考慮躍遷的指數型炸藥空爆荷載等效靜載動力系數*

耿少波，李 洪，葛培杰

（1. 中北大學土木工程學科部，山西 太原 030051；2. 長安大學橋梁結構安全技術國家工程實驗室，陜西 西安 710064；3. 大連理工大學水利工程學院，遼寧 大連 116024）

對防護結構及建筑結構而言，炸藥空爆荷載具有超壓峰值高、作用時間短、擴散速度快等特點，相比其它設計荷載，為典型的動力荷載。在結構設計階段，若能將此爆炸荷載等效為靜載計算，可避免繁瑣的非線性有限元分析，易為結構工程師所接受和使用。因此，多數規范中[1-7]爆炸荷載均按考慮動力系數的靜載進行結構計算。入射超壓從零躍遷至正超壓峰值時長占沖擊波正超壓作用時長比值很低，故規范常省略此躍遷升壓階段，為簡化計算，并進一步將入射超壓簡化為線性衰減荷載。

爆炸荷載等效靜載理論研究方面研究較多。Biggs[8]對線性衰減類動力荷載進行等效靜載處理，并用于爆炸荷載近似計算。伍俊等[9]采用等效單自由度與有限元方法對防爆墻結構進行對比分析，模型中爆炸荷載為未考慮躍遷升壓的線性衰減荷載模式，他指出等效單自由度靜載方法結構設計具有良好精度。顏海春等[10]采用爆炸荷載等效靜載對人防工程封堵梁內力分析，但未指出結構延性比與荷載動力系數之間的詳細關系。楊濤春等[11]采用爆炸荷載線性衰減函數對鋼混組合梁進行了等效靜載與有限元分析對比計算，但計算未涉及結構自振頻率、延性比。Baker等[12]指出空爆沖擊波呈指數型衰減，等效沖量計算按此計算較準確。楊科之[13-14]研究了直線衰減荷載作用下動力系數與延性比的關系，延性比較大時動力系數可計算范圍受限。陳俊杰[15]研究了爆炸荷載沖量簡化分析方法，所采用的荷載形式為線性衰減荷載模式。Chen等[16]采用等效荷載分析了地下拱結構-土體爆炸耦合效應，指出了沖擊波等效單自由度的有效及方便性。Shi等[17]指出采用指數型函數進行爆炸荷載沖量及等效靜載時會更準確，但未考慮躍遷段的影響。Gantes等[18]計算了指數型爆炸荷載作用單自由度結構的彈塑性位移響應解，但尚未明確與劃分荷載作用時間與結構進入塑性階段時間關系，且未對結構延性比、動力系數分析。Louca等[19]分析爆炸作用時指出正超壓衰減段采用指數型函數擬合會更接近沖擊波實測結果。

設計延性比與荷載作用時長有關，線性衰減荷載正超壓等效作用時長小于爆炸沖擊波正超壓作用真實時長，這對動力系數影響如何？同時，忽略升壓過程對結構的動響應尤其對結構彈性響應，繼而對結構塑性階段響應及延性比、動力系數的影響程度如何，國內外學者鮮有研究。

因此，本文考慮超壓從零躍遷升壓至超壓峰值，以指數形式從超壓峰值衰減至零的分段荷載函數進行等效單自由度體系下結構彈塑性動力系數分析，并與設計規范中采用的未考慮升壓階段的等沖量線性衰減荷載動力系數計算結果對比，為基于延性比的抗爆結構設計提供理論支持。參考筆者前期所做的TNT、B炸藥空爆沖擊波衰減波形測試工作及已出版文獻[20]，常規炸藥等化學爆炸躍遷升壓至超壓峰值時長所占正超壓作用時長比一般為3%以下，且接近直線升壓，因此本文考慮的升壓為直線躍遷升壓模式。

1 理想彈塑性體系動力微分方程

1.1 等效單自由度微分方程

常規炸藥等化學空爆沖擊波正超壓作用時長很小，小于結構出現最大動位移反應時間[5]。根據結構動力學等效單自由度理論及達朗貝爾原理，其等效單自由度體系彈性階段微分方程：

