基于矩陣奇異值分解約束型無跡粒子濾波的滑坡位移預測模型研究

李麗敏, 溫宗周, 董勛凱, 王 真, 張陽陽, 李 璐

(西安工程大學 電子信息學院, 陜西 西安710048)

開展滑坡災害預測預報研究是當今國際滑坡災害研究和環境地質研究領域的前沿課題，是最大化減少和降低地質災害發生對人民生命財產造成危害的有效途徑之一，具有重要的理論意義和實際意義[1]。《全國地質災害防治“十三五”規劃》明確提出進一步完善調查評價、監測預警、綜合治理、應急防治四大體系，充分依靠科技進步和管理創新，加強統籌協調，提高防治效率，全面提升基層地質災害防治能力，最大限度地避免和減少地質災害造成的人員傷亡和財產損失[2]。

在眾多滑坡監測參數中，位移是最直觀、變化趨勢最容易觀測的一個參數，對其進行有效監測和趨勢分析，能夠提升地質災害預報的準確性[3]。位移預測方法隸屬于時序預測方法，目前時序預測方法主要分為兩類，一類是基于模型的方法，該類方法的應用前提是已知對象模型，一旦模型已知，便能精確預測，但問題是很多非線性系統的模型建立困難，則比較難實施該種方法[4-8]；另外一類是基于數據驅動的方法，原理是從數據中總結出規律然后再進行預測，事實證明該類方法魯棒性比較差[9-12]。粒子濾波方法屬于后者，粒子濾波是基于蒙特卡洛方法產生的，優點是它考慮了對于狀態的后驗分布的完全表示，使得任何的統計估計都能夠被計算，因此它可以擬合任何的非線性或非高斯分布數據[13]。但由于粒子濾波依賴于重要性采樣，因此首先需要設計出能夠很貼切的近似狀態后驗分布的先驗分布。最常用的方法是從狀態演化的概率模型中采樣，但是如果新的觀測出現在這個先驗的末尾處，或者如果這個似然值與先驗值比較起來差別很大，方法就會失效。

為改善粒子濾波用于位移預測時的性能，de Freitas[14],付杰[15]，劉超云等[16]提出將擴展卡爾曼濾波(EKF)方法融入到粒子濾波方法中，將EKF替代原來粒子濾波中的先驗分布；Merwe等[17]將無跡卡爾曼濾波(UKF)方法與粒子濾波方法進行結合，結果表明該方法比上述方法精度更高，將其稱為無跡粒子濾波(UPF)方法；但無跡粒子濾波算法在實際應用中，當矩陣是奇異值時，用一般的UT變換計算會有求解困難，會導致預測結果不準確。為了改善該算法，本文提出將SVD方法引入到無跡粒子濾波算法中，解決上述問題[18]。

1 SVD約束型UPF算法

1.1 UPF算法

無跡粒子濾波算法步驟如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(2) 在時刻t=1,2,…時的計算。

①重要性采樣

對于i=1,…,N，用UPF方法更新粒子：

a 計算sigma點。

(5)

b 時間更新。

c 測量更新。

④輸出結果同一般算法。

1.2 SVD約束下的UPF算法

UPF算法在實際應用中，當公式(5)中矩陣Pt-1是奇異值時，用一般的UT變換計算公式(5)會出現魯棒性不強的缺陷。奇異值分解(SVD)是一種可以將耦合變量進行分解方法，本文中將它作為無跡粒子濾波方法的約束條件，使輸入的Pt-1首先被分解，從分解后的結果中提取特征值，這些特征值即能夠代表原始數據，而且它的特點是具有很強的魯棒性，因此用這些特征值來代替Pt-1，使得所有數據經過公式(5)都能夠被有效開平方。具體步驟為：

(1) 計算特征協方差矩陣的奇異值分解結果，獲得對應的特征值：

(6)

式中：U——左奇異向量，其中包含向量之間的關系是正交的；S——奇異值矩陣，其中的元素除了對角線之外都為零；V——右奇異向量。如果公式(6)中的協方差矩陣P的維數是m×n，則U是m×m的，S是m×n的，V是n×n的。這3個矩陣的計算過程如下：

(2) 利用上述結果，重新求解sigma點：

(7)

(8)

式中：Uj,t-1和Sj,t-1——第j個樣本的特征向量和特征值；σ——尺度參數。

2 仿真分析與比較

測試數據來源于鎮江市跑馬山滑坡體監測工程[19]以及京港澳高速公路雨花互通南側護坡體滑坡監測工程[16]。選擇這兩組測試數據的原因在于，其都是針對滑坡位移進行監測的，有利于本文算法的有效驗證；而且這兩組測試數據的位移變化趨勢都比較明顯，有利于并列比較本文算法。

