關于實變函數課程教學的探究

李海綢

【摘要】本文主要針對實變函數的課程內容特點，并結合筆者的親身教學體驗，從教學方法等方面，探討如何更有效地“教好”和“學好”抽象而高難度的實變函數這門課程.

【關鍵詞】實變函數；教學方法；教學效果

眾所周知，在數學及其相關專業領域里，《實變函數》是一門數學專業的本科生的必修基礎課程[1-5]，也是一門大家公認的難學的課程，甚至對某些經驗不是非常豐富的教師來說還是一門難教的課程.因此，對此課程的教學方法等方面的討論與研究已經引起很多數學專業教師的高度重視，例如文獻[6-8].更嚴格地說，實變函數是數學專業本科教育階段最重要的分析基礎課之一，其主要需要掌握的內容包括集合論、測度論和勒貝格（Lebesgue）積分論.這些理論在分析數學中起著承上啟下的作用，是數學分析的后繼深化課程，也為學生進一步學習函數論、微分方程、泛函分析、概率論與隨機過程、調和分析和分形幾何等現代分析數學課程提供了必不可少的測度和積分論基礎.因此，學好實變函數有著非常重要的意義.但是，實變函數的理論嚴密、內容抽象而應用廣泛，這些特點導致了學生對這門課程的理解感到非常的困難，學習的興趣也受到影響.因此，作為本課程的任課教師除了需要擁有扎實的專業知識，還應當認真研究這門課的教學方法，充分準備好，才能更好地讓學生更有效地理解掌握實變函數的核心思想實質.

在本文中，針對實變函數嚴謹的邏輯性和概念的抽象性，以及定理證明的復雜性和應用性等特點，通過與學生多方面溝通，以及虛心向經驗豐富的資深教授請教取經，并結合自身的教學經歷和摸索，筆者跟讀者分享個人的以下幾點教學體會，旨在如何更好地提高學生的學習興趣和信心，從而達到最佳的教學效果.

一、強調實變函數的重要性，加強與其他課程及現實生活的聯系

如前言所述，我們都知道實變函數是一門非常重要的課程，在現代分析數學中起到承上啟下的作用，那么具體體現在哪些方面？在具有嚴謹的邏輯性和抽象性的實變函數教學中，大家往往容易陷入一種孤立狀態，很容易忽略與其他課程的聯系，更別說與現實生活的聯系.如果認為深奧的實變函數這門課程與我們實際生活無關，是看不見摸不著，僅僅是純粹的邏輯思維的知識，那就大錯特錯了.其實，實變函數的很多概念定理看起來貌似離現實生活十萬八千里，像是“帽子里跑出一只兔子”，然而實質并非如此，在學習和生活中，都可以找到很多與實變函數相關的生動例子.因此，加強與其他課程甚至與現實生活的聯系，才能更好地讓學生體會到實變函數的重要性，并感受到數學的無窮魅力.

首先，加強與其他課程的聯系，告訴學生只有學好了實變函數中的基本概念定理，才能更好地學習后續的數學專業課程.針對不同數學專業的班級，我們可以選擇強調不同的聯系，例如，對數學與應用數學專業的學生講，可以將實變函數與后續的實分析、調和分析等課程聯系起來，學好了勒貝格積分，Egoroff定理和Lusin定理等，才更容易理解泛函分析和調和分析等.當然這些聯系也是針對數學基礎較好的學生進行的，或者提醒一下讓有心的學生課后查找資料已達到更深入的了解.而對金融數學專業的學生，可以將實變函數與概率論、隨機過程等課程聯系起來，學了勒貝格測度論后，才能理解概率測度，概率論和隨機分析中很多概念，都可以從實變函數的角度去理解從而掌握其內在的更深層次的本質意義.例如，概率論中的隨機事件可以看成實變函數的測度中的可測子集等，隨機變量可用實變函數中的可測函數表示等.

