凍土水力傳導系數的理論模型研究

湯 瑞，周國慶，王建州，趙光思，焦 威

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凍土水力傳導系數的理論模型研究

湯 瑞，周國慶※，王建州，趙光思，焦 威

（中國礦業大學深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室，徐州 221008）

凍土水力傳導系數多采用經驗公式來描述，其結果缺少理論依據。該文從冰水界面水膜熱力學理論出發，對克拉貝隆方程進行修正，得到孔隙水凍結溫度與孔隙半徑的關系式。基于此，結合毛細管束理論和土壤凍結特征曲線（SFCC），給出預測凍土水力傳導系數的理論模型，并與前人的實測值和經驗公式進行對比分析。結果表明：孔隙凍結溫度隨著孔隙半徑的減小而下降，且溫度下降速率也隨之逐漸增大；考慮未凍孔隙水和未凍水膜作為水分的遷移通道，該模型計算值與試驗結果具有很好吻合度，且優于經驗公式，驗證該模型的合理性；最后指出SFCC的擬合效果會影響該模型的預測結果。

凍土；水力傳導系數；模型；孔隙大小；凍結溫度；SFCC

0 引 言

全球陸地面積的70%分布著凍土，而中國多年和季節性凍土區總面積約占全國面積的75%[1]。隨著中國重大工程的建設，如青藏鐵路、輸油管線、輸配電等多年凍土及季節凍土區交通運輸、水利電力、信息通訊、能源動力、民用工業建筑等大量凍土工程建設迅速發展，這些凍土工程建設勢必受到凍土區土體凍脹的影響。而凍脹主要是水力梯度下的直接水分遷移和溫度梯度等驅動下的水分間接遷移導致的冰分凝的宏觀表現。凍土水力傳導系數是影響未凍水遷移的主要因素之一。同時，在大量凍脹方程中，如水熱耦合方程[2-4]、水熱鹽耦合方程[5-6]、水熱力耦合方程[7-9]和水熱鹽力耦合方程[10-12]，從這些耦合方程中可知凍土水力傳導系數是一項重要的模型參數。

對于凍土水力傳導系數的研究國內外的學者做了大量的工作，并取得一定的成果。主要集中在兩個方面：一是，通過試驗裝置直接測得凍土的水力傳導系數[13-15]，如Watanabe等[16]實測在0 ℃附近處未凍水含量和凍土水力傳導系數，結果表明當溫度低于?0.5 ℃時，此時凍土不具有滲透性；同時測定了飽和凍土和非飽和未凍土的水力傳導系數，并認為在相同含水量下兩者的水力傳導系數一致[17]；二是，采用間接的方法獲得水力傳導系數，并分為兩類，一類是認為凍土的水力傳導系數是僅關于溫度的函數[18]，或是根據未凍土滲透系數預測公式，類比得到了凍土水力傳導系數關于含冰量、含水量的函數[19]，另一類如Weigert等[20]通過分析凍結過程中水分分布間接估計凍土水力傳導系數。但不管采用哪種方式得到的結果都不具有普適性，同時，預測方法的經驗系數并沒有明確的物理含義，也沒有系數的確定步驟。所以采用經驗公式得到的預測值，其合理性值得商榷。

鑒于凍土水力傳導系數的理論研究較少，本文從土顆粒表面冰水界面水膜熱力學理論出發，得到孔隙水凍結溫度的表達形式。同時，結合毛細管束理論和SFCC給出預測凍土水力傳導系數的理論模型。從理論上建立凍土水力傳導系數與溫度和未凍水含量之間的理論模型，可為凍脹模型研究提供重要的模型參數，亦可為寒區工程防凍脹問題提供參考和依據。

1 構建理論模型

1.1 孔隙凍結溫度

針對正凍土凍結溫度的研究，大量的學者都已驗證了克拉貝隆方程的合理性。但該方程起初是以冰水溶液為研究對象，并認為冰和水的自由能僅受到溫度和壓力的影響。但在真實土體中孔隙水還受到土顆粒的吸力，這會導致孔隙水自由能下降，從而影響到孔隙水的凍結溫度。基于此，周揚等[21]、胡坤[22]引入等效水壓力對克拉貝隆方程進行修正，即