2.1 基于鎮江市跑馬山滑坡體監測工程數據的滑坡位移預測仿真

鎮江市由于周邊屬于特殊的丘陵、崗地地貌，所以時常會遭遇到滑坡的危害，調查結果表明，目前鎮江市滑坡災害點200多處，其中較大面積的72處，災害面積約5.00×104m2，影響范圍約1.50×105m2[19]。跑馬山滑坡的失穩模式屬于滑移—拉裂式，對于這種失穩模式的邊坡，一般選擇其后緣主拉裂縫附近的位移監測點的監測數據進行預報，本文選取監測點7的監測數據進行預測預報研究(圖1)。

圖1 鎮江市跑馬山滑坡體7號監測點的位移特征

從2016年6月29日0時到2016年7月5日16時，每隔4 h監測1次7號監測點的位移，共獲得了位移演化過程數據40個。如圖1所示為鎮江跑馬山滑坡體7號監測點的位移數據，從曲線趨勢可以看出，山體位移在逐漸增加，如果能夠提前1步或者多步預測出位移的變化，則可以有效對滑坡進行預報。分別采用UPF方法和本文方法對相同的原始數據進行位移預測，預測結果如圖2所示。

為量化其性能對比結果，通過選擇預測評價指標中的3個指標，來測試算法性能，計算結果詳見表1。通過表1的結果分析可知，本方法能有效提示UPF算法的魯棒性，并降低預測誤差。

圖2 UPF方法和SVD約束UPF算法預測結果對比表1 SVD約束UPF與UPF方法在滑坡位移預測的性能比較

預測評價指標方法1(UPF)方法2(SVD約束UPF)估計誤差 -2.736 0-2.731 1均方根誤差均值5.606 5 e+035.606 3 e+03均方根誤差方差4.143 4 e+074.143 1 e+07

2.2 京港澳高速公路雨花互通南側護坡體滑坡監測工程的滑坡位移預測仿真

京港澳高速公路雨花互通南側護坡體滑坡監測工程共布設4組位移傳感器[16]。測試數據選取在2012年1月5日至2012年12月20日間3個位移傳感器數據，即SHZ1-02—SHZ1-04(如表2所示)。

表2 京港澳高速某滑坡體路段位移監測原始數據[16]

利用本文方法進行滑坡位移的預測，預測結果如圖3所示。通過圖3可以看出，本方法能夠有效預測滑坡位移變化趨勢，并通過與UPF算法性能進行比較，發現本文方法具有更強的魯棒性。為比較預測結果的量化性能，利用公式(16)—(19)對上述3組預測結果進行仿真對比，兩種算法仿真誤差比較結果如表3所示。

注：IUPF為在SVD約束下的UPF算法。圖3 SHZ1-02-SHZ1-04位移預測結果對比表3 SVD約束UPF與UPF方法在滑坡位移預測的性能比較

傳感器預測評價指標UPF IUPF 估計誤差 2.506 21.235 4SHZ1-02均方根誤差均值4.214 8 e+033.587 6 e+03均方根誤差方差5.231 7 e+072.314 8 e+07估計誤差 -2.325 8-1.254 6SHZ1-03均方根誤差均值5.654 5 e+032.312 8 e+03均方根誤差方差3.269 8 e+071.369 7 e+07估計誤差 3.232 52.254 8SHZ1-04均方根誤差均值2.322 1 e+031.225 6 e+03均方根誤差方差5.369 7 e+074.258 7 e+07

注：針對京港澳高速某滑坡體路段位移監測數據。

從表3可以看出，SVD約束型UPF算法(IUPF)在預報滑坡位移時比一般的UPF算法誤差更小，魯棒性更強，對于進一步預報模型的建立起到非常重要的輔助作用。

3 討論與結論

(1) 對鎮江市跑馬鎮滑坡監測工程中獲得的7號監測點的40個位移數據，應用UPF算法和IUPF算法進行1步預測，采用絕對誤差、均方根誤差平均值和均方根誤差方差3個指標衡量2種算法的魯棒性，從指標比較可以得到IUPF算法優于UPF算法，提升了UPF算法應用于滑坡預報時的準確率。

(2) 為驗證算法的適用性，將該算法應用于京港澳高速公路雨花互通南側護坡體滑坡監測工程的位移預測，對3個傳感器采集到的不同位置的位移進行1步預測，同樣采用絕對誤差、均方根誤差平均值和均方根誤差方差3個指標衡量2種算法的魯棒性，從指標比較可以得到IUPF算法優于UPF算法，說明IUPF算法不但可以提升UPF算法的魯棒性，對于不同數據也具有適用性。

(3) 本文首次將無跡粒子濾波算法應用于滑坡災害的預報中，為準確的滑坡預測奠定了一定的理論基礎，在位移能夠準備預報的基礎上，可以開展關于滑坡發生時間準確預報的相關研究。