例談建構(gòu)主義意義下的初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)指導(dǎo)途徑與策略

吳 威 曾凡霖

（1.福州第一中學(xué)，福建 福州 350300；2.福州三牧中學(xué)，福建 福州350300）

一、建構(gòu)主義背景下開(kāi)展初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的必要性

初中生擁有充足的精力和強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，并且各自有不同的問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)和構(gòu)建新知識(shí)的能力，能夠通過(guò)自己的經(jīng)驗(yàn)、理解，對(duì)未知內(nèi)容進(jìn)行分析、檢驗(yàn)和接受，以同化或順應(yīng)的方式主動(dòng)構(gòu)建新知識(shí)。而建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)并不只是通過(guò)教師的教授來(lái)完成的，而是學(xué)生以原有的知識(shí)作為基礎(chǔ)儲(chǔ)備，一定的社會(huì)文化背景下，通過(guò)教師與學(xué)生、學(xué)生之間的溝通、協(xié)作，借助相應(yīng)的學(xué)習(xí)資料，自發(fā)、主動(dòng)地地建構(gòu)的方式而獲得知識(shí)和構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，新知識(shí)是以已有知識(shí)為生長(zhǎng)點(diǎn)，不斷地生長(zhǎng)、完善起來(lái)的。因此，建構(gòu)主義要求學(xué)生，在教學(xué)活動(dòng)中需要基于各自的經(jīng)驗(yàn)，以同化或順應(yīng)的方式主動(dòng)構(gòu)建新知識(shí)，并且能在真實(shí)的情境中，管理自己的學(xué)習(xí)，完成學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不但需要實(shí)現(xiàn)新的信息在意義上的建構(gòu)，還要對(duì)自己舊有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行改造和重新整合。

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)以及社會(huì)實(shí)踐能力的培養(yǎng)，一直是初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中比較薄弱的環(huán)節(jié)。在目前教育模式下，作為教師，如何為學(xué)生們建構(gòu)一個(gè)好的自主學(xué)習(xí)的環(huán)境，調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)期的熱情，喚起其對(duì)身邊事物的興趣，提升其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，已成為所有一線(xiàn)數(shù)學(xué)教育工作者面臨的新課題。在初中積極開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，對(duì)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，鍛煉其觀察事物、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、協(xié)同合作的能力以及聯(lián)想與想象的能力都有很大的幫助。

二、建構(gòu)主義理論對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的啟示與指導(dǎo)策略

（一）在建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的指導(dǎo)下，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生選擇自己熟悉的背景，感興趣的課題，只有這樣才能找到自己最佳的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)。案例中對(duì)體育有一定興趣的同學(xué)，選擇了“鉛球擲遠(yuǎn)”這個(gè)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，并結(jié)合自己感興趣的物理量進(jìn)行討論和深入探究，充分地進(jìn)行了意義建構(gòu)，較好地貫徹了建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀。

（二）在建構(gòu)主義教學(xué)觀的指導(dǎo)下，教師在數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)過(guò)程中必須重視學(xué)生以自己的認(rèn)知方式去理解新的知識(shí)，思考各個(gè)模型的思想根源，肯定其思維的獨(dú)創(chuàng)性，引導(dǎo)走出思維誤區(qū)，調(diào)整學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的理解，從而讓學(xué)生最終主動(dòng)地構(gòu)建起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在“鉛球擲遠(yuǎn)”案例中，教師需注意傾聽(tīng)學(xué)生的各種觀點(diǎn)，并結(jié)合學(xué)生的不同的觀點(diǎn)來(lái)分析模型、優(yōu)化模型、批判模型，讓學(xué)生能主動(dòng)選出兩個(gè)有決定性的變量：速度和角度。

（三）鑒于“支架式教學(xué)”方式，在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)研究中，教師嘗試先教給學(xué)生初中數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)模型，即孩子的“腳手架”，在學(xué)生尋找、建立自己感興趣的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，尋找他們各自的“最近發(fā)展區(qū)”，幫助他們主動(dòng)建構(gòu)新的知識(shí)。本案例中涉及的初等代數(shù)模型和物理模型，都能作為適合孩子的“腳手架”，讓孩子在研究清楚速度和角度的相關(guān)問(wèn)題后，能逐步增加變量，優(yōu)化模型。

（四）鑒于“拋錨式教學(xué)”方式，在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)研究中，教師在指導(dǎo)過(guò)程中首先要了解學(xué)生的知識(shí)水平和研究水平，要結(jié)合學(xué)生的特長(zhǎng)和興趣、條件等因素設(shè)計(jì)教學(xué)的情境和建模的環(huán)境，盡量讓建模的課題與學(xué)生實(shí)際生活聯(lián)系，與學(xué)生感興趣的問(wèn)題背景相關(guān)，這樣容易讓學(xué)生有獨(dú)到的見(jiàn)解和應(yīng)用產(chǎn)生。

三、建構(gòu)主義意義下初中數(shù)學(xué)建模案例分析

一個(gè)實(shí)際問(wèn)題往往會(huì)受到很多主觀、客觀因素的印象，針對(duì)一個(gè)問(wèn)題建立的理想的數(shù)學(xué)模型既應(yīng)該反映這個(gè)問(wèn)題的全部重要特性，同時(shí)也要考慮學(xué)生的程度和水平，讓其在初中生的數(shù)學(xué)能力范疇內(nèi)能夠求解，這就需要教師制定相應(yīng)的的數(shù)學(xué)建模教學(xué)途徑和策略。

