學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向下的2018全國卷數(shù)學(xué)試題回望

延宗殿

(山西省晉中市昔陽縣中學(xué)校 045300)

一、重視基礎(chǔ)，突出主干

數(shù)學(xué)考完后，教師普遍感到，今年高考數(shù)學(xué)試題全國卷在考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法方面明顯重于往年.試題全面考查基礎(chǔ)，突出主干內(nèi)容，強調(diào)通性通法，如集合、復(fù)數(shù)、函數(shù)、向量、算法、概率、三角函數(shù)、解三角形、線性規(guī)劃、圓錐曲線等基礎(chǔ)內(nèi)容在選擇填空題中都進行了有效的考查，這部分試題有利于穩(wěn)定考生情緒；還有解答題對數(shù)列、統(tǒng)計、直線與圓錐曲線、立體幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容也進行了重點的考查，充分體現(xiàn)了試卷對數(shù)學(xué)知識考查的基礎(chǔ)性、全面性和綜合性.另外試卷也非常注重通性通法的考查.

表1 全國2卷理科數(shù)學(xué)選擇填空題考點統(tǒng)計表

全國2卷理數(shù)的第17題考查了等差數(shù)列最基礎(chǔ)的知識，難度很低.這體現(xiàn)了命題人對基礎(chǔ)知識和基本方法的重視.要求考生對這些基礎(chǔ)內(nèi)容必須熟練掌握.

二、穩(wěn)定求新，不落俗套

每年高考試題都在追求穩(wěn)定中求創(chuàng)新，今年全國卷試題也不例外.同時試題也追求題型設(shè)計的創(chuàng)新.如第8題以哥德巴赫猜想為背景，巧妙地設(shè)計了一道古典概率計算問題.第18題考查了線性回歸模型的具體應(yīng)用和相關(guān)系數(shù)的內(nèi)容，要求學(xué)生根據(jù)折線圖和相關(guān)系數(shù)的大小做出判斷，出題角度非常新穎.

再如解答題中解析幾何放在了立體幾何前面進行考查，與往年比較，降低了解析幾何解答題的難度.一般解析幾何解答題都在20題的位置，無論平時的考試還是高考，大多數(shù)考生對于這道題的第2問都選擇放棄.今年考題將解析幾何解答提前一個位置，由一道難題變成了一道中檔題，這樣考生應(yīng)該努力進行解答，就不能再選擇“放棄”了.對高中教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.本題考驗學(xué)生的隨機應(yīng)變與心理素質(zhì)，本題源于教材，以拋物線中過焦點的弦為直徑的圓和準線相切為背景，設(shè)問方式新穎，不落俗套.

例1 (2018全國2理17)記Sn為等差數(shù)列(an)的前n項和，已知a1=-7，S3=-15.

(1)求{an}的通項公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值.

解析(1)設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=-15.

由a1=-7得d=2.

所以{an}的通項公式為an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.

例2 設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．

(1)求l的方程；

(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．

解析(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，

因此l的方程為y=x-1.

所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16.

問題：以AB為直徑的圓恒與拋物線C的準線相切，反之過點A，B且與C準線l相切的圓是否一定以AB為直徑？

顯然，圓心M一定在AB的垂直平分線上，且到A(B)的距離和到曲線C的準線的距離相等.根據(jù)拋物線的定義知，點M在以A(B)為焦點以直線l為準線的拋物線上E上，即M為AB的垂直平分線與曲線E的交點(如圖所示)AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0,y0)，則

因此所求圓除了一個以AB為直徑外，另一個圓的圓心為(11，-6)，其方程為(x-11)2+(y+6)2=144.

文理第16題以圓錐為載體考查了空間幾何體的線線角、線面角和面積、體積計算.這樣的命題在上個世紀90年代考過，近十年來考查旋轉(zhuǎn)體通常以球和多面體組合體為載體進行考查.

立體幾何解答題對幾何證明提出了較高的要求，由于高考考試大綱刪除了選修4-1.幾何證明選講,所以對邏輯推理,特別是利用公理法進行推理的能力的考查就落在立體幾何和解析幾何題上.從第20題第(1)問的線面垂直的證明看,其難度明顯高于往年線面關(guān)系的證明.高考命題的這個變化,應(yīng)該對今后的高中教學(xué)中有啟示作用.

