淺談函數的單調性在高中數學中的學習與應用

◎劉士永

引言：函數的單調性是對兩個變量之間關系的刻畫，一般在求解不等式、求最值、解方程式時會經常的用到。函數單調性的學習不僅僅是掌握其概念和性質，同時還需學生能夠將所學知識靈活運用并能夠解決生活實際問題，如此才能提升學生數學學習效率。

一、函數單調性學習的意義

在高中數學教學中，學生對于一次函數與二次函數的知識已有一定的了解，同時也初步接觸了函數的增減性，但在高中系統學習中，學生想要充分掌握這一方面知識，除了從簡單的定義的和概念出發之外，還應借助數字符號和具體的實例來進行學習。如此才能真正的掌握函數單調性的定義。此外函數的單調性是研究自變量的變化規律，是整個函數知識的核心內容，因此我們將其列為一個獨立的單元來進行系統的學習，使學生能夠通過文字的描述、嚴格的定義、實際的應用來更加深入的學習和理解，從而為今后的不等式及導數等知識的學習做好鋪墊。

二、函數單調性在高中數學中的學習及應用

1.求解方程 方程是運用等式來求解的內容，其是整個高中數學的核心部分，我們將函數的單調性運用到方程的求解之中，可以幫助學生快速掌握解題的結構，從而提升方程解題效率。例如，x2＋2x＋（x＋1）3＋1＝0方程求解過程，利用函數的單調性可以將其轉化為x3＋x＋［（x＋1）3＋（x＋1）］＝0，函數f（x）＝x3＋x在區間范圍內是遞增函數，同時是奇函數，如此既就可以將方程轉化為 f（x）＋f（x＋1）＝0，推導出f（x＋1）＝f（－x）最終由于函數f（x）為單調函數由此可推出x＋1＝－x求解，通過單調函數的運用，簡化了方程的求解過程，提升了做題的效率和質量。

2求解不等式 函數和不等式在高中數學中屬于相互交融的知識點。很多時候學生常常會因知識掌握不到位或者是結構不嚴謹，從而導致出現解題失誤的情況發生。我們在高中數學教學中我們可以借助不等式來對函數的性質進行研究，同時還可以利用函數去解析不等式，利用不等式的換元、分類來解題，如此不但可以快速的解決問題，同時還可以鍛煉學生的邏輯思維能力和解題能力。例如，已知條件a，b/c∈R，a、b、c絕對值小于1，證明ab＋bc＋ac＋1＞0，首先在求解這一不等式的時先利用函數將不等式轉化為f（x）＝（b＋c）x＋bc＋1，分析x在1與－1的區間范圍內函數是否成立及b＋c等于零時函數f（x）＝1－2b＞0及b＋c不等于零時，不等式轉化為一次函數，f（x）＝（b＋c）x＋bc＋1函數在1與－1的區間范圍內都是大于零，所以所證明不等式是成立的。在證明上述不等式的過程中我們是將不等式進行轉化，利用函數不同單調區間內函數的單調性來對不等式進行驗證，如此大大降低了解題的復雜性，提升學生的解題效率［1］。

三、利用函數的單調性解決實際問題

在實際生活中對函數單調性主要體現在極值問題上，例如，利用函數單調性解決材料最優化使用、資源整合、效益最優、最佳路徑選擇問題等。在遇到這些問題是具有的解題步驟是，第一，將抽象的生活問題轉化為對應的數學問題，并列出相關的函數關系式。第二，求函數f（x）的導數f＇（x）＝0，并解出方程。第三，將函數的兩個端點與導數所求極值點放在一起，比較所有函數值，最終得出f（x）z的最值。

1材料合理利用題型 制作一個體積一定的圓柱型飲料罐，當材料最省情況下其高和底面半徑應怎樣選取。首先分析題意材料最省即為表面積最小的情況下，假設圓柱體半徑、高、面積分比為r、s、h列出函數式s＝2πrh＋2πr2，圓柱的體積是一定的，列出體積公式并將其導入面積函數式中，最終推導出r，根據r的區間范圍得出判斷面積大小區間，從而最終得出r的取值，帶入公式中的得出h的取值，最終得出半徑是高的二分之一時，飲料罐其所用材料最?。?］。

2最優路徑 例如，材料加工廠A與鐵路之間的的垂直距離為20千米，垂足是C，在鐵路上距離C點100千米處有一處原材料廠D，現在鐵路線BD之間修建一處中轉站B，再由B處向D處修建一條鐵路，現已知鐵路與公路在相同距離內的運費比為3：5，那么如何中轉站點D應修建在何處，才能夠實現D到A處的費用最省。假設：每千米鐵路的費用為m，那么公路費用為。設BC段的距離為x，修路總費用為y，則AB，如此列出總費用函數式，求其導數，最終得出x的值即為區間內極值點，也使費用最省的B點到D點的距離。

結語：函數單調知識是高中數學中的重點，也是學生學好的數學的關鍵點。因此在日常教學中應重視函數單調性知識的講解，幫助學生能夠深入的理解知識并能夠靈活運用，結合生活中的現實問題不等式、方程、導數等引導學生對應用函數單調性知識進行總結，通過不斷的鍛煉從而提升學生的數學解題能力，為高考打下良好的基礎。