基于核心素養的多階數學思維的培養

【摘 要】 數學核心素養是學生學習數學應當達成的有特定意義的綜合性能力.新一輪的課程改革對數學素養的要求不再局限于通常談到的計算能力、空間想象能力等，而是看學生具有數學問題意識;能獨立多階思考、獨立判斷;思維縝密，能多角度、辯證地分析數學問題.學生多階思維的培養成為學生核心素養發展重要內容，隨著核心素養的逐步重視，越來越關注多階數學思維培養.

【關鍵詞】 核心素養;批判意識;質疑能力;多階數學思維

2016年教育部課程修訂組在《普通高中數學課程標準（實驗）》修訂稿中提出了六大核心素養，分別是：數學抽象，邏輯推理，數學建模，數學運算，直觀想象，和數據分析[1].這六大核心素養的提出，符合當今深化教育教學改革的潮流，是教學改革大勢所趨，對今后的學科教學具有深遠的指導意義.數學核心素養是學生掌握了一定的數學知識、能力和思想方法之后的領悟，是學生對高中階段數學知識的整體理解和把握.反過來，數學的核心素養對學生理解掌握數學知識以及運用數學的思考方式和手段來解決有關的問題起著指導性的作用.學生的數學核心素養中最重要的也是我們現在學生最缺乏的就是批判和質疑能力.反應在多階數學思維能力上.多階數學思維在一定程度上對發揮學生是教學的主體性起到了積極的作用，對提高學生的數學思維品質也帶來積極的影響.

多階數學思維教學就是指教師在教學過程中，注重學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性、獨創性、敏捷性和批判性.使學生獲得對數學知識的多角度理解，進而建立新知識與已有知識的本質聯系;從而理解知識的來龍去脈，形成知識網絡，從而抓住問題的本質，加深對問題的理解.下面對概念課，習題課，試卷評講課進行剖析[2].

1 多階數學思維在概念課中的培養

多階數學思維在概念課中的培養主要指在教學過程中指向概念的非本質特征以突出概念的本質特征，從而揭示概念的本質屬性和非本質屬性之間的關系.

案例1 筆者在教授人教A版必修一第一章1.2函數概念時，筆者通過創設問題情景引入函數的概念.

問題：研究下面三個實例：

A. 一枚炮彈發射，經26秒后落地擊中目標，射高為845米，且炮彈距地面高度h（米）與時間t（秒）的變化規律是h=130t-5t2.

B. 近幾十年，大氣層中臭氧迅速減少，因而出現臭氧層空洞問題，圖中曲線是南極上空臭氧層空洞面積的變化情況.

C. 國際上常用恩格爾系數（食物支出金額÷總支出金額）反映一個國家人民生活質量的高低. “八五”計劃以來我們城鎮居民的恩格爾系數如下表.

討論：以上三個實例存在哪些變量？變量的變化范圍分別是什么？兩個變量之間存在著這樣的對應關系？ 三個實例有什么共同點？

學生在討論之后，歸納出三個實例變量之間的關系都可以描述為，對于數集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數集B中都與唯一確定的y和它對應，記作：f：A→B.

第1階——操作（Action）：理解函數需要進行活動或操作.教師創設情境，引入課題，學生根據教師提供的學習任務，利用課件等工具合作研究三個函數實例;

第2階——過程（Process）：體驗函數概念的形成過程.學生歸納出函數的三個特征，積極給函數下定義，教師補充符號 f（x）的含義;

第3階——對象（Object）：加深理解函數概念的本質.學生填寫已學函數的定義域、對應關系、值域，通過合作探究學案上的問題，研究不同對應關系中三要素的關聯，完成對函數概念的整體認識;

第4階——圖式（Scheme）：建立綜合的心理圖式.這一階段的函數概念，由此得出函數的定義：設A、B是非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function），記作：y=f（x），x∈A.

通過含有具體的函數實例、抽象的過程、完整的定義，乃至和其它概念（方程、不等式）的區別和聯系，多階的函數定義與映射概念的比較，使學生發現函數是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件“非空數集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，即映射.這樣的比較不僅加深了學生對函數概念的理解，對提高學生的數學思維品質也帶來積極的影響.

2 多階數學思維在習題課中的培養

多階數學思維在習題課中的培養是對習題進行多維度教學，通過習題的多維度變換，夯實學生對知識的內涵和外延的理解，促進學生形成知識網絡，提高學生的數學思維品質.習題課中的多階教學主要包括習題方法性多階、強化性多階和開放性多階等.

案例2 在教授人教A版必修四第一章1.2任意角的三角函數時，在學生學習任意角的三角函數的定義后，為鞏固學生對任意角的三角函數的定義的理解，筆者在習題課中引入例題2.

例2 已知角α的終邊經過點P（2，-3），求角α的正弦、余弦和正切值.

在分析解題思路后，由學生進行規范的板演，筆者最后歸納出這類利用三角函數的終邊上任意點的坐標來求函數值的一般步驟后，筆者給出幾道變式題.

以上四個階段都是針對同一個知識點，就是這類利用三角函數的終邊上任意點的坐標來求函數值的問題.這種歸類的變式訓練揭示了問題的本質屬性，有助于學生掌握解決該類問題的方法和技巧，實現知識、方法的遷移，同時對提高學生的數學思維品質也帶來積極的影響.

3 多階數學思維在試卷講評課中的培養

多階數學思維在試卷評講課中的培養是針對高中數學學習中學生經常出錯的、容易混淆的知識、不易糾正的問題，進行多階設計，查缺補漏.試卷講評還應根據學生解題過程中所出現的思維障礙和思維缺陷等“錯點”，設計關聯性的引發學生思維擴散或思維聚焦的問題鏈，將一些“形異質同”“形似質異” 的試題串聯起來，促使學生在“聯系”的狀態下獲得新的體驗與智慧.

案例3 在人教A版必修一第一章《集合》的單元測試卷中，有這么一道題，很多學生都做錯了，做錯的原因是由于學生對于兩個集合間的基本關系中“包含”的理解不到位，而帶有參數時，就參數的取值范圍更是高一新生在數學思維上一大障礙，從測試卷中反饋出的情況是學生對這種參數在數軸上的位置的確定不理解，為突破這個難點，筆者以此題為點，通過多階教學思維使得學生清晰認識到此類含參數的集合問題的求解思路.

4 基于核心素養的多階數學思維教學的意義

（1）有利于培養學生的邏輯推理能力

基于核心素養的多階數學思維教學使得概念講得更清，定理教得更明，加強邏輯思維培養，使學生自主學會畫圖、自主學會用數學形式表示、自主學會條理地敘述解題過程[3].

（2）有利于培養學生思維的靈活性

基于核心素養的多階數學思維教學增強數學教學的變化性，為學生提供廣泛的聯想空間，使學生在面臨問題時能夠從多種角度進行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”.另外，還要鼓勵學生從不同的角度去觀察問題和分析問題，鼓勵學生敢于發表不同的見解.

（3）有利于培養學生反思的習慣

基于核心素養的多階數學思維教學引導學生剖析發現問題和解決問題的過程.反思學習中運用了哪些基本的方法、技能和技巧？ 它們的合理性如何？效果如何？有沒有更好的方法？學習中走過哪些彎路？犯過哪些錯誤？ 原因何在？

參考文獻

[1] 余曉紅.從“課本”到“趣味數學”[J]. 教育教學論壇， 2012（37）.

[2] 何正文.基于核心素養的批判教學探究[J] .教學考試，2017：（35）.

[3] 陳琦.當代教育心理學[M] .北京：北京師范大學出版社，1997：（102）.