式中：kM-L為彈性等效質量-等效荷載系數比，m為結構單位長度質量，W(t)為結構動位移，l為結構長度，K為結構等效彈簧剛度，Δp(t)為爆炸荷載時程函數。

設在tT時刻，結構彈性位移達到最大值WT，速度為vT，之后結構進入塑性振動。結構塑性階段微分方程為：

式中：km-l為塑性等效質量-等效荷載系數比，qm為結構塑性階段結構抗力。

圖1 荷載簡化及作用時長Fig. 1 Schematic diagram of load types and load durations

圖1給出了3種荷載模式的時程曲線。作為等效時長計算對比的基準量，不考慮躍遷段的指數型衰減荷載所對應的函數為：

式中：Δpm為超壓峰值，f(t)為荷載歸一化函數，t+為沖擊波正超壓作用時長，a為荷載曲線形狀調整參數。

作為動力系數對比的基準量，不考慮正超壓躍遷段，采用等沖量線性衰減荷載模式時，對應的函數為：

式中：tI為等沖量線性衰減荷載等效作用時長。

增加躍遷時間而不改變正超壓作用時長的指數型衰減荷載模式，對應函數為：

式中：t0為荷載從0躍遷至超壓峰值躍遷時長。

由式(1)及杜哈梅積分可知，在彈性階段：

式中：Wcm為超壓峰值為靜載數值時對應的結構位移，ω為振動角頻率。

在tT時刻彈性響應結束準備進入塑性響應，此時對應結構最大彈性位移及速度：

且可知塑性階段結構任一時刻t對應的結構速度及位移為

由于結構動荷載等效為基于理想彈塑階段內的等效靜載，其動力系數表達式為

1.2 沖量及等效時長分析

由沖量定義及圖1所示，未考慮躍遷的指數型衰減荷載所對應沖量函數表達式

荷載曲線形狀調整參數a數值越大，指數型衰減荷載所對應的曲線越陡峭，負超壓峰值及作用時長越小。為較好擬合測試曲線，其數值取值范圍可取1.27≤a≤1.61[11]，為滿足建筑結構抗爆設計一般特點，本文取端部值即1.27與1.61為后續分析參數值。

結合圖1荷載曲線所包圍的面積變化可知：t0時刻之前，考慮躍遷后的指數型衰減荷載所對應的沖量數值小于未考慮躍遷的指數型衰減荷載沖量數值，t0時刻之后該沖量又偏大。因此需計算其沖量：

將式(13)～(14)做函數差值對a進行求導分析，可知對于任意的t0＞0，當a＞0時，公式(14)對應的數值為大，即考慮躍遷后，沖量隨之增大，對結構抗爆設計偏不利。

以式(13)為基準，未考慮躍遷的等沖量線性衰減荷載，其等效時長為：

即指數型衰減荷載真實作用時長t+與等沖量線性衰減荷載等效時長ti的比值δ分別為1.464、1.6。

2 結構體系塑性階段劃分

常規炸藥空爆沖擊波作用時長t+很短，經等沖量換算后的線性衰減荷載等效時長tI更短，結構完成彈塑性最大變形時間tm＞t+及tm＞tI，即此時對應結構外荷載為零。結構完成彈性變形進入塑性變形時刻tT存在兩種可能性：t0＜t+＜tT＜tm，即較晚進入塑性階段及t0＜tT＜t+＜tm，即較早進入塑性階段。

為精簡篇幅，本文只給出考慮躍遷的指數型衰減荷載動力系數求解過程及公式，等沖量線性衰減荷載求法簡單，公式不再單獨求解，而以其計算結果的相對差值比例在本文工況示例計算給出。

