粘性Cahn-Hilliard方程指數(shù)吸引子的存在性

蘇小虎，姜金平

(延安大學數(shù)學與計算機科學學院，陜西延安716000)

粘性Cahn-Hilliard方程是由Novick cohen等在1958年提出的，用來描述帶粘性的二物質相互擴散，許多學者在文獻[1,2]對該方程進行了研究，文獻[3,4]研究了粘性Cahn-Hilliard方程全局吸引子存在性，文獻[5]基于非線性測度證明Cahn-Hilliard方程強解的全局吸引子。受文獻[6]啟發(fā)，參考其方法進一步討論粘性Cahn-Hilliard方程的指數(shù)吸引子的存在性問題。

考慮如下粘性Cahn-Hilliard方程指數(shù)吸引子的存在性：

(1)

其中Ω?Rn(n≤3)是具有光滑邊界的有界區(qū)域。

1 預備知識

定義1.1[6]設X是一個度量空間，半群S(t):

X→X,集合M?X,如果滿足：

(1)(緊性)緊集M?X,并有有限分形維數(shù)；

(2)(不變性)集合M是正不變集，即

S(t)M?X;

(3)(吸收集)集合M是一個指數(shù)吸收集，即存在一個常數(shù)l>0,使得對任意有界子集B?X,存在一個常數(shù)k=k(B)>0，使得：

dist(S(t)B,M)≤ke-lt。

則M稱是半群S(t)的指數(shù)吸引子。

?x∈B,t≥T。

其中：這里的Pm:X→X1是有界投影算子；m是X1的維數(shù)；則實函數(shù)k(m)滿足：

定理1.1[6]設X是一個Banach空間，S(t)是空間X上的半群，如果滿足下列條件：

(1)(有界吸收集)S(t)存在一個有界吸收集B?X；

則S(t)存在指數(shù)吸引子。

2 指數(shù)吸引子的存在性

設f是Lipschitz連續(xù)函數(shù)，并且滿足下列條件

(2)

(3)

其中：λ1是-Δ在V中的第一個特征值。

從(2) 可得，存在常數(shù)C0和C1,使得：

f(s)s≤(λ1-C0)s2+C1,s∈R。

(4)

引理2.1[6]設f滿足上面的條件(2)和(3)，u0∈V,則對于我們的方程(1)對應的解半群S(t)在空間V中有有界吸收集，即對V中任意的有界集B，存在t1(B)>0,ρ1>0,使得?u∈B有：

令Hm=Span{e1,e2…,em}?H,Pm:H→Hm是一個正交投影算子。對于任意u∈H,我們有

引理2.2 設函數(shù)f滿足(2)和(3)，u0∈V,則對于我們的Cahn-Hilliard方程(1)對應的解半群S(t)在空間H中有有界吸收集，則對H中任意的有界集B,存在t1(B)>0,ρ1>0,使得?u∈B有：

證明取u作為實驗函數(shù)作用于(1)式，我們有：

由(4)式，我們可以得到：

(λ1-C0)|u|2+C1|Ω|，

C|u|2+C1|Ω|，

因此，有：

2C|u|2+2C1|Ω|。

我們知道：

其中：這里的λ1是-Δ在V中的第一個特征值。

因此，有：

利用Gronwall引理，我們得到：

引理2.3 設f滿足(2)式和(3)式，那么半群

?u0∈B。

證明取-Δu2與(1)式作內積，我們有：

(Δf(u),-Δu2)≤|f(u)||Δu2|。

(5)

因為

由(5)式可知：

利用(4)式，可得：

(λ1-C0)|u|2+C1|Ω|。

2(λ1-C0)|u|2+2C1|Ω|。

由引理2.2及Poincare不等式，我們可以得到：

利用Gronwall引理，我們有：

當m→時，λm→+。

由引理2.2和2.3的證明，我們可得出如下主要結論：

定理2.1 設Ω?Rn(n≤3)是具有光滑邊界的有界區(qū)域，f滿足(2)式和(3)式，則方程(1)存在半群S(t)且在V上存在指數(shù)吸引子。