基于線性規劃的轉管武器曲線槽優化設計

熊 鎬，王惠源

(中北大學 機電工程學院, 太原 030051)

轉管武器凸輪系統是一種典型的圓柱凸輪系統，轉管武器射速越高，自動機的工作性能越差，一方面，機芯組的加速度增大導致機芯滾輪與曲線槽之間的接觸力增大，同時增加驅動系統的功耗；另一方面，機芯在曲線槽內加速和減速時的碰撞會造成轉管武器機芯在曲線槽內的振動情況加劇。所以，曲線槽結構設計的優劣直接關系到轉管武器的工作性能和壽命長短[1]。

文獻[1]在過渡段上采用五次曲線代替正弦曲線(擺線)實現了對曲線槽的優化，得到一種加速度較低的曲線槽結構。文獻[2]中取消斜直線段，增加過渡段曲線的角度，從而降低了轉管武器的驅動功率；文獻[3]中則將轉管武器曲線槽的后直線段去除，實現了比文獻[2]中更低的驅動功率。轉管武器曲線槽設置后直線段是為了保證供彈，斜直線段也與供彈時機芯的運動有關，取消斜直線段和后直線段必然會帶來其他結構的改變。

本研究發現，在傳統的研究中，研究人員對轉管武器曲線槽的優化大多是針對加速度優化，以追求更小的滾輪與曲線槽之間的碰撞力，從而延長轉管武器壽命，但轉管武器機芯運動的速度、加速度、躍度、功耗等并不是相互獨立的，其中一個變化，必然會帶來機芯運動情況整體變化。本研究認為對曲線槽的優化應該綜合考慮綜機芯運動的速度、加速度和躍度等多個方面。

線性規劃是研究約束條件下線性目標函數極值問題的數學理論與方法，線性規劃模型首先列出約束條件所表示的可行域，最后在可行域內求目標函數的最優解及最優值[4-6]。本研究提出了一種利用Matlab優化算法和線性規劃理論對曲線槽結構進行優化設計的方法，旨在為轉管武器和圓柱凸輪曲線槽設計人員提供一種在對曲線槽基本結構不產生較大影響的前提下的曲線槽優化設計方法。

1 曲線槽結構與機芯運動規律

轉管武器由多根身管組成，每根身管都有對應的機芯，機芯滾輪位于固定在炮身上的凸輪槽內，轉管武器回轉體帶動機芯做圓周運動時，由于凸輪槽對機芯滾輪的推力，機芯相對于回轉體作前后滑動，完成裝彈、推彈入膛、擊發、抽殼和拋殼的動作[4]。圖1所示為轉管武器機芯運動示意圖，其中，ω為回轉體轉動方向。

圖1 機芯運動示意圖

圖2所示為轉管武器曲線槽展開圖，即為機芯理論運動軌跡展開圖。θ1、θ3、θ5、θ7為過渡段；θ2、θ6為斜直線段；θ4為前直線段；θ8為后直線段；β為壓力角；h為機芯行程；h1、h2為過渡段軸向長度。

圖2 曲線槽展開圖

轉管武器曲線槽設計時，通常先根據內彈道要求確定前直線段所占角度θ4，以保證機芯閉鎖確實后擊發和膛壓下降到安全值時再開鎖；其次根據供彈要求確定后直線段所占角度θ8，最后再根據一側斜線段所占總角度θ確定θ1、θ2、θ3，其中過渡段是機芯運動情況變化的主要階段，對曲線槽的優化也主要是對過渡段結構的優化。

在機械原理中可知，從動件的運動規律有：等速運動、等加速等減速運動、簡諧運動、正弦加速度運動、多項式運動規律和組合運動規律等[1]。轉管武器曲線槽過渡段曲線通常使用多項式加速度曲線或修正正弦加速度曲線[5]。修正正弦加速度運動規律是一種典型的組合運動規律，主要應用于高速、中載的場合，其加速度峰值較??；五次多項式運動規律有較好的躍度連續性，理論上既無剛性沖擊也無柔性沖擊。

五次多項式加速度曲線槽加速段結構：

(1)

修正正弦加速度曲線槽加速段結構(圖3)：

圖3 修正正弦加速度曲線槽加速段結構

修正正弦加速度曲線是由正弦曲線(θA)、二次曲線(θB)、正弦曲線(θC)三段拼接而成。 式(2)～式(4)為過渡段曲線表達式：

第一段的位移、速度、加速度和躍度：

(2)

在加速度分布的第二段為等加速度：

(3)

在加速度分布的第三段為正弦加速度，其加速度由大到小，與0≤θ≤θA段的正弦加速度在相位上正好相差90°，同理可寫出：

(4)