在凍結過程中不斷變化，其中當180°時，冰點下降值最大。為了方便得到孔隙凍結溫度隨孔隙半徑的變化，取180°，由公式（4）計算得圖1。

圖1 孔隙凍結溫度與孔隙半徑關系

從圖1可以看出：孔隙凍結溫度與半徑存在依次對應，同時孔隙凍結溫度隨著半徑減小而下降；孔隙半徑在減小到10-6m時，孔隙凍結溫度發生明顯的變化，此時下降率開始明顯增加。

1.2 基于毛細管束理論下未凍水體積含量

土體內部存在大小不一的孔隙，并被水和空氣所占據。對于飽和未凍土，如圖2a所示，為了方便研究未凍土的水力傳導系數，前人假設土體中存在大小不一的毛細管束（如圖2b所示），同時水分在毛細管中遷移。對于凍土，St?hli等[26]認為在凍土中孔隙被三相介質（空氣、未凍水和冰）占據，其中未凍水存在于小孔隙中，空氣存在于大孔隙中，而冰介于兩者之間，并得到非飽和凍土的毛細管束模型。結合公式（4）可知：在凍結過程中，冰最先出現在孔隙半徑較大的毛細管中。隨著凍結溫度不斷的下降，孔隙水按照孔徑從大到小依次相變成冰。換言之，在任何一個凍結溫度下，都存在一個臨界半徑r，當毛細管孔徑半徑大于臨界半徑r，毛細管發生凍結；反之，毛細管未發生凍結。如圖2c所示。

注：r為毛細管管徑，ra為臨界半徑。

基于上述分析，假設冰為圓柱形并對稱分布在毛細管中，管中水膜厚度處處相等，此時，未凍水含量包括以下兩個部分：一是凍結孔隙中的未凍水膜，二是來自于未凍結孔隙的未凍水。故未凍水體積可表示為

式中V(r)表示半徑為r的毛細管中未凍水的體積，N代表土體中毛細管的總數量；f(r)為土體中孔隙半徑的概率密度函數；lr為實際的毛細管道的長度，m；如圖3所示，并滿足lr=ζ×l，其中l為直毛細管的長度，m；ζ為彎曲度（ζ≥1）。

在公式（5）中，右式中第一項表示未凍結毛細管中未凍水的體積含量，第二項為凍結毛細管中的未凍水膜的體積含量。假設研究的土體單元具有規則的形狀如圓柱體或立方體，因此，土體單元的體積可以表示為

式中為土體試樣的底面積，m2；為土體試樣的高度，即為直毛細管的長度。利用公式（5）和公式（6），未凍水的體積含量可表示為

式7中，當土體的初始含水量確定時，r是定值；僅有r是隨著凍結溫度的下降而變化。將公式7對r求導得

1.3 基于毛細管束理論下凍土水力傳導系數

同時毛細管斷面上的速度分布滿足邊界條件，即在管壁處速度為零，得到毛細管中速度分布為

根據泊肅葉定律[27]，在半徑為的單管管中，未凍水流量可以表示為

注：re為沿管徑方向上的位置，v為流速，η為動力黏滯系數，τ為黏滯力。下同。

2）當r≤r<r時，毛細管中處于凍結狀態，此時毛細管中存在冰和未凍水膜。由于在冰表面和管壁處流速為零，所以在半徑-到中，存在一個半徑1，在此處流速達到最大。故將未凍水膜劃分為兩個區域，如圖5所示。

圖5 凍結毛細管中流速分布

同理，流體滿足力學平衡和邊界條件（即，在冰水交界處和管壁處流速為零），故不同區域下流速分布的表達式分別為

式中2-1、2-2分別為圖5區域1和2的流速分布。由于毛細管中流速是連續分布函數，故在1處2-1=2-2，故流速最大的位置為

在公式（15）中，右邊第一項可以表示未凍土的總流量，第二項代表由于冰的生成而減小的流量。根據達西定律[27]，凍土的水力傳導系數為

同理，在公式（16）中，右邊第一項代表未凍土的水力傳導系數，第二項表示是由于冰而導致水力傳導系數下降值。可以看出該表達式能夠表征凍土水力傳導系數隨溫度的下降而減小的現象，且能夠描述水力傳導系數減小的過程。對公式（16）求導得

