摒棄 傳承 創(chuàng)新 反思
——以一年級下冊《求兩個數量相差多少》為例談解決問題教學

浙江省杭州市育才京杭小學 莫慧萍

新課改把傳統(tǒng)的應用題教學重新進行了定位與包裝，將“應用題教學”更名為“解決問題”，文字變化的背后是一種新的教學理念的誕生。根據應用題教學在新教材中的編排特點，在教學中要做相應的調整, 既不能沿用過去按類型、套算法的方法教，也不能全盤否定我們傳統(tǒng)的應用題教學。那么怎么教呢？“求兩個數量相差多少”是低段年級一節(jié)比較典型的解決問題。筆者就想以此為例，來談談教材定位與教學設計上如何尊重學生實際，走出傳統(tǒng)束縛，開創(chuàng)教學的新天地。

一、“求兩個數量相差多少”的理解與定位

傳統(tǒng)“求兩個數量相差多少”應用題教學中非常關注學生對解題思考過程的完整表達，講求語言的條理性和邏輯性，非常關注數量關系的理解和建構。新課程下的低段解決問題教學需不需要學生完整地表述思考過程？需不需要幫助學生建立清晰的數學模型？等等都需要進一步探討，筆者認為：

1.“求兩個數量相差多少”其本質是一一對應思想與方法的實際應用

小學數學教學中主要利用虛線、實線、箭頭等圖形將元素與元素、實物與實物、數與算式、量與量聯系起來，滲透對應思想。學生在一年級上冊學習“比一比”的過程中，通過畫虛線的方法，將一一對應的思想進行了具化，積累了比較豐富的數學學習經驗和大量的表象?！扒髢蓚€數量相差多少”的認知基礎是一上年級的“比一比”，其本質就是一一對應思想方法的實際應用。當學生能用畫虛線的方法掌握一一對應思想方法的同時，也就對“減去同樣多的部分”這一難點問題了解比較深刻，從而解決并掌握了求相差關系的問題。

2.“求兩個數量相差多少”應該突出數學模型的建構過程

數學學習強調從學生已有的生活經驗出發(fā), 讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型的過程。所以有人說“數學是一門模式化的科學。”數學模型是新課程小學數學的核心概念，它的建立是學生形成數學思想、解決數學問題的基本任務。但是我們許多教師始終不明白數學模型究竟是怎么回事，更談不上有目的、有計劃地幫助學生建立數學模型。因此，讓學生建構一定的數學模型是非常重要的。“求兩個數量相差多少”作為小學階段解決問題的第一課，應該根據學生的年齡特征和認知水平，以足夠的表象做支撐，讓學生來經歷、體驗這種數學建模的過程，實現有效地建模。

鑒于以上分析，筆者認為求相差關系的問題的目標著力在兩個關鍵詞：“經歷過程”，即通過具體操作和合情推理，經歷發(fā)現求兩個數相差多少用減法計算的過程；“初步理解”，即通過排一排、比一比等活動體會一一對應的數學思想，初步理解求兩個數相差多少的實際問題的結構和數量關系。

二、“求兩個數量相差多少”的教學策略

一年級的學生學習數學的過程中，形象思維占主導，他們主要借助觀察、操作等直觀的方式進行學習活動。通過豐富的表象積累，從具體到抽象，逐步構建出較為清晰的數學模型。因此，要找到有效的具象載體，借助表象，促進學生建模。

（一）千朵萬朵梨花開——注重豐富的表象積累，促進模型建構

數學模型關注的對象是許多具有共同普適性的一類事物，因此，教師首先要給學生提供豐富的感性材料，多側面、多維度、全方面感知這類事物的特征或數量相依關系，為數學模型的準確構建提供可能。教學時，筆者通過擺一擺、畫一畫、說一說、猜一猜等活動促進學生進行模型的建構。

【教學片段】

1.擺一擺，初步感知

（1）師：老師在信封中放了一些紅圓片和黃圓片，倒出來看看誰多誰少？老師有個要求：要讓其他小朋友們一下子就可以看出紅圓比黃圓多幾個？想一想，怎么擺？

學生擺一擺，教師巡視，選擇學生不同的擺法貼在黑板上。

（2）師：比較一下，哪種擺法好？

重點講解一一對應擺的方法：一個對著一個擺，指名畫上對應線。

師：紅圓片比黃圓片多幾個，還可以怎么說？（學生：黃圓比紅圓少幾個？）

師小結：這樣就相當于把紅圓片分成了兩部分：一部分和黃圓片同樣多，另一部分就是比黃圓片多的。算式你會列嗎？指名列式：7-5=2。

（3）課件演示，清晰思路

師：看大屏幕，我們一起再來擺一擺。

師： 7-5=2，7、5和2各表示什么意思？學生：7個紅圓片；5個黃圓片。師追問：5除了表示5個黃圓片，還表示5個——？學生：5個紅圓片；2表示紅圓片比黃圓片多2個。

