探尋類比規律 開啟發現之門

◎席欣力

高中數學新課程目標設置中，把“提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）”、“不斷提高實踐能力，提升創新意識”作為課程目標。其中，發現和提出問題是創新意識的核心［1］。類比推理是合情推理的一種，是根據兩個對象之間一部分屬性相同或相似，從而推斷出這兩個對象另外的屬性也可能相同或相似的思維形式，它是人類思維活動中最積極、最有創造性的成分。高中數學類比推理這類試題以類比思維為軸心，與數學方法、數學思想和數學基礎知識相結合，是培養和發展學生核心素養的重要途徑。以下分類例析。

一、變維類比

將三維空間的對象和二維或一維空間中的對象進行類比，這樣的類比方法即為變維類比。此類問題以空間幾何體與平面圖形進行類比為主。

空間中，設平面 OA1VA∩BC＝M，OB1VB∩AC＝N，OC1VC∩AB＝L，

則有 ΔMOA1∽ ΔMAV，ΔNOB1∽ ΔNBV，ΔLOC1∽ ΔLCV，

二、結構類比

某些待解決的問題沒有現成的類比物，但可通過觀察，憑借結構上的相似性等尋找類比問題，然后通過適當的代換，將原問題轉化為類比問題來解決。常見的有函數的解析式與數列的通項公式之間的類比，等差數列與等比數列的類比，橢圓與雙曲線的類比，解析幾何中的兩點間的距離公式及斜率公式與函數求值之間的類比等。

【例2】求值：sin280°＋sin240°－sin 40°sin 80°

【解析】整體上看式子的結構和余弦定理相似，原式可改寫成 sin280°＋sin240°－2 sin 40°sin 80°cos 60°

而 80°＋40°＋60°＝180°，80°、40°、60°可以看作一個三角形的三個內角，類比余弦定理可得解法。

（2）O為拋物線 y2＝2px（p＞0）的頂點.

【解析】當M、N滿足 EM⊥EN時，取M，N關于x軸的對稱點 M′、N′，由對稱性知 EM′⊥EN′，此時MN與M′N′所在直線關于x軸對稱，若直線MN過定點，則定點必在x軸上.

設直線MN的方程為：x＝my＋t，

（2）在拋物線 y2＝2px（p＞0）中，若M，N為拋物線上的兩點（都不同于原點O），且OM⊥ON，則直線MN過定點 （2p，0）

【變式2】數列{an}是正項的等差數列，若，則數列 n也為等差數列，類比上述結論，寫出正項的等比數列 {cn}，若dn＝_______，則數列 {dn}也為等比數列.

三、推廣類比

推廣類比就是將已知的、簡單的命題，通過類比、概括、拓展推廣到比原命題更一般化的命題。比如可將少元問題類比到多元問題，低次問題類比到高次問題，特殊問題類比到普遍問題等。推廣類比可以擴大認知的范圍，加深對知識的理解。

【例4】已知 a，b，c∈ R，且三次方程 f（x）＝x3－ax2＋bx－c＝0有三個實數根 x1，x2，x3，

（1）類比一元二次方程根與系數的關系，寫出此方程根與系數的關系；

【解析】（1）聯想一元二次方程 x2－px＋q＝0的兩根 x1，x2，滿足x1＋x2＝p，x1x2＝q，

x2－px＋q＝（x－x1）（x－x2），因而 x3－ax2＋bx－c＝（x－x1）（xx2）（x－x3），比較兩邊的系數，得 a＝x1＋x2＋x3，b＝x1x2＋x2x3＋x1x3，c＝x1x2x3；

（2）f（x）＝x3－ax2＋bx－c，若 f（x）＝0有三個兩兩不等實數根x1，x2，x3，則函數 f（x）有一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0.

由已知得 f′（x）＝3x2－2ax＋b＝0有兩個不等的實數根 α，β，

【變式4】在直角坐標系中，不難得到“對于雙曲線 xy＝k，（k＞0）上任意一點P，若點P在x軸、y軸上的射影分別為M、N，則必為定值k”；類比于此，對于雙曲線，（a＞0，b＞0）上任意一點P，可以得出類似命題為_____________。

四、方法類比

某些陌生的、復雜的或抽象的問題，用常規的思路和方法很難解決，通過類比某些相關或相似問題的解答，在解題思路或思想方法上受到啟發，從而實現原問題的解答。這種解題策略和思想方法的類比稱為方法類比。

【例5】觀察下面的解答過程：已知正實數 a，b滿足 a＋b＝1，求的最大值.

請類比以上解題法，使用綜合法證明下題：

【解析】由已知代數式的求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解，可得代數式的值所求的式子也有無限重復的特點，類比可得解題方法：令，則兩邊平方得，＝m2，即2＋m＝m2，解得m＝2（－1舍去）。故答案為2。

【變式5】對于問題：“已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＞o的解集為（1，2），解關于 x的不等式ax2－bx＋c＞0”，給出了如下一種解法：

解析：由ax2＋bx＋c＞0的解集為（－1，2），得a（－x）2＋b（－x）＋c＞0的解集為（－2，1），即關于 x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集為（－2，1）

在數學的學習中，思維的訓練是本質。學習類比，掌握類比的方法和規律，就為發現問題解決問題“插上了翅膀”，善于類比，奇思妙想，我們就會發現很多繁難或新問題的神奇而精妙的解法，讓我們享受數學的快樂。由于類比推理是由特殊到特殊的推理，它推理的邏輯根據是不充分的，帶有或然性，具有猜測性，甚至是錯誤的，其正確性還須經過嚴格的邏輯推理加以論證，因而我們在運用時既要大膽嘗試，又要嚴謹證明。

五、變式答案與解析

設直線MN的方程為y＝k（x－c），代入橢圓方程得 （b2＋a2k2）x2－2a2k2cx＋（a2k2c2－a2b2）＝0

【解析】 對于雙曲線xy＝k（k＞0）是我們熟悉的反比例函數，坐標軸是它的漸近線，其圖像上任意一點P到漸近線的距離的積必為定值k，對于雙曲線，它的漸近線為 bx＋ay＝0和bx－ay＝0，其圖像上任意一點P（x，y）在兩條漸近線上的射影分別為M、N，則點P到漸近線的距離為，所以。

5.（－3，－1）∪（1，2）

【解析】由 ax2＋bx＋c＞0的解集為（－1，2）得 a（－x）2＋b（－x）＋c＞0的解集為（－2，1）發現 －x∈（－1，2），則 x∈（－2，1）

6.－1或2

【解析】類比上述解題思路，設f（x）＝x3＋x，則 f（x）在 R上單調遞增，由x6＋x2＝（x＋2）3＋x＋2，即f（x2）＝f（x＋2），∴x2＝x＋2，解之得，x＝－1或x＝2；所以方程x6＋x2＝（x＋2）3的解為的解集為－1或2