1.4 凍土水力傳導系數預測模型

由于孔徑的概率密度函數頗為復雜，極難用具體的數學形式來表述。為了規避該函數，利用公式（8）和公式（17），得到凍土水力傳導系數與未凍水之間的關系

由公式（4）可知：r和關于溫度的函數。為了計算推導方便，將上式簡化為

對公式（19）從min到積分，可以得出凍土的水力傳導系數。當積分上限溫度min時，表明凍土中所有的毛細管都被凍結，此時凍土的水力傳導系數為零。因此，凍水的水力傳導系數表示為

式中T為參考溫度，K；k為參考溫度下凍土的水力傳導系數，m/s。

2 本模型參數確定步驟

本模型需要的參數包括：最大孔隙的凍結溫度max、最小孔隙的凍結溫度min、未凍水含量關于溫度的函數θ()、參考溫度T和參考溫度下的水力傳導系數k，共計5個參數。其中參數取值如下：

1）θ()可通過對SFCC擬合得到；

2）對于max和min都是關于孔隙半徑的函數，根據公式（4）可以獲得。而最大和最小孔徑需通過壓汞試驗確定。同時由于孔徑概率密度存在差異，即使當大孔徑發生凍結后，由于所占比重小，對水力傳導系數影響不大。所以應該存在孔徑閾值，當小于該閾值時凍土的水力傳導系數會發生首次明顯的變化。將孔徑閾值所對應的溫度近似定義為max。為了簡化對max的確定過程，可通過SFCC的擬合公式獲得：當未凍水含量等于初始含水量時，所得的溫度即為max，并認為在0℃到max范圍內未凍水含量不發生變化，水力傳導系數也不發生變化。由1.2節內容可知：當納米級的孔隙發生凍結時，較大孔隙都應發生凍結。而土體最小孔隙為納米級，從圖1中可以看出：納米級的孔隙所對應的凍結溫度為?45 ℃左右，即是min；

3）T和k可通過滲透試驗獲得。

3 驗證與討論

3.1 常用經驗公式

Tarnawski等[28]提出凍土水力傳導系數的預測公式，表達式如下：

式中k為飽和條件下未凍土的水力傳導系數，m·s-1；為未凍水體積含量；飽和含水率；d為幾何平均粒徑；為幾何方差；m、m和m分別為黏粒、粉粒和沙粒的質量分數；d、d和d分別為黏粒、粉粒和沙粒的粒徑分布界限，其值分別為0.001、0.026和1.025 mm。

Fowler等[29]在O’Neill等[30]的基礎上給出了預測凍土水力傳導系數的經驗公式

然而，Lundin[31]認為冰的產生是導致凍土水力傳導系數下降的原因，凍土的水力傳導系數應等于同等液量下未凍土的水力傳導系數乘以與含冰量有關的阻抗因子，并給出了相應的預測公式

3.2 算例分析

根據文獻[32]，試樣為青藏粉質黏土，其基本物理參數見表1所示。

表1 青藏粉質黏土的基本物理參數

7） 本模型參數

張虎等[32]通過試驗得到凍結特征曲線，并根據實測數據擬合得到未凍水與溫度之間關系，如圖6所示。在圖6中，實測數據點分布在?0.3～?5 ℃之間，溫度為0 ℃時對應試樣的初始含水量，而陰影面積為未凍水的“黑盒子”，該范圍內未凍水的變化是未知的。

圖6 部分擬合的SFCC

根據第2節內容，確定本模型參數，取-0.3℃為參考溫度。本模型具體計算參數見表2。并根據已有的擬合公式得到完整的凍結特征曲線，如圖7所示。

表2 本模型計算參數

注：θuw為未凍水含量，T為土體溫度。下同。

Note: θuwis the unfrozen water content, T is the soil temperature. The same as below.

