基于陸基導航系統的航空器定位三維約束平差算法及其仿真計算

宋 韜

(中國民用航空飛行學院 空中交通管理學院， 四川 德陽 618307)

區域導航(Area Navigation,RNAV)是一種可在導航設施的有效覆蓋范圍內，或在自主導航設備的能力限制內，或在兩者配合下，指引航空器沿任意規劃的飛行路徑航行的導航方式。[1]與僅支持向、背臺飛行的傳統陸基導航相比，它實現了在導航區域內不受導航設施分布限制的自由航行，從而能夠縮短飛行距離，避免空中交通擁堵，增大空域利用效率。

目前，欲實現區域導航，可采用的導航源主要為基于星基導航的GNSS/INS和基于陸基導航的DME/DME及VOR/DME等[2]。其中，GNSS(全球導航衛星系統)能夠在全球范圍提供全天候、高精度的導航服務，是實現RNAV所主要采用的導航源[2]。但星基導航在受環境干擾的情況下難以提供連續、穩定和可靠的導航服務，且未安裝衛星導航機載設備的航空器也無法實現基于GNSS的區域導航。綜上所述，為提高系統可靠性，區域導航需要具備能滿足一定導航精度需求的陸基導航作為備份和增強[3]。

1 基于陸基導航的區域導航現行定位方法分析

對于區域導航(RNAV)，主要立足于實現引導航空器沿任意預定航線飛行。這需要已知預定航線的航線角與航線距離。因此，區域導航的關鍵問題之一是利用已知觀測量實現航空器的高精度定位。[4]而可以用于區域導航的陸基導航系統主要有DME/DME和VOR/DME兩種方式。

1.1 區域導航的現行定位方法

1.1.1 DME/DME

RNAV(DME/DME)通過中心點平面坐標已知的兩個(或多個)測距裝置(DME)，根據導航臺與航空器間的斜距近似代替水平距離作為初始觀測量，從而利用距離交會原理計算出航空器的當前平面坐標。[1]該方式的定位精度受DME臺與航空器間的空間幾何關系和空間距離影響較大，而利用傾斜距離(斜距)近似代替水平距離的特性也限制了定位精度的提升。

1.1.2 VOR/DME

RNAV(VOR/DME)需要利用一個坐標已知的VOR/DME(甚高頻全向信標/測距機)導航臺，機載設備通過接收航空器與導航臺間的方位(VOR)及斜距(DME)測量值，并利用極坐標原理進行定位。[1]這種系統的定位原理簡單，在覆蓋有VOR/DME臺的區域都可進行導航，但這一傳統方式不涉及多余觀測量，無法對定位結果進行檢核和精度增強，且與“DME/DME”類似，也存在以斜距測量值近似代替水平距離而使精度受限的問題。

1.2 斜距代替水平距離的測距誤差分析

受當前陸基導航設備(VOR與DME)無法測量其與待測目標間的俯仰角這一限制，傳統定位方法只能利用斜距近似代替水平距離進行坐標計算，而這會對水平距離的測量產生額外的系統誤差，從而降低定位精度。斜距代替水平距離所產生的系統誤差ΔD計算式為：

(1)

式(1)中，S為斜距；θ與H分別為導航臺與待測點間的俯仰角度；D為水平距離。從式(1)可知，當其他條件不變時，斜距代替水平距離所產生的系統誤差隨著高差H的增加，俯仰角θ的增大或水平距離D的減小而增大。在4種不同水平距離和高差的情況下，由斜距代替水平距離產生的系統誤差如表1所示。

表1 斜距代替水平距離的系統誤差統計表

2 三維約束平差算法模型

綜上所述，現行基于陸基導航系統的區域導航定位精度主要受到缺乏多余觀測值的約束及用斜距近似代替水平距離等問題的制約。

如果直接利用多個陸基導航臺(VOR/DME)的斜距和方位角觀測量，基于“最小二乘”原則進行三維約束平差求解，則能夠避免由于斜距替代水平距離產生的系統誤差對定位精度的影響，且能通過多余觀測值減小定位過程中的偶然誤差[5]。下面介紹基于斜距和方向觀測值的三維嚴密約束平差算法推導。

2.1 概略坐標值計算

圖1、圖2分別為基于陸基導航的區域導航定位原理透視圖和平面圖。如圖1、2所示，A、B分別為兩個VOR/DME陸基導航臺，其中心點的平面坐標及高程已知，分別為：A(XA,YA,HA)和B(XB,YB,HB)。P點為航空器所在的待定未知點。通過位于A、B兩點的陸基導航設備測距機(DME)，可測得未知點P與導航臺A、B間的傾斜距離(即斜距)：SAP和SBP(圖1)，而通過甚高頻全向信標系統(VOR)可測得位于A、B兩點處的飛機磁方位角：αAP和αBP(圖2)。

在根據陸基導航臺的距離和方位觀測值進行嚴密平差前，需要利用必要觀測量(兩個導航臺的飛機磁方位角和飛機距一個導航臺的斜距)，求解待定點P的概略三維坐標(XP0,YP0,HP0)。