其次，實變函數與現實生活也是密不可分的，例如，生活中計算鈔票面額總值問題.都說勒貝格積分比黎曼積分更優，對此，Lebesgue自己曾經做過一個比喻，他說：假如我欠人家一筆錢，現在要還，此時按鈔票的面值的大小分類，然后計算每一類的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；如不按面額大小分類，而是按從錢袋取出的先后次序來計算總數，那就是Riemann積分思想.很顯然，如果需要計算很多很多不同的鈔票面額總值的話，當然是按照Lebesgue積分思想來計算更方便，這就是實變函數魅力所在.充分體現了數學來源于生活而又應用于生活的思想.通過介紹實變函數與其他課程及現實生活的聯系，讓學生大概了解和感受到實變函數的重要性和應用性，提高他們的學習興趣和積極性，使他們從思想和行動上重視該課程的學習.

同時，實變函數的課程特點也對任課教師提出了更高的專業知識和教學方法的要求，需要做好充足的準備，才能在課堂上應變自如.

二、承認實變函數的深奧，尋找各種方法突破困難

實變函數的抽象性和邏輯的嚴謹性意味著這是一門不容易理解的課程，加上很多概念，如測度和積分等，都需要一個煩瑣而復雜的建立過程，這就更讓其被涂上了“難學”的色彩.面對如此抽象、對某些學生來說甚至是枯燥的課程，筆者建議任課教師不妨大大方方地承認這門課程的深奧，學習的難度很大，一開始就給學生打好預防針，讓他們做好足夠的心理準備，迎接挑戰.但是，不能一味地夸大難度，以免打擊自信心，還要告訴學生不用害怕，因為只要大家認真地跟著教師設計好的思維走加上自身的努力，一定可以啃下實變這塊硬骨頭的.在思想和精神上給予學生足夠的正能量.當然，想達到良好的“教”與“學”的效果，光說不行，得尋找各種突破困難的方法，做好周詳的教學計劃，以下幾點就是筆者針對不同的具體問題所悟出的某些方法.

（一）遵循由簡入繁的學習規律，以通俗易懂的方式教學

都說實變函數難學，其實不全然，也許是方法不對頭.不知道大家是否發現，其實對實變函數的學習只要遵循一個傳統而經典的由簡入繁的學習規律就會事半功倍.不管在教材上還是在課堂上，實變都遵循著這樣的學習規律，先是引出概念的定義，然后就介紹并證明其性質，最后體現一些應用或與其他的概念之間的關系，一步一步完成一個知識點及其所衍生出來的知識的學習過程.例如，在學習可測論時，先由簡單的開集和閉集的測度定義開始學習，然后再用開集和閉集的測度來定義一般集合的內外測度，最后再加以條件來定義一般集合的可測性及其測度；再例如，在學習可測函數的勒貝格積分定義時，先是從非負的簡單函數的勒貝格積分的定義入手，然后再借用該定義及其性質來定義一般可測函數的勒貝格積分，并討論其性質.等等，還有很多例子體現，在此不一一列舉.另外，所謂通俗易懂的方式就是盡可能地避免煩瑣復雜的概念引入或定理證明的過程，而通過教師的靈活處理化成自己的思維方式，并層次分明地表達出來，這樣可能讓學生更容易理解.

（二）通過對比講解，有助于理解概念之間的聯系

我們知道對比是一種很常見也很重要的一種教學手段，特別是在實變函數這門課程中，很多地方都需要用到對比法，才能更好地理解概念之間的聯系與區別.這里存在外在和內在的對比.先說外在的聯系，最明顯的就是學生從大一開始接觸學習的數學分析與現在的實變函數的對比.例如，數學分析中所用的Riemann積分與實變的Lebesgue積分的對比，還有數學分析中性質很好的連續函數與實變中的主要研究對象可測函數之間的對比關系，連續函數一定是可測函數，而反之不一定，不過可以通過Lusin定理來輕易轉化.前面也有所提及，實變函數與學生的后續專業基礎課程如泛函分析等有著聯系與區別.退一步來說，現在的課時壓縮得很緊，即使不能在課堂上講述這些具體的聯系與區別，至少可以提及一下，實變函數中哪些概念與泛函分析或概率論或調和分析的哪些概念有關聯，讓學生心中有點印象而引起重視.在課堂上除了簡要闡述以上這些外在聯系，對這門課程的學習與掌握，更重要的是理解好實變函數內在的聯系，其實很多對比關系已經隱含在前面的外在關系中，例如，連續函數與可測函數，Riemann積分與Lebesgue積分，還有幾個重要概念，如依測度收斂、基本一致收斂和幾乎處處收斂之間的關系等等.