注：Tmax為最大孔隙的凍結溫度。

2）結果分析

將上述3中預測公式計算結果和本文理論模型以及實測數據相互對比，如圖8所示。

圖8 水力傳導系數模型與經驗公式和實測值比較

從圖8中可以看出：由4種方法所預測的凍土水力傳導系數隨溫度變化的趨勢基本一致，且都滿足隨溫度的下降而減小的規律。但通過Tarnawski公式[28]和Lundin公式[31]所得的預測值與實際觀測值存在較大的偏差，偏差量甚至超過4個數量級。僅本模型和Fowler公式[29]表現良好，當溫度低于?0.4 ℃時，Fowler公式[29]所得的預測值要更加接近實測值，但該預測公式中存在經驗系數，其值往往是從某一范圍中任意確定，并沒有明確的物理意義和取值步驟，其預測值的可靠性值得商榷。而本模型的計算值大多接近實際觀測值，僅在0～?0.0357 ℃范圍內存在差異，但曲線整體逼近實測值。同時，本模型中所有參數都要明確的物理意義，故優于其他的經驗公式。

4 結 論

本文建立了凍土水力傳導系數的理論模型，并和前人的試驗數據以及常用的經驗公式進行對比分析，研究表明：

1）本模型計算結果和試驗結果有很好的吻合度，驗證本模型的合理性，且本模型不存在經驗系數，要優于其他的經驗公式，具有普適性。故本模型建議采用SFCC來計算凍土水力傳導系數的觀點。

2）將毛細管束運用到凍土中，考慮未凍水膜和孔隙水兩個遷移路徑，能夠很好的揭示水分遷移過程。在基于水膜熱力學理論，考慮土顆粒吸力對未凍水膜化學式能的影響，得到修正后的克拉貝隆方程，使得孔隙凍結溫度的表達式更加合理。其中，孔隙凍結溫度隨著孔隙半徑的減小而下降。

3）本模型是基于準穩態過程而提出的，由于在0 ℃附近凍土處于劇烈的相變階段，為了減弱該影響，所以不能采用部分SFCC，應使用更加精確完整的SFCC。

[1] 周幼吾，郭東信，邱國慶，等. 中國凍土[M]. 北京：科學出版社，2000.

[2] Harlan R L. Analysis of coupled heat-fluid transport in partially frozen soil[J]. Water Resource Research, 1973, 9(5): 1314－1323.

[3] 汪仁和，李棟偉.正凍土中水熱耦合數學模型及有限元數值模擬[J]. 煤炭學報，2006(6)：757－760.

Wang Renhe, Li Dongwei. Moisture-temperature coupling mathematical model in freezing soil and finite element numerical simulation[J]. Journal of China Coal Society, 2006(6): 757－760. (in Chinese with English abstract)

[4] Wu Daoyong, Lai Yuanming, Zhang Mingyi. Heat and mass transfer effects of ice growth mechanisms in a fully saturated soil[J]. International Journal of Heat and Mass transfer, 2015, 86(1): 699－709.

[5] 黃興法，曾德超，練國平.土壤水熱鹽運動模型的建立與初步驗證[J]. 農業工程學報，1997，13(3)：37－41.

Huang Xingfa, Zeng Dechao, Lian Guoping. A numerical model for coupling movement of water heat and salt in soil under the conditions of frozen, unfrozen, saturated and unsaturated[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 1997, 13(3): 37－41. (in Chinese with English abstract)

[6] Padilla F, Villeneuve J P. Modeling and experimental studies of frost heave including solute effects[J]. Cold Regions Science and Technology, 1992, 20(2): 183－194.

[7] 劉月，王正中，王羿，等. 考慮水分遷移及相變對溫度場影響的渠道凍脹模型[J]. 農業工程學報，2016，32(17)：83－88.

Liu Yue, Wang Zhengzhong, Wang Yi, et al. Frost heave model of canal considering influence of moisture migration and phase transformation on temperature field[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2016, 32(17): 83－88. (in Chinese with English abstract)

[8] Liu Zhen, Yu Xiong. Coupled thermo-hydro-mechanical model for porous materials under frost action: Theory and implementation[J]. Acta Geotechnica, 2011, 6(2): 51－65.

[9] Zhou Jiazuo, Li Dongqing. Numerical analysis of coupled water, heat and stress in saturated freezing soil[J]. Cold Regions Science and Technology, 2012, 72(3): 43－47.

[10] Wu Daoyong, Lai Yuanming, Zhang Mingyi. Thermo- hydro-salt-mechanical coupled model for saturated porous media based on crystallization kinetics[J]. Cold Regions Science and Technology, 2017, 133(1): 94－107.

