厚度冪指數(shù)分布管狀結(jié)構(gòu)耐撞性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與方法研究*

徐峰祥，張 鎖，武昆迎

（1. 武漢理工大學(xué)現(xiàn)代汽車(chē)零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070；2. 武漢理工大學(xué)汽車(chē)零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430070）

連續(xù)變截面或者變厚度板技術(shù)是一種新興的薄板軋制工藝[1-3]，在滿(mǎn)足車(chē)身結(jié)構(gòu)性能的基本前提下通過(guò)該技術(shù)可以使車(chē)身零部件進(jìn)一步減輕重量。由于變厚度技術(shù)減少了復(fù)雜的焊接工序，所以具有一定成本優(yōu)勢(shì)，為進(jìn)一步推廣應(yīng)用提供了良好的基礎(chǔ)，研究變厚度板技術(shù)對(duì)車(chē)身輕量化具有較大作用[4]。

與拼焊板結(jié)構(gòu)相比，變厚度板結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是厚度屬性可以靈活變化，再加上厚度的連續(xù)特性，使其不會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)度或者應(yīng)力突變等缺陷；其次，變厚度板技術(shù)也不會(huì)遇到拼焊板所固有的焊接難題。變厚度板技術(shù)的基本原理是通過(guò)輥軋輪的上、下運(yùn)動(dòng)軋制而形成具有一定厚度分布的板材[5-7]，這樣采用較少重量的材料就可以制成車(chē)身結(jié)構(gòu)件，促使其在汽車(chē)車(chē)身零部件結(jié)構(gòu)中具有一定的應(yīng)用前景[8]。

Kopp等[9-10]最早從成形角度研究變厚度板軋制控制以及回彈等問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)用較少的材料就可以加工成比較高剛度和強(qiáng)度的車(chē)身零部件。包向軍[11]從試驗(yàn)角度和數(shù)值模擬方面研究了變厚度板的彎曲和回彈；任灝宇等[12]在控制模型及理論基礎(chǔ)等方面對(duì)連續(xù)變厚度板進(jìn)行了研究；姜銀方等[13]通過(guò)有限元模擬研究了變厚度板塑性變形過(guò)程。

但上述研究重點(diǎn)基本都是圍繞其成形工藝特性，僅有少數(shù)學(xué)者在輕量化和耐撞性等方面進(jìn)行了研究。從Yang等[14-15]的研究可以得出結(jié)論，變厚度結(jié)構(gòu)具有較高的材料利用率和較大的設(shè)計(jì)靈活性；蘭鳳崇等[16]引入充分利用材料特性的連續(xù)變厚度板，實(shí)現(xiàn)前縱梁的耐撞性和輕量化雙重目標(biāo)，設(shè)計(jì)結(jié)果表明，變厚度結(jié)構(gòu)的變形量和加速度峰值較小，質(zhì)量也有一定的降低，降幅達(dá)到5.21%，并且并沒(méi)有明顯削弱耐撞特性。然而，少量的研究不足以對(duì)變厚度結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)。

本文中，研究厚度連續(xù)分布的管狀結(jié)構(gòu)的耐撞性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則及方法，假定厚度的梯度變化形式是冪指數(shù)分布，推導(dǎo)等質(zhì)量條件下其與其它管狀結(jié)構(gòu)（比如均勻管、拼焊管以及錐管等）之間的定量解析關(guān)系并對(duì)比其吸能特性，并對(duì)冪指數(shù)梯度變化形式的管狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行耐撞性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)。

1 厚度連續(xù)分布形式及數(shù)值模型

1.1 厚度分布假設(shè)

理論上本文封閉的管狀結(jié)構(gòu)應(yīng)該是通過(guò)板結(jié)構(gòu)的折彎、激光焊接等工藝制造而成，由于焊縫較窄，對(duì)試件性能的影響較小，尤其是對(duì)動(dòng)態(tài)大變形耐撞性問(wèn)題，焊縫帶來(lái)的影響更小，所以在數(shù)值模擬中可以將焊縫視為共節(jié)點(diǎn)連接方式，即不考慮焊縫的材料和尺寸屬性。圖1是厚度連續(xù)遞增的薄壁結(jié)構(gòu)軸向碰撞示意圖，上端部壁厚ttop和下端部厚度tbot分別是碰撞開(kāi)始端和末端，中間過(guò)渡厚度由某種特定函數(shù)關(guān)系給定。

