回歸法則，解決逆用冪的運算性質的常見錯誤

◎張 俊

冪的運算，對同學們來說，總體難度不大，尤其是直接利用法則進行計算時更是得心應手。但是，若是遇到運算性質的逆用，錯誤率就會明顯提高。有的同學會把錯誤的原因歸結到粗心或是觀察不仔細。其實，逆用冪的運算性質中的錯誤大多是由于對定義和法則理解不清所導致的。所以要想糾正這些錯誤，還需從回歸法則做起。

例1 若am=6，an=3，求am+n。

【錯解】am+n=6+3=9。

【錯因剖析及解決策略】本題是對同底數冪乘法運算性質的逆用。當同學們看到指數為m+n時，會錯誤地認為這是一個加法運算。此時，應回歸同底數冪乘法的法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加，即am·an=am+n（m、n為正整數）。也就是說當指數相加時，冪一定是相乘的，而不是相加，即am+n=am·an（m、n為正整數）。同學們應該要明確：同底數冪的運算中，只有當同底數冪的指數也相同即成為同類項時，才能進行加減運算，即合并同類項。

【訂正】am+n=6×3=18。

例2 若am=6，an=3，求am-2n。

【錯解1】am-2n=6-6=0。

【錯解2】am-2n=6÷6=1。

【錯解3】am-2n=6-9=-3。

【錯因剖析及解決策略】本題是對同底數冪除法、冪的乘方的運算逆用的綜合。當同學們看到m-2n時，可能會認為這是減法運算，或是認為a2n=2×3=6。此時，應回歸定義和法則：

①同底數冪相除，底數不變，指數相減，即am÷an=am-n（a≠0，m、n為正整數，且m＞n）。也就是說當指數相減時，冪一定是相除的，而不是相減，即am-n=am÷an（a≠0，m、n為正整數，且m＞n）。

②冪的乘方，底數不變，指數相乘，即（am）n=amn（m、n為正整數）。也就是說當指數相乘時，一定是底數為冪的形式的乘方運算，即amn=（am）n（m、n為正整數）。

【錯因剖析及解決策略】本題是對積的乘方、同底數冪乘法運算性質的逆用。當看到兩個底數相乘可以約分時，同學們自然想到將底數相乘，可指數的處理卻沒有遵循法則，錯誤地將其相加，或是選擇其中一個作為指數。解決問題的根本依然在于對法則的理解：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（ab）n=anb（nn為正整數）。也就是說只有在指數相同的情況下才能逆用積的乘方，所以需要將逆用同底數冪乘法法則，將其寫成

留一題給同學們試一試：

若x3=m，x5=n，用含m、n的代數式表示x14。