圖1 基于陸基導航的區域導航定位原理示意圖(透視圖)

圖2 基于陸基導航的區域導航定位原理示意圖(平面圖)

如圖2，根據位于A、B兩點的航空器磁方位角測量值：αAP和αBP，可得關系式為：

(2)

從而，P點的概略坐標計算式為：

(3)

2.2 斜距和方向測量值的誤差方程

圖3為區域導航三維約束平差平面示意圖。導航臺i代表在對未知點P進行概略坐標計算后，可實施多余觀測的VOR/DME導航臺。

圖3 區域導航三維約束平差示意圖

(4)

式(4)中，(XP,YP,HP)為待求點的坐標平差值，它與坐標值改正數(dxP,dyP,dHP)的關系為：

(5)

將式(5)代入式(4)，并將該方程組根據泰勒級數線性化后，可以得到根據斜距與方向觀測值列出的誤差方程：

(6)

根據式(6)，可構建平差誤差方程：

V=Bdx-l

(7)

式(7)中，為觀測值改正數向量[vSiP,vαiP]T；dx為坐標改正數向量[dxP,dyP,dHP]T；和分別為系數矩陣和常數項向量。

利用最小二乘原理(使VTPV最小)，可得坐標改正數計算式：

dx=(BTPB)-1BTPl

(8)

式(8)中，P為測量值的權陣，可利用測量值的大小進行經驗定權。從而得到待定點的三維坐標平差值(XP,YP,HP)。

2.3 測量精度評定

平差計算后的單位權中誤差的估值計算式為[7]：

(9)

式(9)中，n為測量值總個數，t為必要測量數(根據本文2.1可知，t=3)。則未知點坐標中誤差的計算如下[7]：

(10)

式(10)中，QXPXP、QYPYP、QHPHP為協因數陣QX中的對角線元素。根據協因數傳播率，協因數陣為：QX=(BTPB)-1。

從而，可得待定點平差值的點位中誤差為：

(11)

3 仿真計算與分析

為驗證三維約束平差算法在基于陸基導航系統的區域導航中的可行性，利用微軟模擬飛行10 (Microsoft Flight Simulator X)，將一架Boeing737-800型客機置于某地空中P點[8-9]。如圖4所示，在該航空器周邊，選取三個VOR/DME導航臺：A、B、C作為測量數據來源。

圖4 仿真計算示意圖

航空器和導航臺在該地區高斯投影直角坐標系[10]中的實際平面坐標值和高程，以及通過機載設備得到的航空器相對于各導航臺的斜距與飛機磁方位角測量值如表2所示。

通過上述機載設備測量值，分別用三種方式對航空器所在的P點坐標進行求解：

方式1，通過A、B兩導航臺的斜距測量值,利用距離交會原理求解(DME/DME)；

方式2，通過B點導航臺的斜距與方位角測量值利用極坐標原理求解(VOR/DME)；

方式3，通過A、B、C三個導航臺的斜距與方位角測量值利用三維平差算法求解(VOR/DME三維約束平差)。

3種方式所得航空器坐標計算結果及其與真實坐標的偏差值如表3所示。

表2 仿真計算已知坐標及測量值列表

表3 航空器坐標計算結果及其偏差值統計

通過三維平差算法的精度評定，P點的坐標中誤差和點位中誤差如表4所示。

表4 坐標中誤差與點位中誤差列表

通過對表3相關數據對比分析可知，在基于飛行模擬軟件進行的仿真計算中，傳統求解算法所得結果的坐標分量偏差值和平面位置偏差值均顯著大于三維平差算法的結果，且傳統求解算法無法得出待定點垂直坐標H。而三維平差算法能夠計算出包括垂直坐標在內的三維坐標值。此外，該算法亦能通過精度評定來評估待定點坐標的定位精度[11](表4)，從而能客觀反應坐標計算結果的準確性。

4 結語

通過對基于陸基導航設備的區域導航三維約束平差定位算法的理論推導和仿真計算結果比較與分析，可得出如下結論：

為實現航空器可沿任意規劃的飛行路徑航行的區域導航(RNAV)，對航空器進行較高精度定位至關重要；陸基導航作為星基導航及慣性導航的備份與增強，可以提高導航系統的連續性和可靠性。

VOR/DME導航臺不能測量航空器相對于電臺的俯仰角度。因此，目前基于DME/DME和VOR/DME的區域導航，在航空器定位過程中，通常將斜距近似代替水平距離進行求解，定位精度受到較大局限，且不能通過精度評定對定位點坐標的解算精度進行評估。

根據仿真計算結果，將機載設備測得的斜距和方位角作為原始測量值，并考慮斜距與水平距離的幾何關系，依據最小二乘原理進行三維約束平差求解，能夠顯著減小定位點的各坐標分量偏差及位置偏差，并能滿足區域導航RNAV1的定位技術要求[12]，并能通過精度評定(坐標中誤差及點位中誤差)對解算坐標的定位精度進行評估。