[11] 馮瑞玲，蔡曉宇，吳立堅，等.硫酸鹽漬土水-鹽-熱-力四場耦合理論模型[J]. 中國公路學報，2017，30(2)：1－10，40.

Feng Ruiling, Cai Xiaoyu, Wu Lijian,et al. Theoretical model on coupling process of moisture-salt-heat-stress field in sulfate salty soil[J]. China Journal of Highway and Transport, 2017, 30(2): 1－10, 40. (in Chinese with English abstract)

[12] 牛璽榮. 硫酸鹽漬土地區路基水、熱、鹽、力四場耦合機理及數值模擬研究[D]. 西安：長安大學，2006.

Niu Xirong. The Study and Numerical Simulation on Moisture-Heat-Salt-Stress Coupled Mechanism in the Sulphate Saline Soil Subgrade[D]. Xi'an: Chang'an University, 2006. (in Chinese with English abstract)

[13] Burt T P, Williams P J. Measurement of hydraulic conductivity of frozen soils[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1974, 11(4): 647－650.

[14] Burt T P, Williams P J. Hydraulic conductivity in frozen soils[J]. Earth Surface Processes, 1976, 1(4): 349－360.

[15] Horiguchi K, Miller R D. Hydraulic conductivity functions of frozen materials[C]//Proc. 4th Int. Conf. Permafrost, National Academy Press, Washington D C, 1983: 504－508.

[16] Watanabe Kunio, Osada Yurie. Simultaneous measurement of unfrozen water content and hydraulic conductivity of partially frozen soil near 0 °C[J]. Cold Regions Science and Technology, 2017, 142(10): 79－84.

[17] Watanabe Kunio, Osada Yurie. Comparison of hydraulic conductivity in frozen saturated and unfrozen unsaturated soils[J]. Vadose Zone Journal, 2016, 15(5): 1－7.

[18] Nixon J F D. Discrete ice lens theory for frost heave in soils[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1991, 28(6): 843－859.

[19] Taylor G S, Luthin J N. A model for coupled heat and moisture transfer during soil freezing[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1978, 15(4): 548－555.

[20] Weigert A, Schmidt J. Water transport under winter conditions[J]. Catena, 2005, 64(2): 193－208.

[21] 周揚，周國慶，周金生，等. 飽和土凍結透鏡體生長過程水熱耦合分析[J]. 巖土工程學報，2010，32(4)：578－585.

Zhou Yang, Zhou Guoqing, Zhou Jinsheng, et al. Ice lens growth process involving coupled moisture and heat transfer during freezing of saturated soil[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(4): 578－585. (in Chinese with English abstract)

[22] 胡坤. 凍土水熱耦合分離冰凍脹模型的發展[D]. 徐州：中國礦業大學，2011.

Hu Kun. Development of Separated Ice Model Coupled Heat and Moisture Transfer in Freezing Soils[D]. Xuzhou: China University of Mining and Technology, 2011. (in Chinese with English abstract)

[23] Scherer G W. Crystallization in pores[J]. Cement and Concrete Research, 1999, 29(8): 1347－1358.

[24] Israelachvili J N. Intermolecular and Surface Forces-intermolecular and Surface Forces[M]. London: Academic Press, 1991.

[25] Dash J G, Fu H, Wettlaufer J S. The premelting of ice and its environmental consequences[J]. Report on Progress in Physics, 1995, 58(1): 115－167.

[26] St?hli M, Jansson P E, Lundin L C. Soil moisture redistribution and infiltration in frozen sandy soils[J]. Water Resources Research, 1999, 35(1): 95－103.

[27] 李廣信. 高等土力學[M]. 北京：清華大學出版社，2011.

[28] Tarnawski V R, Wagner B. On the prediction of hydraulic conductivity of frozen soils[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1996, 33(1): 176－180.

[29] Fowler A C, Krantz W B. A generalized secondary frost heave model[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1994, 54(6): 1650－1675.

[30] O’Neill K. The physics of mathematical frost heave models: A review[J]. Cold Regions Science and Technology, 1983, 6(3): 275－291.

[31] Lundin L C. Hydraulic properties in an operational model of frozen soil[J]. Journal of Hydrology, 1990, 118(4): 289－310.

