重視培養初中學生的類比推理能力

李衛華

【摘要】類比推理揭示的是A與B如同C與D的命題關系，在數學發現中發揮著重要的作用，是學生學習和認識數學的一個基本方式，也是數學學習中一種有效的認知策略.初中學生的類比推理能力需要在數學活動中形成和發展，因此，如何通過數學課堂教學來培養學生的類比推理能力已引起每位數學教師的重視.本文結合實例說明類比推理的實質，就初中學生的類比推理能力的培養做一些探討.

【關鍵詞】類比推理；初中學生；類比學習；類比教學模式

一、問題的提出

長期以來數學教學注重采用“形式化”的方式，發展學生的演繹推理能力，忽視了合情推理的培養，學生學習數學的狀況并沒有得到多大的改善，教學效果不盡如人意.歸納推理、類比推理和統計推理是合情推理的三種重要形式.在初中數學學習過程中，類比推理往往不被學生重視，甚至也被教師忽視，許多學生和教師希望通過做大量的題目來掌握所學知識從而提高數學成績，然而，數學問題浩如煙海，考試時很難遇到做過的原題，遇到了新題型或只是稍稍變換一下，就不知所措.如何在初中進行類比推理能力的培養，使學生能夠學得輕松、有效，這是一個值得研究的現實問題.

二、類比推理及其重要性

（一）類比推理的內涵

類比推理就是根據一些對象在某些屬性上相同或相似，從而推出它們在另一屬性上也相同或相似.類比推理也稱作類比法或類推法.類比推理用公式可以表示為：（1）A類對象具有屬性a，b，c，d；（2）B類對象具有屬性a′，b′，c′，其中a，b，c分別與a′，b′，c′相同或相似；（3）推出結論B類對象（指要研究的對象）可能具有d′屬性，并且d′與d相同或相似.在類比推理的形式結構中，第一，A事物是我們熟悉的事物，B事物是我們希望說明或深入了解的事物，并且它們在一些屬性上具有相似性；第二，已知A事物的前提與結論具有真實的因果聯系，因此B事物也應有相關的因果聯系.

（二）類比推理的重要性及其特點

1.初中數學教學中運用類比推理，能激發學生學習數學的興趣，有利于解決新問題.首先，數學內部是互相聯系的，且各部分之間存在著很多相似性；它與客觀世界的許多事物存在著形式或本質上的相似.其次，人們認識新事物的過程本質上是一種“同化”過程，也就是新事物納入原有概念框架之中加以消化和理解的過程，人們在解決問題時會引用存在于長時記憶中相似問題的策略.教學中，當呈現的新知識、新問題和原有知識、信息有相似之處時，學生總試圖將新知識與類似熟悉知識比較，并用熟悉問題類比新問題，找到解決新問題的方法和構建新知識的框架.因此，重視培養初中學生類比推理能力是非常必要的.

2.初中數學教學中運用類比推理有其顯著特點

① 類比是人們從已經掌握了的己知事物的屬性，推測出另一正在被研究的事物的屬性.由于類比推理是把新知識與原有知識及生活實踐相比較，因此，它能使新知識與學生的舊知識及生活經驗有機聯系起來，體現知識整體性，降低學習新知難度，提高課堂教學效率.如，分式基本性質、分式乘除法的教學可通過分數基本性質、分數乘除法作為類比對象，引導學生進行同化思維，掌握新知，教與學的效率可得到明顯提高.

② 前提與結論具有特殊性.類比是從一種己知事物的特殊屬性推測另一事物的特殊屬性，是從個別到個別或從特殊到特殊的推理方式，因此，我們這種推理方式的前提與結論之間必然有一種特殊的線索聯系，當然在類比的過程中其類比指向也不是嚴格、唯一指定的.如，相似三角形判定定理、性質定理與全等三角形判定定理、性質定理的類比.相似三角形與全等三角形最重要的聯系在于全等是相似的一種特殊情況，學生對相似三角形與全等三角形的聯系比較明確后，能比較順利地猜想出相似三角形的判定定理.

③ 或然性.由于類比推理產生于學習者個人的聯系、猜想，因此，類比推理的條件與結論之間并不存在一種必然的邏輯關系，即類比推理出的結論未必是正確的.類比的結論的猜測性，不一定可靠，需要證明，但是有發現功能，原因是對象之間不僅具有相同性，而且具有差異性.由于類比推理結論的或然性，在教學中引導學生把或然性的結論轉化為必然的結果這一過程，是學生主動求知、創新的一個過程.

三、類比推理的教學模式

（一）類比推理教學模式的理論依據

建構主義教學觀認為：教學內容應與學生的經驗世界和建構活動發生作用；學生從原有的知識經驗中，組織起相應的建構原材料，自己去提出問題、選擇方法和探索驗證，并去進行表達、交流和修改，從而有效地建構新的認知結構；一個好的建構活動應建立在問題解決的原則上.

數學問題的解決通常是在通過類比、歸納等方法進行探測的基礎上，獲得有關問題的結論或解決方法的猜想，然后再設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的.類比推理的關鍵是尋找一個合適的類比對象，然后進行類比.類比是提出假說進行猜想的基礎，是各種創造性思維形成的基本要素.通過類比我們可以發現研究對象的一些性質；如，把數與代數式進行類比，我們可以發現代數式的很多性質.如，把分式與分數進行類比，就可以發現分式的性質；把整數與整式進行類比，就可以發現整式的性質.

總而言之，可以說學生已有知識和經驗為新知識、新概念的學習提供了必要的“認知基礎”，而類比法則是通過將新概念、新知識與熟悉概念的類比，使學生能更好地去認識、了解新的概念，從而建立起適當的心理表征.這種將新舊知識進行類比是學生學習數學的一種基本過程，是學生學習數學，構建、擴充和完善數學認知結構的一種基本方法.