（三）靈活利用反例，有助于理解抽象概念和定理的證明

在數學中，所謂反例[9]，就是用以否定錯誤的命題來舉的例子.在實變函數的教學中，反例是幫助學生對概念的理解和定理的證明的一個很重要的工具.我們知道，實變函數中很多概念是非常抽象的，這使得學生理解起來有些困難，難以把握其中的內涵.那么，在講解概念或性質的時候，除了認真地詳盡地講解概念的嚴格定義外，還需要結合概念的內涵外延，舉一些具體而簡單易懂的正反方面的例子，幫助學生更好理解.例如，當講到開集的性質之一“任意個開集的交集不一定是開集”的時候，我們可以找到一個反例來說明這一性質.

例1 設集合An=-1n，1n，n≥1，則每個集合An都是實數軸上的開集，但它們的交集∩∞n=1An={0}不是開集.

還有，在進行定理證明時偶爾也需要反例表明，例如，當講到Riemann積分和Lebesgue積分的關系時，有一個定理是：“在有限區間上Riemann可積的函數必Lebesgue可積，而且積分值相等.”但是，如果這個定理的“有限區間”條件去掉，那么此定理不成立.如何證明呢？我們可以取一個反例來說明即可.

例2 函數f（x）=sinxx在無限區間（1，+∞）上的Riemann積分是收斂的，因此，是Riemann可積，但是它并不是絕對收斂的，所以不是Lebesgue可積的.

（四）分章梳理，善于總結，系統把握實變理論體系

實變函數主要包括三方面的內容，集合論、測度論和積分論，三者看起來分界分明，實則緊密相連而形成嚴密完整的知識體系.集合論為測度論提供了基礎，而積分論是在測度論的基礎上進行的，所以三者之間缺一不可，是一個不可分割的整體.實變函數中的每一章都是為下一章做準備，學習完各章節后，要對各章內容進行梳理，善于總結，擱淺細節，把握總體，由部分理解總體，又在整體中掌握部分，以達到系統地把握實變理論體系.

（五）挑選有代表性的習題，精心設計小測內容和習題課

通過多方面了解，很多學生反映，明明在課堂上聽懂了，可是課后就是不會做習題，一遇到習題就蒙了，這確實是實變函數學習的一大難題.不可否認，實變函數中抽象的概念和復雜煩瑣的證明對學習任務繁重的學生來說不容易，如果學生不能順利完成基本的習題作業，那么長久下去必會打擊他們的信心，將嚴重影響教學效果，所以課后鞏固的情況（體現在作業和小測的完成情況上）就特別需要我們高度重視.我相信，世上無難事，只怕有心人.只要任課教師多花點心思挑選一些對應相應知識點的具有代表性的習題提供給學生練習，選題的原則是數量和難度都需要適中.另外，一個學期進行兩次小測，配合兩次精心設計的習題課.在習題講解的課堂上，教師要注意培養學生使用嚴格準確的數學語言，加強數學邏輯思維的訓練與培養，讓學生在無形中養成良好的數學素養.

（六）因材施教，將獲取不一樣的效果

面對不同的數學專業的學生，我的實變函數教學經歷告訴我，不能用單一的方法方式去對待，得“區別”對待.例如，我們學校有“數學與應用數學”和“金融數學”兩個專業必修實變函數這門課程，所以我的學生來自兩個與數學相關的不同專業.正常說來，一門課程應該一樣的備課，一樣的講課，可是實踐告訴我不能那樣做，應該因材施教，才能得出想要的教學效果.因為不同專業的學生基礎不一樣，數學與應用數學專業的學生數學基礎較好，對數學的思維邏輯接受能力較強些，可以傳授更多的抽象的理論知識；而金融數學的學生偏向數學應用，數學理論功底稍弱一些，所以盡量避免一些對他們而言較為煩瑣的概念引入過程，很多時候只需要開門見山地介紹概念的由來，然后接著講解性質及其應用.個人深刻體會到，實踐證明不同的專業對同一門課的需求也是不太相同的.