從管狀結(jié)構(gòu)的軸向壓潰過(guò)程可知，薄壁結(jié)構(gòu)的碰撞端即開(kāi)始端首先發(fā)生壓潰變形，所以管狀吸能結(jié)構(gòu)的厚度分布應(yīng)該是從最薄逐漸過(guò)渡到最厚，即碰撞端的厚度應(yīng)該是最薄的（ttop=tmin），固定端則最厚（tbot=tmax），這樣就可以使管狀結(jié)構(gòu)更容易發(fā)生漸進(jìn)式（或手風(fēng)琴式）折疊。與文獻(xiàn)[17]中功能梯度泡沫材料的密度分布形式相類(lèi)似，本文將特定管狀結(jié)構(gòu)的厚度假設(shè)為冪指數(shù)分布形式，也就是厚度沿著軸向逐漸增大的形式（圖2），最小和最大厚度分別用t0和tm表示，即：

式中：n為梯度指數(shù)，x為距離管狀結(jié)構(gòu)上端部的長(zhǎng)度，L為薄壁管的總長(zhǎng)度。

圖1 厚度連續(xù)遞增的薄壁結(jié)構(gòu)軸向碰撞示意圖Fig. 1 Schematic of thin-walled structures with thickness increasing under axial crashing

圖2 厚度比沿著長(zhǎng)度方向的變化情況Fig. 2 Thickness changes of thin-walled structures along the length direction

1.2 數(shù)值模型及驗(yàn)證

為了方便討論問(wèn)題，考慮到目前制造工藝方面的不足，此處通過(guò)簡(jiǎn)單的線切割手段得到厚度線性分布（n=1.0）的圓管結(jié)構(gòu)（圖3）。碰撞端（上端）有最小的厚度值tmin，固定端（下端）有最大的厚度值tmax。本文試件的尺寸為：t0=tmin=1.2 mm，tm=tmax=1.5 mm，D=45 mm，L=120 mm。所采用的材料為鋁合金(AA6061-T5)，彈性模量為68.2 GPa，密度為2 700 kg/m3，泊松比為0.33，材料屬性通過(guò)準(zhǔn)靜態(tài)拉伸試驗(yàn)（2 mm/min）測(cè)得，得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖4所示。

如果將變厚度管分割成若干層，那么均勻管的等效厚度（與冪指數(shù)分布管有相同質(zhì)量）為：

式中：ti為第i層的厚度，NS為總層數(shù)，Le為單層長(zhǎng)度。通過(guò)不同層數(shù)構(gòu)造的收斂性分析，此處設(shè)定31層已滿(mǎn)足要求。

如圖5所示，數(shù)值模擬和試驗(yàn)得到的峰值碰撞力分別為31.5和30.1 kN，相對(duì)誤差控制在5%以?xún)?nèi)；另外，從變形模型和褶皺數(shù)量來(lái)看，結(jié)果同樣具有良好的吻合程度，這證明了該模型可以進(jìn)一步預(yù)測(cè)其他冪指數(shù)分布管的變形模式和行為。

圖3 冪指數(shù)管狀結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 3 Schematic showing thickness grading patterns in the axial direction

圖4 材料應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig. 4 Stress-strain curve of material

圖5 冪指數(shù)分布管(FGT)的試驗(yàn)測(cè)試和數(shù)值結(jié)果比較Fig. 5 Comparisons of experimental and numerical results for tubes

2 參數(shù)解析關(guān)系及設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

均勻等直管和錐管結(jié)構(gòu)（圖6）都是常見(jiàn)的薄壁吸能結(jié)構(gòu)。決定錐管碰撞性能的參數(shù)是壁厚和錐角；而決定變厚度管耐撞性的是梯度函數(shù)。采用等質(zhì)量原則進(jìn)行參數(shù)的等效處理，得到不同管狀結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)之間的關(guān)系，這樣可以方便改變結(jié)構(gòu)參數(shù)，分析在等質(zhì)量條件下不同截面形狀的碰撞特性。