（二）類比推理的一般流程.

學習都有一定的過程與方法，類比推理也不例外，在數學學習過程中，我們在使用類比推理時，通常從表層相似關系出發，重整走向邏輯相似關系，最終實現對多個認識的深化，通常要經過如下幾個相互聯系的過程.

首先，確立相似的類比問題.根據所要解決的目標問題的性質、特征和規律等信息，尋找一個與之相似的類比問題.這個問題必須是學生熟悉的知識、實踐過的經驗等，它是掌握新知識的基礎.如，學習特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的性質，我們可以以平行四邊形的性質為類比問題.這個過程先可由教師引導啟發，但隨著學生對類比推理這一思維方式的熟悉和知識、生活經驗的積累，他們能自覺而恰當地找到特殊平行四邊形的類比問題.

其次，觀察比較，建立與類比問題的聯系.如果說類比是通向發現的階梯，那么細心的觀察與比較則是基礎，而抓住兩個問題的相似性與聯系則是類比順利進行的關鍵所在.特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）與平行四邊形的最重要聯系在于矩形、菱形、正方形是平行四邊形的一種特殊情況，通過對邊、角、對角線的特殊性的類比，學生基本上能理解這一點.

再次，運用類比推理，猜想結論.把握了類比問題與目標問題的聯系后，可用類比推理的一般形式，引導學生得出結論，其實質是類比問題的信息向目標問題的最直接的遷移.學習矩形、菱形、正方形的性質，可先復習平行四邊形性質，在此基礎上引導學生猜想矩形、菱形、正方形的性質.由于學生對特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）與平行四邊形的聯系比較明確，都能比較順利地猜想出矩形、菱形、正方形的性質.這個結論是學生通過自己比較思考發現的，留給他們的印象比直接由教師給予要深得多，且不知不覺中培養了學生創新思維能力.學生為了證明自己猜想的正確性，會充分調動思維中的積極因素，學習效果是十分理想的.

最后，探索“或然”，掌握新知.由于類比推理結論具有或然性，因此，在得出猜想后要及時引導學生用已有知識來解釋自己的結論.這樣既培養了思維的創造性、靈活性，又培養了思維的嚴密性、原則性，同時鞏固了新知識.在得出矩形、菱形、正方形的性質猜想后，讓學生用已學過的知識去證明是十分必要的.當然，學生的有些猜想的解釋，可能會超出書本或他們現有知識水平，這正說明了創新思維培養的成功，需要教師合理引導和鼓勵.

四、類比推理的培養途徑

類比是人們從已經掌握了的事物屬性出發，推理正在被研究中的事物的屬性，并做出某種判斷的推理方法.在數學中，類比是發展概念、推導性質定理、運算的重要手段，也是探索問題、解題的一種重要方法.按照類比對象的視角不同，類比常分為以下三種類型.

（一）概念——性質類比型

概念——性質類比型，即數學概念的相似得出與概念相關聯的性質的相似.如果概念相似程度大，則與此相聯系的性質相似程度也大.在推導性質教學中，“分式的基本性質：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變”就是由“分數的基本性質：一個分數的分子、分母同乘（或除以）一個不為0的數，分數的值不變”類比得來.“梯形的中位線性質定理”就是由“三角形中位線定理”類比得來.在教學時，可引導學生類比三角形中位線性質定理得出，再通過試驗驗證它正確的可能性，最后師生共同證明.

（二）要素、結構——功能類比型

根據系統論的知識可知，決定一個系統的功能不僅靠要素，更重要的是結構.要素結構的相似可推出功能結論的相似.另外，數學同構理論也告訴我們，兩個數學系統如果是同構的，其性質、功能都有很大相似性.在講有關運算解法教學時，“分式的加減乘除運算”可由小學的“分數的加減乘除運算”類比得出運算法則.在講“一元一次不等式的解法”時，可通過“一元一次方程的解法”得出其解法步驟.

（三）要素、結構——方法類比型

由類比問題與目標問題構成要素結構相同，得出具有相同或相似解決方法.對解題而言，它是一種尋求解題思路、猜測問題答案或結論的發現方法.許多數學題的解題思路的產生都是一個類比推理的過程，從條件要達到結論的彼岸，如何選擇入口？如何實現過渡？其表現為善于根據問題的特征（結構、屬性等），聯想某一熟悉的問題，依據它們在某些方面相似或相同之處，去推斷解題的方法或思路.

轉化類比就是將原命題轉化類比為比原命題簡單的問題，以便提供解決思路和方法，最終獲得原命題的解決方案.比如，可先將多元問題轉化類比為少元問題，高次問題轉化類比為低次問題，普遍問題轉化類比為特殊問題，未知問題轉化類比為已知問題等.

五、結 論

類比推理是數學中非常重要的推理方法，它對提高學生分析問題、解決問題的能力很有幫助.這是因為類比推理不像歸納推理那樣局限于同類事物，也不像演繹推理那樣受到一般原理的嚴格制約.它可以跨越各類事物的界限，進行不同事物的類比，既可以比較事物的非本質屬性（如形式和研究方法），又可以比較事物的本質屬性.從數學問題的發現或提出新命題的過程來看，一般是從具體問題或素材出發，經過類比、聯想、觀察、實驗、歸納等不同的途徑，形成命題并加以確認.因此，在數學學習中常常運用類比推理，抓住其發生過程、內涵、結構、性質等方面的相似性來解決問題.在數學發現中，類比推理也是一種被普遍應用的方法，這種學習方法對以后繼續學習數學、提高數學的學習能力、探索數學的奧妙、提高數學興趣是十分必要的.

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