（七）靈活采取多種方法，精心打造不為考試而進行的精彩課堂

如何打造一個不為考試而進行的精彩課堂呢？先說不為考試而進行，或許有些讀者會困惑，作為應試教育時代的大學生哪能輕易“逃離”考試呢？其實，筆者的意思是，努力打造一個暫且讓學生忘記考試而自由輕松地暢游在知識的海洋的課堂，讓學生的思維緊密跟著教師的引導而施展開來.如果可以的話，告訴學生，教師對學生的基本要求是不遲到、不缺課、按時完成作業和小測，關鍵是學習態度端正，那將不用太擔心期末考試不通過，因為付出總會有收獲.

我們可以有很多方法來活躍可能會沉悶的實變函數課堂，讓大家在輕松愉悅的環境中學習.例如，在筆者的課堂上，學生可以暢所欲言，發表自己對實變函數中的某些概念性質的個人見解，對錯都沒關系，教師都可以幫著把關，或者引導學生學會自己查找資料來驗證自己的想法.在課堂上，教師以啟發和提問的方式多次重復應用前面教過的知識來理解正在學習的知識，不斷地刺激學生的大腦來更好地鞏固已學過的知識.知道為什么大家都覺得實變難學嗎？有一個原因是少用而生疏，所以如果在課堂上采取知識不斷輪回應用方式，學生將慢慢地熟悉了整個知識體系.當教師感覺到部分學生覺得知識難以接受或精力疲憊想打瞌睡的時候，可以挑選一些經典的最好是幽默的能夠讓人印象深刻的名人數學家的故事，跟學生分享，筆者的實踐證明此方法很容易活躍課堂.經歷了一堂與深奧知識較量的實變課后，在課間時，我們不妨來一首動聽悠揚悅耳的歌曲（師生都可以推薦的好歌曲）放松緊繃的大腦，讓學生放松十分鐘對下節課的順利進行很重要.教師盡量把學生當成朋友來對待，形成一種相互尊重相互信任的良好師生關系，這些知識之外的東西也是提高教學效果的重要因素.最后，有一個大膽的嘗試，對部分優秀的本科生，用培養碩士生的方式來培養，可以挑選出幾個數學好的學生且自愿報名來給大家上一次實變課，現在有些本科生是很優秀的，相信他們有足夠的能力去做好一堂課的教師.這樣做的好處是，讓學生真正地參與到教學過程中來，我們都知道，聽課和上課有很大的區別，讓他們去體驗去感受要上好一堂課需要做哪些充足的準備，不僅培養了他們自學數學的能力，還可以訓練語言表達等綜合能力，從而提升學生的綜合素質.更重要的是，我們的實變課堂將變成一個充滿活力的精彩課堂.

以上就是筆者從實變函數教學經歷中感悟出來的一些青澀體會感受，雖然不夠成熟，而且遠遠不夠全面，但是希望可以幫助到某些讀者.本人將繼續豐富和完善實變函數的教學方法，以達到最佳的教學效果，打造一位教師欣慰，學生喜歡而且又可以學到更多知識的精彩的實變函數課堂.

【參考文獻】

[1]江澤堅，吳智泉.實變函數論：第2版[M].北京：高等教育出版社，1994.

[2]夏道行，等.實變函數論與泛函分析：第2版[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]周民強.實變函數[M].北京：北京大學出版社，2001.

[4]鄧東皋，常心怡.實變函數簡明教程：第2版[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]胡適耕.實變函數論[M].北京：高等教育出版社，2000.

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[7]朱月萍.講授《實變函數論》課程的思考[J].南通大學學報（教育科學版），2006（4）：99-100.

[8]蘇先鋒，等.關于實變函數教學中的一些注記[J].淮北師范大學學報（自然科學版），2014（1）：78-80.

[9]劉向華.反例在教學中的作用[J].數學理論與應用，2001（4）：82-85.