圓錐曲線離心率 幾何坐標思定義

陸勇平

(福建省泉州外國語學校 362000)

一、涉及焦點及曲線上的點問題，幾何坐標思定義(想方程)

解法1 如圖所示，設橢圓的另一個焦點為F1，連結AF1.

∵△AOF2為正三角形, 設|F1F2|=2c>0,

∴|OF1|=|OF2|=|OA|,

由橢圓定義得|AF1|+|AF2|=2a,

解法2 設|F1F2|=2c>0,

又∵b2=a2-c2,

∴c4-8a2c2+4a4=0.

同除以a4可得e4-8e2+4=0,

點評解法1利用圓錐曲線的定義求解，同時滲透平面幾何知識是求圓錐曲線的離心率的常用方法，應優先考慮該方法.解法2利用點在曲線上得到a,c的齊次方程，再同時除以a4,轉化為關于離心率e的方程，從而求出e，這種方法是求解離心率的本質，但計算量較大.

二、涉及到兩焦點或到長軸兩端點張角問題，熟記定論并用幾何法巧解

∴3c4+4a2c2-4a2≥0，即3e4+4e2-4≥0,

解法2 同解法1可證當點P位于短軸端點時，∠APB最大.

∴a2≥3b2,即a2≥3(a2-c2),

解法1 設|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),

由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos120°=m2+n2+mn即4c2=(m+n)2-mn,∴4c2=4a2-mn,

解法2 設|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),

由余弦定理及橢圓定義可得

當且僅當m=n時等號成立，此時cos∠F1PF2取最小值， ∠F1PF2最大，點P在短軸端點.

∴c2≥3b2即c2≥3(a2-c2),

三、涉及中位線問題時，巧用幾何法結合定義

解法1 如圖， 設F1為雙曲線的右焦點，P為雙曲線第一象限上的點.

∵M為線段PF2的中點，O為F1F2中點，且|OF2|=|F2M|=c，|PF2|=|F1F2|=2c.

由雙曲線的定義可知|PF1|=|PF2|+2a=2a+2c.

OM為△PF1F2的中位線，∴OM∥PF1，

點評解法1利用等腰三角形(或余弦定理)確定三角形各邊的關系，再巧妙利用雙曲線的定義構建a,c的關系，這是離心率求值的常用方法.解法2設出點P的坐標后代入雙曲線方程，構建a,c的關系去求離心率的值，這種方程思想在解題中經常用到，但計算量較大.解法3結合雙曲線的定義，巧妙地利用正弦定理把各邊的比轉化為各角的正弦值的比，這種方法更加簡捷.

四、涉及圓錐曲線中的向量問題，巧設坐標思定義

解法1 如圖，取PF2中點M，連接OM.

又∵O,M分別是F1F2,PF2的中點,∴OM∥PF2，∴PF1⊥PF2,∴△PF1F2為直角三角形.

設|PF1|=4k,|PF1|=3k(k>0),

∴|F1F2|=5k.

∴△PF1F2為直角三角形，PF1⊥PF2.

接下來同解法1可得e=5.

評點解法1利用向量的線性運算得出△PF1F2為直角三角形，再結合雙曲線的定義，巧妙地利用正弦定理把各邊的比轉化為各角的正弦值的比，這種方法簡捷、靈活.解法2利用向量的線性運算,把向量用相同的基表示，得出△PF1F2為直角三角形.

又∵點P在橢圓上

又∵P為橢圓上一點,∴b2≤3c2≤a2.

解法1將數量積用坐標表示后轉化為圓的方程的形式，巧用圓與橢圓交點結論求解，把向量問題轉化為不等式問題，對學生綜合分析問題的能力要求較高.解法2利用向量的線性運算把向量用相同的基表示，得出橢圓上點到原點的距離，再利用距離的有界得出不等式，這是處理離心率范圍問題的常用方法.解法3將數量積用坐標表示后轉化為有關橫坐標x0的關系式，并利用x0的有界性求解，對學生的綜合分析能力和運算能力要求都較高.