為保證曲線連續光滑，在θA、θB、θC處的位移、速度、加速度相連的曲線分別相等。式中C1-C7可以根據θA、θB、θC的邊界條件確定，過渡曲線段的擬合由下式確定：

h2=m(θA+θB+θC)+θE

(5)

式中:m為斜直線段斜率。

對于斜直線段，五次多項式曲線和修正正弦加速度曲線均為：

(6)

對于減速段，各種曲線均采用與加速段相同的曲線結構，只是改變曲線的方向。

根據拼接條件推導出加速段、斜直線段和減速區段的結構應滿足以下要求：

修正正弦加速度曲線

(7)

五次多項式加速度曲線

(8)

2 優化方法

2.1 優化目標

轉管武器凸輪曲線設計時，主要關注機芯的動力學和運動學性能有以下幾項：

1) 機芯最大速度Vm

回轉體轉速一定時，機芯的最大速度與凸輪曲線槽的壓力角成正比，過大的壓力角不僅傳動效率低，甚至會出現卡死的現象，為了防止出現過大的壓力角，應降低機芯運動的最大速度Vm。

2) 機芯最大加速度Am

自動機工作過程中，機芯與曲線槽間的接觸力主要受最大加速度的影響，過大的加速度會使機芯滾輪與曲線槽之間的接觸力增大，導致構件磨損加劇，同時，過大的加速度還會造成逆傳動，影響自動機工作。

3) 機芯最大躍度Jm

式(1)為機芯與曲線槽橫越沖擊速度的計算公式[7]：

(9)

式中：J為沖擊出現時的機芯的躍度；μ為機芯滾輪與曲線槽的間隙。

由式(9)可以看出，躍度直接影響機芯對轉管武器的沖擊，為了減小振動，需要控制躍度最大值。

4) 轉管武器的驅動功耗

轉管武器達到穩定射頻時，慣性載荷比其他載荷的影響都要大，因此為了評價轉管武器的驅動功耗，引入慣性矩Q，最大慣性矩Qm與電機峰值動力有關，是選擇電機的基本數值之一[8]。

Q=AV

(10)

通過以上分析可知，選取VmAmJm為轉管武器曲線槽優化的主要特征值，在滿足設計要求的前提下，各主要特征值越小越好。

2.2 線性加權法

機芯的VmAmJm并不能獨立存在，而是存在相互之間的聯系，所以只能根據實際要求，以其中一個特征值較小為主要目標，其余特征值較小為次要目標。這里使用線性加權法，將多目標優化問題轉化為單目標優化問題。

根據線性加權法，構造特征值的目標函數f1(x)，f2(x)，f3(x)；對應取一組非負值作為權數ω1，ω2，ω3；進而可以構造如下評價函數[6]：

(11)

式(11)的最優解就是目標函數在線性加權和意義下的最優解，其中加權因子的選擇主要是根據具體要求選取，且權數滿足歸一性和非負性條件。

(12)

fi(x)為無量綱處理后的目標函數。經過這樣的處理后，目標函數統一了量綱，再通過線性加權法構造評價函數就能充分地反映各子目標函數的重要性。

轉管武器通常對機芯軸起始階段和終止階段的運動規律沒有特殊要求，本研究使用對稱結構，即加速段和減速段采用對稱的曲線槽參數，這樣一來設計變量主要是θ1和h2，θ1和h2的關系通過拼接條件確定，且：

(13)

根據上述思想，分別對修正正弦加速度曲線和五次多項式加速度曲線求得VmAmJm：

五次多項式：

(14)

修正正弦加速度：

(15)

(16)

(17)

修正正弦加速度曲線有：

(18)

根據以上分析可以構建如下評價函數：

(14)

式中：ω1，ω2，ω3為權數，對于轉管武器，通常按照AmVmJm的優先順序選取加權因子，這里選用ω=[0.4,0.5,0.1]。這樣就將多目標優化問題轉化成對評價函數f(x)求解的單目標優化問題。

Matlab是Mathworks公司推出的一套功能強大的數值分析軟件，是目前世界上應用最廣泛的工程計算軟件之一[9]，Matlab優化工具箱為用戶提供了大量用于優化計算的函數，linprog是Matlab優化工具箱中用于線性規劃的求解函數。本文中直接調用linprog函數對f(x)求解。

3 運動分析

為了驗證利用線性規劃思想對曲線槽進行優化設計的可靠性和優點，本研究采用與文獻[1]中優化目標相同的6管6 000發/min高射速轉管武器為例進行分析，并與之對比。分別計算了以下4種共計5條曲線作為對比：

