展，而環向應力可以表示為：

(15)

(16)

3 計算模型與計算參數

建立標準立方體模型，試樣設計圖與模型網格圖如圖1所示。其中試件尺寸為標準立方體試件尺寸，長×寬×高為50 mm×50 mm×100 mm，插入三維內裂紋取文獻[11]室內物理試驗中的實際尺寸，即2a×2b=20 mm×10 mm的橢圓形三維內裂紋，材料的彈性模量為E=17.92 GPa，泊松比μ=0.192，密度ρ=2.3 g/cm3。

計算邊界條件為：模型底部施加固定3個方向的位移約束，模型上部施加固定x與z方向的位移約束，同時y方向施加應力邊界。

計算工況一共設定為5組工況，分別為預制裂紋與水平方向夾角α呈0°、15°、30°、45°、60°情況，由Franc3D軟件依據最大拉應力準則計算出裂紋的擴展。

圖1 計算模型圖

4 計算結果分析

4.1 不同工況下的裂紋擴展

預制裂紋角度分別為0°、15°、30°、45°和60°工況下的裂紋擴展過程數值模擬結果見圖2。

由圖2可見：當預制裂紋角度為0°時，裂紋面承受拉應力，此時裂紋尖端Ⅰ型應力強度因子最大，而Ⅱ、Ⅲ型應力強度因子幾乎為0(見4.2節應力強度因子分析)，預制裂紋呈現自相似擴展的規律，即裂紋沿著原來裂紋面進行擴展，最終裂紋貫穿裂紋面，試件破壞；當預制裂紋角度為15°時，預制裂紋尖端裂紋呈現“翼裂紋”狀擴展，即裂紋前緣的擴展方向與原預制裂紋方向呈現一個較小的夾角。翼裂紋擴展與原預制裂紋方向呈18°夾角，最終裂紋擴展逐漸趨向于垂直最大主應力方向，隨后裂紋貫穿試件表面，試件破壞；當預制裂紋角度為30°時，預制裂紋擴展形態與15°較為類似，即裂紋尖端呈現“翼裂紋”狀擴展，而翼裂紋與原預制裂紋尖端呈現49°夾角，與預制裂紋角度為15°試件相比較大，最終裂紋擴展逐漸趨向于垂直最大主應力方向，隨后裂紋貫穿試件表面，試件破壞；當預制裂紋角度為45°時，預制裂紋尖端仍然呈現“翼裂紋”狀擴展，翼裂紋與原預制裂紋尖端呈現64°夾角，最終裂紋擴展逐漸趨向于垂直最大主應力方向，隨后裂紋貫穿試件表面，試件破壞；當預制裂紋角度為60°時，翼裂紋與原預制裂紋方向角度更大，為80°，最終裂紋擴展逐漸趨向于垂直最大主應力方向，隨后裂紋貫穿試件表面，試件破壞。

4.2 應力強度因子分析

為直觀描述裂紋尖端的應力強度因子隨預制裂紋角度的變化規律，定義相對應力強度因子不同計算方案下的裂紋尖端應力強度│Ki│/│Kmax│為相對應力強度因子，從而可以得到裂紋尖端的相對應力強度因子隨裂紋尖端相對位置的變化規律，預制裂紋的前緣相對位置定義為以裂紋右端為起點，逆時針旋轉一周回到起點一周長定義為1，如圖3所示。

由圖3(a)可見，隨著預制裂紋與水平方向的角度增大，相對Ⅰ型應力強度因子逐漸減小，可見預制裂紋角度越大，裂紋越難擴展，同時對于預制裂紋從相對位置0到0.5的距離上，相對Ⅰ型應力強度因子呈現先增大后減小的規律，可見預制裂紋短軸頂點上的相對Ⅰ型應力強度因子較其他方向要大，因而試件最終破壞是以裂紋先貫穿試件前后表面，進而使試件破壞。由圖3(b)可見，隨著預制裂紋角度的增大，相對Ⅱ型應力強度因子整體上先增大后減小，預制裂紋30°與預制裂紋60°的相對Ⅱ型應力強度因子幾乎一致。值得注意的是，預制裂紋角度為0°時相對Ⅱ型應力強度因子為0，表明裂紋面處于純拉狀態，與數值模擬中裂紋沿原裂紋面擴展的規律較為一致。對于同一種預制裂紋角度來說，預制裂紋的左端與右端(對應的位置為0、0.5和1.0處)相對Ⅱ型應力強度因子達到最大，而預制裂紋短軸處頂點(對應的位置為0.25和0.75處)相對Ⅱ型應力強度因子達到最小為0。

5 與室內試驗結果的對比

為驗證本文數值模擬的合理性，取李術才等[14]、張波等[15]和張敦福等[16]的試驗結果進行對比，不同裂紋角度的裂紋擴展形態與本文的數值模擬結果對比見圖4～6。

圖2 不同角度預制裂紋試件裂紋擴展過程

圖3 裂紋前緣相對應力強度因子

圖4 預制裂紋角度為0°裂紋形態對比

圖5 預制裂紋角度為30°裂紋形態對比

圖6 預制裂紋角度為45°裂紋形態對比

由圖4可見，對于預制裂紋角度為0°的情況，由于相對Ⅱ型應力強度因子為0，裂紋面處于純拉狀態，則裂紋沿著原裂紋面呈自相似擴展，數值模擬結果也驗證了室內試驗的結論。

由圖5和6可見，由于Ⅱ型應力強度因子的存在，使得裂紋的擴展偏離原預制裂紋面，室內試驗的斷口呈現出明顯的翼裂紋擴展，這與數值模擬的結果較為吻合。

6 結 論

本文利用Franc3D軟件，對含不同角度(0°、15°、30°、45°和60°)三維內裂紋標準立方體試件單軸拉伸下的裂紋擴展過程、擴展形態以及應力強度因子進行了數值模擬分析，并將數值模擬結果與相關參考文獻中的室內試驗結果進行了對比分析，得出了以下結論:

(1)當預制裂紋角度為0°時，預制裂紋呈現自相似擴展，當預制裂紋為其他角度時，預制裂紋尖端出現翼裂紋擴展，預制裂紋角度為15°、30°、45°和60°時，翼裂紋分別與原預制裂紋角度呈18°、49°、64°與80°。

(2)隨著預制裂紋與水平方向的角度增大，相對Ⅰ型應力強度因子逐漸減小，對于同一預制裂紋角度來說，預制裂紋短軸頂點上的相對Ⅰ型應力強度因子較其他方向要大。

(3)隨著預制裂紋角度的增大，相對Ⅱ型應力強度因子整體上先增大后減小，對于同一種預制裂紋角度來說，預制裂紋的左端與右端(對應于位置為0、0.5和1處)相對Ⅱ型應力強度因子達到最大，而預制裂紋短軸處頂點(對應位置為0.25和0.75處)相對Ⅱ型應力強度因子達到最小為0。

(4)將數值模擬結果與室內試驗結果進行對比，證明了本文數值模擬的合理性。