師：誰能完整地說說7-5=2表示什么意思？

看著圖，同桌小聲地說說這個算式表示什么意思？

（4）師小結：紅圓片比黃圓片多幾個，黃圓片就比紅圓片少幾個，都是用紅圓片的個數減去黃圓片的個數，算式都是7-5=2。

師：怎樣使兩種圓片一樣多？（學生：添上2個黃圓片；去掉2個紅圓片）你能用哪個算式表示？（7-5=2）

問：為什么問法不同，計算的方法卻相同？學生：都是指紅圓片比黃圓片多的2個；都是用紅圓片的個數減黃圓片的個數。

師明確：求紅圓片比黃圓片多或求黃圓片比紅圓片少，或添上幾個黃圓片、去掉幾個紅圓片使它們一樣多，意思都是一樣的，都是用紅圓片的個數減去黃圓片的個數，算式都是7-5=2。

2.畫一畫，初步理解

（1）8個△，5個○。（師寫在黑板上： △8 ○5）

你能提出什么問題？（△比○多幾個？○比△少幾個？）

師：這兩個問題還可以說成：△與○相差幾個？

師：請你像黑板上的圖這樣，畫一畫。學生完成后挑選一名學生的畫作，重點反饋一一對應的比較方法。

師：怎么列式？（板書：8-5=3）說說8-5=3表示什么意思？

（2）同樣的方法畫一畫：5個△，8個○。

（3）比較：畫的兩個圖不一樣，為什么算式都是8-5呢？（學生：都是用大的數減去小的數）

師：兩個數都是8和5，實際上就是求8比5多幾。

【教后評析】

1.在擺圖、畫圖的操作中強化對一一對應思想與方法的感知

一年級的孩子語言能力還比較弱，常常處于一種“只能意會不能言傳”的狀態(tài)。在讓學生說一說算式表示的意思時，無論老師如何盡力引導，學生始終無法比較完整地進行表達，因此，筆者認為，教學時，不必刻意地去講究表述的完整性和條理性，而是要讓學生明確“比”的方法，即一一對應，運用擺圖、畫圖的操作活動，從具體形象的圖中感知、意會“大數-小數=相差數”這一數量關系，以培養(yǎng)學生處理信息的能力和思維能力。

2.在不同的表述中完善對兩數相差多少的實際問題的理解。

利用括線、虛線和問號，簡單明了地表明了題意，學生能較快較好地發(fā)現“5”既可以表示黃圓片的個數，也表示紅圓片中與黃圓片相等的部分，從根源上明白為什么“求兩數相差多少”要用減法做。再通過追問：怎樣使兩種圓片一樣多？利用板書操作，學生從直觀的圖片到抽象的算式，發(fā)現：不管是添上還是去掉，都是兩者的相差量，對兩數相差多少的實際問題的理解變得飽滿，學生了解了求兩數相差多少同一方法的不同表述形式，及時鞏固豐富了減法的含義，幫助他們在以后的解題過程中能由此及彼、由彼及此的思考。

（二）吹盡黃沙始見金——重視具體到抽象躍進過程的組織，構建數學模型

豐富而又感性的數學情景是學生有效建立數學模型，完成數學學習的重要載體，但這只是為學生數學模型的建構提供了可能，如果忽視具體到抽象躍進過程的有效組織，模型的構建也只能是“海市蜃樓式”的美好幻想。因此，教學中，應喚起學生那些蘊涵經驗中的非正規(guī)的數學知識，經歷由數學情景問題到抽象的認識轉化過程，實現從生活問題向抽象數學模型的有效過渡。

【教學片段】

1.猜猜，畫畫

（1）師：現在老師又放進了一些圓片（配合手勢），一個對一個地擺好（配合手勢），結果發(fā)現，紅圓片還是比黃圓片多2個。

（2）出示算式：8-6=2（個）。

師：根據這個算式猜一猜，蓋住了幾個紅圓片？幾個黃圓片？你是怎么知道的？（課件演示）

（3）師：還可能蓋住了幾個呢？請你在紙上畫一畫。學生嘗試畫圖。

2.猜猜，寫寫

（1）請2名學生說蓋住了幾個，請另外的學生列式：（ ）-（ ）=2。

學生：我蓋住了7個；眾生：9-7=2；學生：我蓋住了8個；眾生：10-8=2；學生：我蓋住了3個，眾生：5-3=2……師追問：方法正確，但老師是放進了一些圓片，你認為符合要求嗎？

