高考中數列不等式證明問題的探究

湖北省孝感高級中學 周 飛

數列是高考中數學考查的重要內容，數列與函數、方程、不等式、解析幾何的關系十分密切，高考中數列常以與這些知識的綜合為考查對象，主要考查學生的運算能力、邏輯思維能力、分析和解決問題的能力、數學歸納能力及綜合創新能力。而且數列中的遞推思想、函數方程思想、分類討論思想以及數列求和、求通項公式的各種方法和技巧在中學數學中都有重要的地位，因此圍繞數列可以命制綜合性較強的試題。歷年來，數列一直是高考的重點和熱點，甚至有些省份設置的是難題。下面就高考中數列不等式問題,談談幾種策略在證明不等式中的運用，并作一些歸納和探究。

一、利用基本不等式拆項，構造類似等比數列的不等式，迭代法證明不等式

二、方冪合并，把相鄰的合并，通過放縮變成一個便于求和的式子，從而證明不等式

本題證明過程中，將項合并，通過放縮將每一個括號內各項的和求出即可。

三、奇偶合并，把一奇一偶的兩項合二為一，再進行適當的放縮，以達到證明的目的

（1）求數列{an}的通項公式；

如果直接對不等式進行放縮很難達到目的，若注意到通項公式中含有，是一個擺動數列，則可以將相鄰的奇偶合并，再進行適當的放縮方法，可有效解決問題。

四、利用二項式定理放縮不等式

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）由（1）得：

在不等式證明中，與整數指數冪有關的不等式證明，根據其不等式結構特征，直接運用二項式定理展開，結合放縮法去證明，往往能出奇制勝、獲得簡潔、新穎的證明方法。同時也達到了對學生證題技能和創造力的過程目標。當然，選取不同的放縮方式還可以這樣證明：

五、利用數學歸納法證明不等式

例5 已知數列{an}滿足：

（1）求{an}的通項公式；

下面用數學歸納法證明此不等式：

（1）當n=2時，顯然成立；

（2）假設當n=k(n≥2)時，不等式成立，

所以當n=k+1時，不等式成立，由（1）（2）得原不等式成立。

證明過程中構造一個不等式，先用數學歸納法證明再求和，最后合理放縮以達到轉化的目的，從而使命題得到證明。

六、利用函數單調性證明不等式

（1）若x≥0時，f(x)≤0，求λ的最小值；

（2）設數列{an}的通項，證明：＞ln2。

本題是一道以函數為載體的數列綜合題，考查導數、數列求和、不等式等知識、能力，充分體現了數列的綜合性。在證明過程中對運算求解能力，推理論證能力有較高要求。利用導數證明的一個函數不等式，通過巧妙地賦值得到一個數列的不等式，在證明過程中先分拆，后累加合并，使命題的證明得到有效控制。