圖6 變厚度管和錐管的示意圖Fig. 6 Schematics of variable thickness and tapered tubes

2.1 冪指數(shù)分布管與均質(zhì)等直管之間的等效關(guān)系

在相同體積或者質(zhì)量的情況下，等直管和冪指數(shù)分布管的幾何參數(shù)之間的關(guān)系可以寫(xiě)成：

式中：h是管狀結(jié)構(gòu)的高度，tU是等直管的等效厚度。

等直管的等效厚度tU和冪指數(shù)分布管的指數(shù)n能夠顯示表達(dá)為

由式(4)可知，對(duì)于特定的厚度分布，等直管具有相對(duì)應(yīng)的等效厚度。

2.2 冪指數(shù)分布管與錐管之間的等效關(guān)系

與前面相似，冪指數(shù)分布管和錐管相關(guān)的幾何參數(shù)之間的關(guān)系可以表達(dá)為：

式中：tT和θ分別為錐管的厚度和傾斜角度，a為方管寬度的一半或圓管的半徑。

如果錐管的厚度tT等于冪指數(shù)管的最小厚度t0，那么決定性能的梯度指數(shù)n和傾斜角度θ之間存在一定的關(guān)系：

所以存在有特定傾斜角度θ的錐管，即：

更進(jìn)一步地，n＞0時(shí)，有：

式中：C0=h/[2a(tm/t0-1)]。

若錐管壁厚tT與冪指數(shù)分布管的下端厚度tm相同，那么將存在以下關(guān)系：

式中：C0=h/[2a(t0/tm-1)]。

注意到上述解析關(guān)系對(duì)截面是方形和圓形的管狀結(jié)構(gòu)都是一樣的，為了討論方便，在此僅對(duì)方形截面的管狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究。

2.3 冪指數(shù)分布管的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，錐管的傾斜角度不應(yīng)過(guò)大（假設(shè)該角度不小于π/3），因此：

根據(jù)式(10)，有：

即：

對(duì)于tT=tm的情況，錐管上端尺寸大于下端，即傾斜角度為鈍角(θ＞π/2)，這就要求2a＞2h tan (θπ/2)，則有：

將Cm代入至式（13）可以得到冪指數(shù)分布管的幾何參數(shù)與梯度指數(shù)之間的表達(dá)式：

3 耐撞性分析

首先對(duì)比冪指數(shù)分布管(FGT)、拼焊管(TWB)、均勻管(UT)之間的吸能特性，有限元模型如圖7所示。冪指數(shù)分布管的上、下端厚度分別為0.8 mm和2.2 mm；采用厚度不同、材料相同的兩拼組合，其厚度分別為冪指數(shù)分布管的上/下半部分的等效厚度，均勻管等效厚度由式（2）給出。不同指數(shù)n下等效拼焊管及均勻管的厚度見(jiàn)表1。

從圖8(a)可以看出，當(dāng)n＜1.0時(shí)，拼焊管的峰值載荷位于均勻管和冪指數(shù)管之間，冪指數(shù)分布管所得到的峰值載荷最小，這說(shuō)明其有效降低了峰值碰撞力，具有明顯的安全優(yōu)勢(shì)。而均勻管的峰值碰撞力在不同的梯度指數(shù)下均是最大的。另外，冪指數(shù)分布管在比吸能指標(biāo)上也具有明顯的優(yōu)勢(shì)（圖8(b)）。綜上所述，冪指數(shù)管是一種理想的吸能薄壁結(jié)構(gòu)。

圖7 三種管結(jié)構(gòu)的有限元模型Fig. 7 Finite element model of three tubular structures

表1 三種管狀結(jié)構(gòu)在相同質(zhì)量下的厚度分布Table 1 Thickness distributions of three tubes with the same weight

圖8 三種管狀結(jié)構(gòu)的吸能特性對(duì)比Fig. 8 Comparisons of energy absorption capacity of three kinds of tubes

圖9是冪指數(shù)管與錐管在不同情況下的碰撞性能對(duì)比，A、B分別代表0＜n≤1和1＜n≤10，1～6代表不同的錐管厚度，從1變化到6，錐管厚度不斷增大，角度也逐步傾斜。可以看出冪指數(shù)管的碰撞載荷隨著梯度值的不斷增大而減小。

圖9 冪指數(shù)分布管和錐管在不同情況下的碰撞性能對(duì)比Fig. 9 Crashing performance of tubular structures with power exponent and tapered angles

綜上所述，冪指數(shù)分布管的比吸能和峰值碰撞載荷等碰撞指標(biāo)優(yōu)于等直管和錐管，主要的原因在于冪指數(shù)管的厚度是按照一定梯度形式變化的，可使冪指數(shù)管的耐撞性效果能夠進(jìn)行合理預(yù)測(cè)和評(píng)估，使得壓潰變形程度更平緩并可控。