2.1 較晚進入塑性階段

若令 θ0=ωt0，θT=ωtT，θ+=ωt+，由公式 (7)計算考慮躍遷的指數型衰減荷載等效靜載動力系數：

若定義A=Kh

因θT為中間變量，所以需將其求出，求解后其表達式為

由式(8)可得考慮躍遷的指數型衰減荷載彈性階段結束時對應的振動速度與位移比值為

由式(9)及塑性階段v(tm)=0可導出

由式(10)及塑性階段v(tm)=0可導出

由式(11)可知

式中，Wm為結構進入塑性階段結構最大位移。又因為

將式(20)、(22)代入式(21)后可知

2.2 較早進入塑性階段

若令θm=ωtm，由前述定義t0＜tT＜t+＜tm及動力系數公式可知，考慮躍遷的指數型衰減荷載等效靜載動力系數為：

由式(7)可得考慮躍遷的指數型衰減荷載對應的彈性結束時對應的振動速度為

由式(10)及塑性階段v(tm)=0可得速度的另一解為

代入式(11)后可得

3 彈塑性階段動力系數計算算例

3.1 工況分組及計算結果

根據躍遷時長占正超壓總時長的比值(t0/t+)、爆炸荷載正超壓作用時間t+與等沖量線性衰減荷載等效時間tI比值δ確定了4種典型計算工況。為相互對比，以等沖量線性衰減荷載結構荷載參數θI=ωtI為0.2～2.8，0.2為步長，共計14項作為基本計算數據，而ωt+(即θ+)按作用時長與等效時長換算后再計算為對比數據。為能涵蓋工程結構設計時所對應的延性比，延性比β為1～5作為計算范圍。工況分組如表1所示。

表1 工況分組Table 1 Calculation cases

由式(23)及(28)可知，動力系數Kh不為顯式函數，由θT、θ+、θm定義及延性比β的范圍作為控制條件，分別賦初值后迭代求解并匯總。工況1計算結果及與線性衰減荷載的差異比值見表2。 表中β為1.0數據列為結構動力系數公式退化至彈性狀態時求解結果，紅色間斷線左側數據為考慮躍遷升壓的指數型衰減荷載模式下結構較晚進入塑性階段所對應的公式計算得出，紅色間斷線包圍的右側數據為考慮躍遷升壓的指數型衰減荷載模式下結構較早進入塑性階段所對應公式計算得出。表中藍線左上方(右下方)數據為等沖量線性衰減荷載模式下結構較晚進入塑性階(較早進入塑性階段)段所對應計算公式得出。工況1～工況4之間相對差值及與直線型衰減荷載差異如圖2所示。

表2 工況1動力系數計算KhTable 2 Dynamical coefficient Kh for calculation case 1

圖2 線性衰減荷載與本文荷載計算模式動力系數對比Fig. 2 Dynamical coefficients comparison between linear load and exponential loading with transition

由表1、圖2、各計算工況與規范指定的等沖量線性衰減荷載計算結果可知，延性比β＜1.6時，等沖量線性衰減荷載動力系數偏大；β＞1.6時，線性衰減荷載計算數值先偏大后偏小。線性衰減荷載的ωt+對應的設計范圍明顯偏小；β≤3.0時，考慮躍遷的指數衰減荷載計算結果數值大小依次遞減順序為工況3、1、4、2，其中工況3與工況1之間的差異最大值為1.2%，最小為0，平均為0.4%，差異極小；工況4與工況2之間的差異最大值為1.5%，最小為0，平均為0.7%，差異很小，略大于工況3與工況1之間的差異，即躍遷時長比對動力系數的影響很小，β=5.0時，躍遷時長比對動力系數的影響可忽略，指數形狀調整參數影響效果明顯。

