巧解暗動點軌跡問題的最值

江蘇省昆山市第二中學 王 明

動點問題是數學教學的重點和難點，因其與數形知識點相結合，使得其具有強大靈活性，從而使這類問題題型多變而復雜。動點問題衍生出兩種基本類型：明動點和暗動點。明動點雖有難度，但有固定模型，相對而言比較容易把握。本人在文章《例談初中幾何最值的解法》中已有論述。而暗動點確實較隱蔽，卻揭示了數學內在規律性和奇妙性。本文舉例論述暗動點的兩種類型及巧妙的策略，與同行一起分享數學思維之美。

一、直線型暗動點

所謂直線型暗動點，即暗動點軌跡是一條直線。待分析明確是直線后，這樣動點的性質就由暗動點轉變成明動點，難度降低，再按明動點方式解決問題。

【例1】如圖1，點A(8，0)是x軸上一點，點B(0，m)是y軸上一個動點，連結AB，以B點為中心，逆時針旋轉90度，連結PA，PB，求PO+PA的最小值。

圖1

【解析】動點B在y軸上移動，點B就是明動點，要求PO+PA最小值，沒有直接和點B發生關聯，而和點P直接關聯，但點B移動又會帶來點P移動，那么點P隨著點B移動會是怎樣的軌跡呢？這種情形，我們就把點P叫作暗動點。

如圖1，作PM⊥y軸，垂足為M，

∵BP是BA逆時針旋轉90度得到的，

∴PB=BA，∠PBA=90°，

又∵△PMB≌△BOA，

∴PM=OB,MB=AO=8，

∴P點坐標為（m,8+m）。

這個坐標點說明P點是一個動點，它的函數解析式是y=x+8，顯然，它是一次函數。那么，P點就在直線y=x+8上運動，這一點非常關鍵，是解題的要訣，破解了它，問題就迎刃而解。

如圖2，過P點作一次函數y=x+8的圖像，交x軸于M，過O點作直線y=x+8的對稱點O'，連接O'A交y=x+8于P'，連接P'O，O'M。

∵O'是O關于直線y=x+8的對稱點，

圖2

【例2】如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1，點D是斜邊AB上的一個動點(不與點A重合)，△AED為等邊三角形。過D點作DE的垂線，F為垂線上任意一點，G為EF的中點，則線段CG長的最小值是多少？

圖3

【解析】動點D在AB上移動，點D就是明動點，要求CG的最小值，沒有直接和點D發生關聯，而和點G直接關聯，但點D移動又會帶來點G的位置移動，那么點G隨著點D移動會是什么樣的軌跡呢?

如圖，連接AG、DG，

∵G為Rt△DEF的中點，

又∵△ADE為正三角形，∴AD=AE，

∴AG為DE的中垂線，

∴G點的軌跡為一條直線，于是，線段CG長的最小值轉化成點到直線的距離，即垂線段最短。

二、圓型暗動點

所謂圓的暗動點，簡單地講就是暗動點軌跡是一個圓。待分析確定是圓后，這樣動點的性質就由暗動點轉變成明動點，難度降低，再按明動點方式解決問題。

【例3】已知一個△ABC，AB為3，AC=2BC，求△ABC的最大面積。

【解析】本題看上去題干表述簡單，但所求問題并不簡單。要求三角形面積最大值，主要求出AB為底的高，高在哪里呢?很難確定。因為C點是一個動點，動點的軌跡是什么呢?不得而知，所以點C屬于暗動點，這就是本題的難度所在。

如果根據暗動點軌跡思維，問題便簡單多了，這是此題的價值所在。這道題是化難為易的一道典型問題，也是訓練數學思維科學性的好題。

圖4

如圖4，以AB為x軸，過B點為y軸建立坐標系，則A坐標為（-3，0），B坐標為（0，0），設C坐標為（x，y），根據兩點間坐標公式求出線段長度，得到

∵AC=2BC，

化簡得到（x-1）2+y2=22。

由此可知：點C軌跡是一個以（1，0）為圓心，以2半徑的圓。那么，以AB為底的高最大值就是半徑2，所以△ABC的面積最大值為

數學問題中的動點軌跡問題尤其是暗動點問題，如果根據暗動點軌跡思維，問題便能簡化很多，從而順利解決相關難題。本文通過四個典型的例題論述了這一類問題的解決方法，對教師教學，學生訓練數學思維做了一個較好的引導。