4 設(shè)計(jì)過(guò)程與討論

對(duì)于不同的梯度指數(shù)，冪指數(shù)分布管的厚度分布是不同的，所以在此將梯度指數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，并將比吸能和峰值碰撞力設(shè)定為耐撞性指標(biāo)，這樣冪指數(shù)分布管狀結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題就可以表達(dá)函數(shù)：

冪指數(shù)管狀結(jié)構(gòu)的碰撞過(guò)程是非線性行為，在數(shù)學(xué)上不可能獲取目標(biāo)函數(shù)的解析函數(shù)，所以通過(guò)近似模型技術(shù)(如響應(yīng)面等)來(lái)擬合耐撞性響應(yīng)[18]。需在兩個(gè)設(shè)計(jì)空間0≤n≤1和1≤n＜10內(nèi)隨機(jī)選取測(cè)試點(diǎn)來(lái)構(gòu)建SEA和Fmax的響應(yīng)面模型。反求出響應(yīng)面近似模型的參數(shù)之后，接下來(lái)需檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木取３Ｓ玫恼`差估計(jì)方式有決定系數(shù)R2，相對(duì)平均絕對(duì)誤差 δavg，相對(duì)最大絕對(duì)誤差δmax：

式中：yi、和分別為響應(yīng)的實(shí)測(cè)值、預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)值的平均值。表2和表3是比吸能響應(yīng)面近似模型的精度評(píng)估結(jié)果，其中上標(biāo)G和U分別表示冪指數(shù)分布管和均勻管，可以看出階數(shù)越高，模型精度越高。

圖10給出了通過(guò)響應(yīng)面模型得到的冪指數(shù)分布管和均勻管的優(yōu)化結(jié)果（Pareto前沿），冪指數(shù)分布管的Pareto前沿位于右上方，這表明其比均勻管具有更好的優(yōu)勢(shì)。通過(guò)不同階數(shù)響應(yīng)面模型得到的均勻管的設(shè)計(jì)結(jié)果基本一致，而對(duì)于冪指數(shù)分布管的Pareto前沿解來(lái)說(shuō)具有不同的結(jié)果。比如，在圖10(a)中點(diǎn)A的左邊，具有更高的吸能能力（擁有階數(shù)更高的響應(yīng)面），在點(diǎn)B的右側(cè)，通過(guò)二階多項(xiàng)式近似模型可以得到更好的優(yōu)化結(jié)果，說(shuō)明較高精度的響應(yīng)面近似模型并不一定可以得到更優(yōu)的結(jié)果。

表2 比吸能響應(yīng)面近似模型的精度評(píng)估(0≤n≤1)Table 2 Accuracy estimate of response surface model of SAE (0≤n≤1)

表3 比吸能響應(yīng)面近似模型的精度評(píng)估(1＜n≤10)Table 3 Accuracy estimate of response surface model of SAE (1＜n≤10)

圖10 不同響應(yīng)面模型(RSM)的冪指數(shù)分布管(FGT)和均勻管(UT)的Pareto前沿解Fig. 10 Pareto solutions of tubular structures with power exponent (FGT) and uniform thickness (UT) by different response surface models (RSMs)

5 結(jié) 論

本文研究了一種厚度冪指數(shù)分布管狀薄壁吸能結(jié)構(gòu)，分析了不同厚度梯度對(duì)其耐撞性能的影響，最后研究了其耐撞性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，主要得到以下結(jié)論：

(1) 根據(jù)質(zhì)量等效原則，推導(dǎo)出了三種吸能結(jié)構(gòu)（冪指數(shù)管、等直管和錐管等薄壁結(jié)構(gòu)）的尺寸參數(shù)之間的關(guān)系，為對(duì)比分析其耐撞性能提供了良好的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)；

(2) 得到了冪指數(shù)分布管的幾何設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，即梯度指數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足不等式條件n+1≥a/h(tm/t0-1)；

(3) 將梯度指數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，在兩個(gè)設(shè)計(jì)區(qū)間內(nèi)采樣并分別構(gòu)建合理的響應(yīng)面近似模型，通過(guò)對(duì)比證實(shí)高階響應(yīng)面近似模型得到的設(shè)計(jì)結(jié)果不一定是最優(yōu)的。