[32] 張虎，張建明，張致龍，等. 凍結狀態青藏粉質黏土的滲透系數測量研究[J]. 巖土工程學報，2016，38(6)：1030－1035.

Zhang Hu, Zhang Jianming, Zhang Zhilong, et al. Measurement of hydraulic conductivity of Qinghai-Tibet Plateau silty clay under subfreezing temperatures[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2016, 38(6): 1030－1035. (in Chinese with English abstract)

[33] Brooks R H, Corey A T. Properties of porous media affecting fluid flow[J]. Journal of the Irrigation and Drainage Division, 1966, 92(2): 61－90.

Research on theoretical model for hydraulic conductivity in frozen soils

Tang Rui, Zhou Guoqing※, Wang Jianzhou, Zhao Guangsi, Jiao Wei

(,221008)

The hydraulic conductivity of frozen soil is not only one of the main factors affecting the speed of moisture migration, but also an important model parameter in a large number of frost heave models. However, the study of the hydraulic conductivity for frozen soil is often described by empirical formulas. The calculation results lack a theoretical basis, and the predicted values of different empirical formulas often have enormous deviations. Therefore, it is debatable to use the empirical formula to predict the hydraulic conductivity coefficient of frozen soil. In order to reveal the process of moisture migration, according to the theory of water film thermodynamics at the ice-water interface, this paper points out that the water flow can be regarded as the Darcy flow under the equivalent pressure control in frozen soil. On this basis, the expression of pore water freezing temperature and pore radius is obtained. The capillary bundle theory is applied to the frozen soil and combined with the soil frozen characteristic curve to give a theoretical model for predicting the hydraulic conductivity of frozen soil, Meanwhile, the function of pore radius probability density is eliminated to make this proposed model convenience to calculate and use. The calculated values of this model are compared with the experimental data and empirical formulas of the predecessors. The results show that the pore freezing temperature decreases with the decrease of pore radius, and the temperature drop rate also increases. The freezing temperature reduction rate is significantly accelerated especially when the pore radius is less than 10-6m. Considering the unfrozen pore water and the unfrozen water film as the migration channel of moisture, in general, the calculated values of this model agree well with the experimental results and are better than the empirical formula, which proves the rationality of the model. The predicted values of the hydraulic conductivity of frozen soil obtained by three empirical formulas are even different by four orders of magnitude for Qinghai-Tibet silty clay. Although the predicted value obtained by the Fowler formula is closer to the measured value, there is an empirical coefficient in the prediction formula. For the empirical coefficient is often arbitrarily determined in a certain range, and it is no clear physical meaning and calculation procedure, which leads to the reliability of the predicted value from the empirical formula is debatable. At the same time, the power function is used to fit the soil frozen characteristic curve (SFCC) in this model, which tends to infinity near 0 ℃. In order to ensure the continuity of the function of the SFCC, the piecewise function is used to describe the soil frozen characteristic curve, but the deviation of the calculated and measured values of the model within 0?-0.035 7 ℃. Because the model is based on a quasi-steady state process, and the frozen soil is in the stage of intense phase change near 0 ℃. Thus, this paper pointed out that the fitting formula of the soil frozen characteristic curve is very important to this model for reducing this deviation near 0 ℃.

frozen soils; hydraulic conductivity; models; pore size; freezing temperature; SFCC

湯 瑞，周國慶，王建州，趙光思，焦 威. 凍土水力傳導系數的理論模型研究[J]. 農業工程學報，2019，35(4)：138－144. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.04.017 http://www.tcsae.org

Tang Rui, Zhou Guoqing, Wang Jianzhou, Zhao Guangsi, Jiao Wei. Research on theoretical model for hydraulic conductivity in frozen soils[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2019, 35(4): 138－144. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.04.017 http://www.tcsae.org

2018-07-31

2019-02-19

國家自然科學基金面上項目（NO.41672343，NO.41772338）；國家自然基金（NO.51204164）

湯 瑞，博士生，從事凍土物理學及寒區工程等方面研究。 Email：tangrui19920210@163.com

周國慶，教授，博士生導師，從事凍土物理學、力學與工程方面研究。Email：gqz@cumt.edu.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2019.04.017

S152; TU47

A

1002-6819(2019)-04-0138-07