結合圖2，以工況1與工況2之差異為典型對比，取規范采用的等沖量線性衰減荷載為基準量，分析指數形狀調整參數a對動力系數的計算結果影響(η)，見圖3所示。

設計參數θ+＜0.8δ時，工況1和工況2之間的差異逐漸增大，數值上仍很小，差異數值最大為2%，0.8δ＜θ+＜1.4δ時，除β=5的差異約為5.0%以外，其它延性比對應的工況1和工況2之間的差異先減小后增加，數值上仍很小，差異約仍小于2%；1.4δ＜θ+＜2.2δ時，工況1和工況2之間的差異逐漸增大，趨于穩定數值，平均約為3.8%，說明形狀調整參數a對計算結果的影響與設計參數θ+緊密相關。

圖3 線性衰減荷載與典型工況結果差異性比值Fig. 3 The difference ratio between linear decay load and typical calculation conditions

3.2 結果分析

考慮躍遷升壓的指數型衰減荷載等效靜載動力系數，其求解結果可分為彈性狀態、較晚進入塑性狀態、較早進入塑性狀態3種類型，3種物理含義對應的間數據能很好銜接；等沖量線性衰減荷載等效靜載動力系數也有此3種狀態，但當θ+＞1.4δ時，彈性狀態數據直接與較早進入塑性狀態的數據進行銜接，缺少較晚進入塑性狀態的過渡。在同一爆炸荷載作用下，若結構設計的柔度越大，即θ+數值越小，對應的等效靜載動力系數越小，在θ+＜0.4δ時，4種工況對應的動力系數均大于由等沖量線性衰減荷載計算數值，最大數值為1.7%，誤差較小；當0.6δ≤θ+≤1.2δ時，其動力系數均小于等沖量線性衰減荷載計算結果，最大誤差為10%，當θ+＞2.2δ時，或當設計延性比β=5且θ+＞1.4δ時，等沖量線性衰減荷載動力系數無解而考慮躍遷的指數型衰減荷載有解。

特別地，4種典型工況中，均當延性比β=3且θ+＞1.4δ時，考慮躍遷后的指數型衰減荷載等效靜載動力系數均大于等沖量線性衰減荷載等效靜載動力系數數值，且大于幅度較高，最大誤差為17.7%，即此區間按規范所規定的等沖量線性衰減荷載進行等效靜載設計時，偏不安全。

相同躍遷時長比值下，當θ+＜0.4δ時，即柔度特別大的結構，形狀調整參數a對應的動力系數計算數值誤差基本為0，即形狀調整參數a在此范圍對計算結果不敏感；較晚進入塑性狀態范圍內，隨著形狀調整參數a的提高，動力系數計算數值變小；較早進入塑性狀態數據，隨形狀調整參數a的提高，動力系數計算數值增大。

相同的指數荷載形狀調整參數a下，隨著躍遷時長比值的增加，所有工況的動力系數均增加，增加幅度較小且有限，最大值1.5%，即不考慮躍遷會導致計算結果偏小，但誤差可忽略。

4 結 論

以考慮升壓躍遷的指數型衰減荷載為研究對象，考查了與等沖量線性衰減荷載等效靜載動力系數的差別，并分析了躍遷時長比、指數形狀調整參數對動力系數的影響，得到以下主要結論：

(1) 與等沖量線性衰減荷載相比，考慮躍遷的指數型衰減荷載動力系數彈性狀態、較晚及較早進入塑性狀態銜接更為合理，可進行設計的延性比β與結構荷載參數θ+范圍更廣，較小β及結構荷載參數θ+對應的動力系數較小，對應為當前現行結構設計規范設計偏安全；較大β及θ+對應的動力系數偏大，且幅值較高，若此范圍區間仍采用規范類線性衰減荷載進行抗爆設計，偏不安全；

(2) 相同躍遷時長比值下，指數荷載形狀調整參數a越大，對較早進入塑性狀態動力系數提高越大，對θ+＜0.4δ對應的較晚進入塑性狀態計算結果基本不產生影響，對θ+＞2.5對應的較晚進入塑性狀態計算數值為降低作用；

(3) 相同指數荷載形狀調整參數a下，躍遷時長比值增加會導致動力系數結果提高，但幅度有限，最大值1.5%，平均值依據不同工況在0.4%～0.7%范圍，可忽略其影響。