（2）師：答案可以有很多很多，但不管怎樣，蓋住的紅圓片和黃圓片的個數是同樣多的。

課件演示：出示虛線框表示蓋住的紅圓片和黃圓片同樣多，再把多的2個紅圓片也蓋住。

最終出現下圖：

（3）師：現在老師直接標上數：12、10，算式怎么列？12-10=2。

【教后評析】

教材一直沒有忽視數量關系的教學，只是更加注重學生在解決問題過程中的理解與感悟，提供生活具體情境，讓學生從這些紛繁的情境圖中提煉出有用的信息，并將這些信息進行思維的加工。學生對這些數學信息進行內在的思維加工過程，就是數學模型的建構過程，而數量關系就是數學模型的骨架。因此，教學時，筆者借助了猜圖，逐步建立感性的問題模型，理清解題思路。通過對“蓋住了幾個”的猜想、畫圖，讓學生在一遍一遍的經歷中自主地感知并悟出數量之間的內在關系，對求相差多少獲得更本質的理解。這時候學生的認知是深刻的，模型圖的構建是充分的、水到渠成的。條狀模型圖其實是線段圖的雛形，它的出現就是把具體數量進行了初步的抽象化，為后續(xù)學習線段圖奠定了基礎。

數學學習不是一件純粹孤立的事情，每一個知識點總能找到它的邏輯起點。筆者在教學時關注了數學學習的連貫性。二年級下學習“求比一個數多（少）幾的數”的問題就是在本課基礎上教學的。這種猜測、畫圖活動就為學生能獲得后續(xù)學習不竭的動力，進行了有意識的鋪墊，這樣學生的學習不會顯得很蒼白、孤立，自覺加以溝通聯系。

（三）桃花深處有人家——重視數學思想方法的提煉，突顯數學模型的本質

思維方法、思維策略是數學模型存在的靈魂。不管是數學概念的建立，數學規(guī)律的發(fā)現,數學問題的解決，乃至整個數學“大廈”的構建，核心問題都在于數學思維方法的建立。在構建有效的數學模型的過程中要重視數學思維方法的體驗與感悟，提升學生的數學思維能力。

【教學片段】

1.師：把多的數放下面可以嗎？

出示：你能看懂圖的意思嗎？先說說圖的意思，出示文字，再列式。

師：把蘋果、桃子換成另外的事物，你能提出什么問題？

學生：爸爸比我高多少？桌子比椅子多幾張？……

（3）出示問題：書包比鉛筆盒貴多少元？

師：想一想，哪個條形表示的是書包？哪個條形表示的是鉛筆盒？為什么？

學生：書包貴，鉛筆便宜，所以長的那條是書包，短的那條是鉛筆。

師：問題在圖上是指哪一部分？這樣能算了嗎？

學生：不能，沒有數。

再出示數據，學生列式計算。

2.小結

師：要求誰比誰多（或少）幾個，大或小幾歲，貴或便宜幾元，就是求一個數比另一個數多（少）幾，要用減法計算。

【教后評析】

數學學習應該注重數學思想和方法的提煉，這有助于培養(yǎng)學生的抽象思維能力，提升數學學習的能力。因此，在教學時，筆者通過將條狀模型圖的量與數的變換，從“比多少”拓展到“比輕重”“比年齡”“比價格”等非具象的內容，將各種特征的兩個數量的比較問題歸結為同一個數學模型，在不斷強化數學模型的應用中，拓展對“求兩個數量相差多少”的實際問題的數學本質認識。

同時，通過“把蘋果、桃子換成另外的事物，你能提出什么問題？”引導學生嘗試看圖提問。通過對“書包比鉛筆盒貴多少元”這一問題的解讀，“哪個條形表示的是書包？哪個條形表示的是鉛筆盒？為什么？”“問題在圖上是指哪一部分？”引導學生進一步清晰問題的數量結構和數量之間的關系，滲透“分析法”這一非常重要的數學解決問題思考方法。因此，重視數學思想和方法的提煉與體驗，可以催化數學模型的建構，提升建構的理性高度。

面對解決問題在教材中的編排特點, 我們的教學要做相應調整,既不能沿用過去按類型、套算法的方法教, 也不能全盤否定我們傳統(tǒng)的應用題教學，需要我們在新課改的教學中, 不斷地繼承和批判，不斷地奇思和創(chuàng)新，不斷地實踐和反思。