變量形式不變性在一元微積分學(xué)中的應(yīng)用

林偉奇

（福建信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 福州 350003）

人們常說(shuō)要發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，那數(shù)學(xué)的美到底在哪里呢？筆者覺(jué)得數(shù)學(xué)的美，其中會(huì)有很多高度概括、形式簡(jiǎn)潔的符號(hào)化的表達(dá)式，［1］變量的形式不變性實(shí)際上就體現(xiàn)了微積分學(xué)中的符號(hào)的簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一。因此，要理解并掌握變量形式不變性思想。

1.變量形式不變性在求極限中的應(yīng)用

大家都知道兩個(gè)重要極限對(duì)于求一些未定式的極限是非常有用的。

說(shuō)明：在此例要求極限的函數(shù)的指數(shù)中先給個(gè)--x是為了保持變量形式不變，再乘以是為了“平衡”，即-x·，再乘以2x，那是題目的要求。

說(shuō)明：熟練之后，極限符號(hào)下的-2x→0也可以寫(xiě)為x→0.

2.變量形式不變性在微分中的應(yīng)用

一階微分形式不變性是微分學(xué)中一個(gè)重要的性質(zhì)，它實(shí)際上也是體現(xiàn)了變量形式不變性的思想。

若函數(shù)y=f(u)可微，那么不管u為自變量還是可微函數(shù)（中間變量）u=φ(x)，其一階微分的形式dy=f′(u)du不變［2］。這里，出現(xiàn)的是：dy=f′()d()的形式。它只要保持f′()d()的形式不變，不管括號(hào)內(nèi)放的是什么變量，同樣結(jié)果都等于dy。在y=f(x)中，有dy=f′(x)dx，這時(shí)括號(hào)內(nèi)放的是最終變量（也稱自變量）；在y=f(u)中，也有dy=f′(u)du，這時(shí)，括號(hào)內(nèi)放的是中間變量。所以，這個(gè)性質(zhì)還是體現(xiàn)了“變量形式不變性”的思想。

例5：y=sin(x3+1)，求dy。

解 ：設(shè)y=sinu，u=x3+1，則dy=d(sinu)=cosudu=cos(x3+1)d(x3+1)=3x2cos(x3+1)dx

說(shuō)明：熟練之后，求復(fù)合函數(shù)的微分時(shí)，可不用寫(xiě)出中間變量，直接用一階微分形式不變性來(lái)求函數(shù)的微分。

例6：y=etan2x，求dy。

解：dy=etan2xd(tan2x)=2tanxetan2xd(tanx)=2tanx·sec2x·etan2xd。

3.變量形式不變性在第一類換元積分法中的應(yīng)用

說(shuō)明：第一類換元法的解題思路：一般是從被積函數(shù)入“手”，將它拆成兩部分讓其中一部分湊到微分中去然后，再利用變量形式不變性結(jié)合基本積分公式求解。因此，第一類換元法，通常又稱為湊微分法。該方法熟練后，可不必設(shè)u。

綜上所述，變量形式不變性在一元微積分學(xué)中有很大的用處，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一，并且傳遞著深刻的數(shù)學(xué)關(guān)系。［3］