1) 權重ω=[ω1,ω2,ω3]=[0.4,0.5,0.1]時的修正正弦加速度曲線(曲線1)和五次多項式加速度曲線(曲線2)；

2) 權重ω=[0,1,0]時的修正正弦加速度曲線(曲線3)和五次多項式加速度曲線(曲線4)，即式(17)和式(18)計算結果；

3) 原曲線槽結構

圖3為自動機工作循環圖[1]，根據擊發要求，需要保證開閉鎖時間和內彈道時間，則前直線段角度θ4=74°，根據供彈等因素影響，后直線段角度θ8=32°，機芯行程h=300 mm，曲線槽中徑95 mm。

圖4 自動機工作循環圖

為了不改變曲線槽基本結構，前直線段和后直線度所占角度不變，確定斜線段所占角度θ后，根據式(7)、式(8)和式(13)的約束條件，利用Matlab優化工具箱中用于線性規劃的求解函數linprog對式(14)目標函數求解，得到線性加權條件下的θ1、θ2、θ3角度分配關系，再通過式(1)～式(8)求得相應的曲線槽理論結構曲線，以及機芯運動的速度、加速度和躍度曲線。

曲線槽原結構為修正正弦加速度曲線，根據優化結果分配各部分所占角度。為了對比驗證優化結果，附上原結構角度分配關系和文獻[1]的角度分配關系。轉管武器角度分配關系如表1所示。

表1 曲線槽角度分配

圖5所示機芯位移曲線即為曲線槽中心線基本結構，可以看出，優化后的模型整體結構沒有發生大的變化，對曲線槽的優化不會造成其他部分結構的變化。

圖5 機芯位移曲線

圖6為機芯速度曲線，曲線3和曲線4的機芯速度有明顯的增大，曲線1和曲線2則相比于原結構有一定程度的速度降低，對機芯的速度性能有一定的改善。

圖6 機芯速度曲線

由圖7所示機芯加速度曲線可以看出，曲線3和曲線4機芯的加速度相比于原結構有明顯的降低，而曲線1和曲線2則對加速度沒有較大的改變，可以認為，在不改變前后直線段結構的情況下，曲線3和曲線4分別是6管6 000發/min轉管炮在修正正弦加速度曲線和五次多項式加速度曲線結構下的機芯加速度最小的曲線。

圖7 機芯加速度曲線

圖8為機芯運動的躍度曲線，可以看出，相比于修正正弦加速度曲線的機芯躍度，五次多項式躍度的峰值遠大于修正正弦加速度，但是在機芯減速段上的躍度峰值最小，當轉管武器經過加速段和勻速段進入減速段時，機芯由于受到曲線槽的推力方向改變和間隙的存在，將會受到橫越沖擊[7]，由式(9)可知，躍度較小有利于改善機芯與曲線槽的碰撞情況。

圖8 機芯運動躍度曲線

表2所示為機芯運動規律的主要情況，可以看出，曲線1、曲線2和原結構的機芯運動速度相當，而曲線3、曲線4和文獻[1]給出的曲線槽結構下，機芯的速度相比于原結構有較大的增加；慣性矩Qm反映曲線槽對驅動系統峰值動力的要求，是電機選型的參考值之一。對比可知，修正正弦加速度曲線的優化結果與原曲線相比Qm減小了約3%，五次多項式Qm與原曲線結構相當，而加速度最小的曲線3的慣性矩Qm最大，相比于原結構，最大慣性矩Qm增加了14.26%，而文獻[1]針對6管6 000發/min轉管炮優化的曲線，其機芯加速度與曲線3相當，而最大慣性矩Qm比原結構增加了13.19%。

表2 計算結果

4 結論

1) 分析可知，曲線3、曲線4和文獻[1]以減小機芯最大加速度為目的對曲線槽進行優化，加速度最大值有明顯的下降，但相應的機芯的最大慣性矩卻大幅度上升，即對驅動系統的驅動能力有了更高的要求，工程上未必可行，尤其是對口徑較大、管數較多的轉管武器，功耗要求的增加比起機芯加速度增加會帶來更多問題。

2) 本研究提出利用線性規劃理論，對機芯的速度、加速度和躍度進行線性加權處理，構造目標函數對曲線槽結構進行優化設計，通過對權重的設置，綜合考慮機芯速度、加速度和躍度，設計出線性加權條件下的最優曲線，轉管武器凸輪曲線槽更符合實際工程需求。

3) 就加速度特性，線性加權條件下的最優解，與五次多項式曲線相比，修正正弦加速度峰值較低，有利于減小機芯滾輪與曲線槽的接觸力，延長機芯壽命；就機芯運動穩定性看，五次多項式加速度曲線躍度連續性較好，雖然躍度峰值最大，但是在機芯供彈行程橫越沖擊點上的躍度在各種曲線中最小，可以認為五次多項式加速度曲線的機芯運動穩定性最好。