建立一個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通常與問(wèn)題性質(zhì)、建模的目的等有關(guān)，沒(méi)有相對(duì)固定的模式。在本例研究的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中，學(xué)生主要應(yīng)用的是理論分析的方法，即根據(jù)客觀事物本身的性質(zhì)，分析因果關(guān)系，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下用數(shù)學(xué)工具去描述其數(shù)量特征。從理論上說(shuō)，理論分析法建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要經(jīng)歷識(shí)別問(wèn)題、分析量的關(guān)系、模型的假設(shè)和建立、模型求解和分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用共計(jì)六個(gè)步驟。

例如：“初中數(shù)學(xué)建模實(shí)踐案例——如何把鉛球擲得更遠(yuǎn)”

鉛球擲遠(yuǎn)起源于14世紀(jì)歐洲炮兵閑暇期間推擲炮彈的游戲和比賽， 在鉛球賽場(chǎng)上，我們看到的鉛球選手都是人高馬大，但并不是只要有力氣就可以把鉛球擲得遠(yuǎn)。首先，學(xué)生從常識(shí)判斷分析，運(yùn)動(dòng)員能夠?qū)︺U球產(chǎn)生的影響只有初始速度和出手角度兩個(gè)因素，而初始速度越大，在相同條件下顯然擲得更遠(yuǎn)，出手角度則可能存在一個(gè)使投擲距離最遠(yuǎn)的最優(yōu)選擇；另一方面，從運(yùn)動(dòng)員的個(gè)人因素考慮，運(yùn)動(dòng)員的身高，決定了球的出手高度，顯然也能影響投擲的遠(yuǎn)近。

筆者將建模具體的實(shí)踐過(guò)程其呈現(xiàn)為以下五個(gè)階段：教師示范，模型講解；自主學(xué)習(xí)，小組討論；感知生活，建立模型；教師指導(dǎo)，反思優(yōu)化；模型思考，檢驗(yàn)評(píng)估。該課題“如何把鉛球擲得更遠(yuǎn)”是有典型物理背景的初等代數(shù)模型，這個(gè)問(wèn)題牽涉的知識(shí)、學(xué)科很多，需要研究的變量和因素也很多，造成學(xué)生在研究多變量問(wèn)題和選擇解模知識(shí)時(shí)遇到很多困惑。因此，教師嘗試了如下策略：

首先，指導(dǎo)學(xué)生查閱資料，了解相關(guān)的物理知識(shí)，理解該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的物理模型和物理公式，這是十分重要的準(zhǔn)備工作。其次，針對(duì)物理公式中的變量，和學(xué)生共同討論后，選出兩個(gè)有決定性的變量：速度和角度進(jìn)行研究，并且為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，將運(yùn)動(dòng)過(guò)程理想化。然后，逐一研究以下問(wèn)題：實(shí)心球高度與投擲角度的關(guān)系，鉛球射程與投擲角度的關(guān)系，鉛球的水平射程與鉛球初速度的關(guān)系，實(shí)心球落點(diǎn)與投擲力度的關(guān)系，投擲高度與投擲力度的關(guān)系。再次，在學(xué)生將簡(jiǎn)化后的問(wèn)題分析透徹之后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情形，增加變量：出手高度 。將模型進(jìn)行優(yōu)化，得出結(jié)論：做提高初速度的訓(xùn)練，對(duì)提高成績(jī)十分有效，不需要一味找身高較高的選手或者提高出手點(diǎn)。最后，指導(dǎo)學(xué)生采取表格的形式來(lái)檢驗(yàn)優(yōu)化后的模型得到數(shù)據(jù)是否能模擬實(shí)際情形，學(xué)生在數(shù)據(jù)模擬中也驗(yàn)證了：出手角度的改變，對(duì)投擲距離的影響相對(duì)較?。欢跛俣鹊奶岣邔?duì)投擲距離的影響比較大。

綜上，在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)研究中，在建構(gòu)主義觀點(diǎn)的指導(dǎo)下，依照一定的步驟指導(dǎo)學(xué)生：弄清什么是要探究的問(wèn)題，分析問(wèn)題中量的關(guān)系，根據(jù)建模目的進(jìn)行假設(shè)，充分利用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)軟件求解，判斷模型在實(shí)用意義下是否有用。另外，鑒于初中生的能力可能無(wú)法作出比較完美的模型結(jié)論，因此模型的優(yōu)化過(guò)程和教師對(duì)建模過(guò)程的評(píng)價(jià)也是很重要的環(huán)節(jié)，它能幫助學(xué)生從多角度審視問(wèn)題、提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、深度理解模型數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)會(huì)傾聽(tīng)他人意見(jiàn)并做自我反思。這些環(huán)節(jié)能將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的效果最大化。學(xué)生通過(guò)切實(shí)地解決一個(gè)身邊的實(shí)際問(wèn)題，由此積累應(yīng)用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，提升對(duì)數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)知，最終提升學(xué)生的綜合素質(zhì)。