粘性Cahn-Hilliard方程解的漸近性

曹伯芳，姜金平，曹蘭蘭

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000)

本文考慮以下粘性Cahn-Hilliard 方程：

ut+vΔ2u-δΔut=Δf(u)+g(x,t),

(x,t)∈Ω×(τ,∞)，

(1.1)

u=Δu=0,?Ω×(τ,∞)，

(1.2)

u(τ,x)=uτ(x)，t>τ。

(1.3)

這里v>0，Ω?R2是具有光滑邊界的有界區域,g(x,t)是關于時間t的外力項。δ>0是粘性系數，當δ=0時方程(1.1)就是我們熟知的Cahn-Hilliard方程，關于該方程已有很多作者進行了研究[1-5]。非線性項f滿足以下條件：

f′(u)>-k,F(u)>μ，

(1.4)

存在正常數β,γ,k1,k2，其中0<γ≤β≤，

|f′(u)|≤k1(1+|u|β),

|f′(u)|≤k2(1+|u|γ)。

(1.5)

Cahn-Hilliard方程最早是由J.W.Cahn和J.E.Hilliard[6，7]提出，用以描述熱力學中的兩種物質相互擴散現象。文獻[8-10]研究了方程解的存在性。在文獻[8]中，Dlotko T.證明了當p≤2時Cahn-Hilliard方程在空間H1-H2中全局吸引子的存在性。文獻[9]中，作者獲得了Cahn-Hilliard方程關于強解的全局吸引子。董超雨[10]研究了Cahn-Hilliard的一致吸引子。王艷等[11]討論了有界域上自治的Cahn-Hilliard方程指數吸引子的存在性。

本文我們考慮利用一種新的方法，即通過壓縮函數得到過程的漸近緊性，進而證明粘性Cahn-Hilliard一致吸引子的存在性。

1 預備知識

Lp(1≤p≤)是通常的勒貝格空間，Hs(Ω)是Sobolev空間。記H,V分別是拓撲空間(L2(Ω))2,(H1(Ω))2的閉包，(·,·)和‖·‖分別表示H中的內積和范數。

‖u‖2=(u,u),?u,v∈(L2(Ω))2。

((·,·))和‖·‖V分別表示空間V中的內積和范數：

設X為Banach空間，∑ 是一個參數集，如果對每個f∈∑，{Uf(t,τ)}都是一個過程，即由X到X的雙參數映射{Uf(t,τ)}滿足：

Uf(t,τ)uτ=u(t,τ,uτ)，

(2.1)

Uf(t,s)°Uf(s,τ)=Uf(t,τ),

?t≥s≥τ,τ∈R，

(2.2)

Uf(τ,τ)=Id,?τ∈R。

(2.3)

其中：Id為恒等算子；∑為符號空間；f∈∑為符號。則稱{Uf(t,τ)},f∈∑是Banach空間X的過程族。

設{T(s)}s≥0是作用在符號空間∑上的一族算子，滿足

T(s)∑=∑,?s≥0，

(2.4)

及平移恒等式：

Uf(t+s,τ+s)=UT(s)f(t,τ),

?f∈∑,t≥τ,τ∈R,s≥0。

(2.5)

定義1.1 如果對任意的τ∈R和B∈B(E)，存在t0=t0(τ,B)≥τ，使得

(2.6)

則集合B0∈E稱為過程族{Uf(t,τ)},f∈∑的一致有界吸收集。

則我們把φ(·,·;·,·)稱為定義在(X×X)×(∑×∑) 到B×B上的一個壓縮函數。

記B×B上所有壓縮函數的集合為Contr(B,∑)。

引理1.1 設{Uf(t,τ)},f∈∑是Banach空間X上的過程族，滿足平移性(2.4) 和 (2.5)，并且{Uf(t,τ)}有一致有界吸收集B0?X，假設對任意的ε>0，存在T=T(B0,ε)和φT∈Contr(B0,∑)使得

‖Uf1(T,0)x-Uf2(T,0)y‖≤

ε+φT(x,y;f1,f2)，

?x,y∈B0,?f1,f2∈∑。

(2.7)

則{Uf(t,τ)},f∈∑在X上是一致漸近緊的。

2 主要結果

u∈C([τ,,H])∩L2(τ,T;V)。

證明定理的證明可通過Faedo-Galerkin方法得到，參照文獻[18,19]。

引理2.1 設外力f∈∑,uτ∈H，則存在過程族{Uf(t,τ)}的一致有界吸收集B0。

證明對(1.1)式用u做內積，得到

(Δf(u),u)+(g(x,t),u)≤

(3.1)

(3.2)

那么

(3.3)

存在一個常數C1,使得

設C6=min{C4,C5}，有

(3.4)

對上式使用Gronwall引理可以得到我們的引理2.1。

引理2.2 假設f∈L2(R,H)，由問題(1.1)—(1.5)的全局解生成的過程{Uf(t,τ,uτ)}在H中是一致漸近緊的。

(3.5)

記w(t)=u1(t)-u2(t),那么w(t)滿足以下方程

(3.6)

設

(3.7)

用w乘以(3.6)式并在[s,T]×Ω上積分，得

(3.8)

其中τ≤s≤T。則

(3.9)

因此

g2(h))w(h)dxdh)。

(3.10)

對(3.8)式在[τ,T]上關于s積分，得

g2(h))w(h)dxdhds。

令C0=CEw(τ)，

g2(h))w(h)dxdhds,

由于過程族有一個一致吸收集，我們選擇T足夠大使得

gm(t)∈∑,m,n=1,2…。由定理2.1，我們推出

um(s))dxds=0,

um(s))dxds=0,

um(s))dxdhds=0,

um(s))dxdhds=0。

定理1.1的證明由定理2.1及引理2.1—2.2，利用文獻[20]中經典的無窮維動力系統，可以直接得出結論。