三、加強數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

今年全國理科卷試題對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有更深入的考查.如第3題對于學(xué)生的邏輯推理與直觀想象提出了較高的要求；第18題充分考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模能力；第20題考查考生的空間想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力；第19題以拋物線過焦點的弦為載體，考查學(xué)生的運算求解和邏輯推理能力；全國文理卷第21題為姊妹題設(shè)計，理科數(shù)學(xué)是以指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)為載體，文科數(shù)學(xué)以多項式函數(shù)為載體考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的基本方法，主要考查了求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值、函數(shù)的零點等基本問題.對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)都有很高的要求，充分考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

例3 (2018全國2理19)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a．

解析(1)當a=1時，f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0．

設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1，則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x．

當x≠1時，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減．

而g(0)=0，故當x≥0時，g(x)≤0，即f(x)≥1．

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x．

f(x)在(0,+∞)只有一個零點當且僅當h(x)在(0,+∞)只有一個零點．

(ⅰ)當a≤0時，h(x)>0，h(x)沒有零點；

(ⅱ)當a>0時，h′(x)=ax(x-2)e-x．

當x∈(0,2)時，h′(x)<0；當x∈(2,+∞)時，h′(x)>0．

所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+∞)單調(diào)遞增．

故h(x)在(2,4a)有一個零點，因此h(x)在(0,+∞)有兩個零點．

四、幾點啟示

今年的高考數(shù)學(xué)試卷，對備考2019年高考的學(xué)生，有以下幾點啟發(fā)：

1．必須重視“四基”

高考對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和基本數(shù)學(xué)體驗的要求越來越高，因此我們要在復(fù)習(xí)備考的過程中，結(jié)合教材和考綱，熟練掌握高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和解題的通法，不宜好高騖遠，花費太多的時間去鉆研偏難怪題.

2．必須深入研究歷年高考真題

在打好基礎(chǔ)的前提下，認真研究歷年高考真題，掌握高考命題的一般規(guī)律，對提高復(fù)習(xí)的效率有很大的幫助.

3．利用典型例題提高解題水平

應(yīng)該通過學(xué)習(xí)研究一類題目的解法中，掌握核心的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，開拓我們的解題思路，提高解題水平.這是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所必須.

一般來說，一道題目能夠成為典型例題，它必須具備以下幾條要素：重點與熱點；入口較寬，解法多樣(至少兩種解法)；解法能夠遷移；變式與推廣.難度中等.

從上個年度的備考情況看，多數(shù)教師對題的研究不夠充分，表現(xiàn)在，一是解法單調(diào).如果你只能用一種方法解決這道題，那么這道題就不能作為例題，原因很簡單，主要是你對這道題還沒有融會貫通，還不能多角度來認識它，也就是你對它理解的還不透徹，還不能靈活變通.這樣的題怎么能作為例題呢.二是難度太大，一道題目如果難度太大，那么課堂上大多數(shù)學(xué)生往往聽不懂，教師也講不清楚；選題應(yīng)該立足中檔試題，難度系數(shù)在0.5-0.65范圍內(nèi)比較合適.中檔綜合題區(qū)分度好，訓(xùn)練價值高，教師講得清楚，學(xué)生聽得明白，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高；三是就題論題，不回顧、不反思、不總結(jié).常見的是，一些教師講解完一個題目后，馬上轉(zhuǎn)入下一個問題的解決，他們不對這道題目的解題步驟進行回顧與反思. 如解題中用到了哪些知識？哪些方法？這些知識和方法是怎樣聯(lián)系起來的？自己是怎么想到它們的？

困難在哪里？關(guān)鍵是什么？遇到過什么障礙？后來是怎么解決的？

是否還有別的解決方法?命題能夠推廣嗎？

條件能減弱嗎？結(jié)論能加強嗎？這些方法體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？

充分發(fā)揮典型例題的作用，提高教學(xué)效果，減輕學(xué)生負擔，分析典型例題的解題過程是提高學(xué)生解題能力的有效途徑.

結(jié)尾：2018年全國卷數(shù)學(xué)試題大氣、大道，題干簡潔明了，解答嚴謹規(guī)范.

試題取材源于生活考查的終極目標服務(wù)于學(xué)生未來的可持續(xù)發(fā)展，能力立意，素養(yǎng)導(dǎo)航，打造數(shù)學(xué)高考考試新形態(tài).

給2019屆考生的建議：立足基礎(chǔ)，注重數(shù)學(xué)的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)的思想方法.真正把高中數(shù)學(xué)每個知識點理解透徹，在學(xué)習(xí)過程中善于用數(shù)學(xué)思維去分析問題和解決問題，只有這樣才能真正地掌握數(shù)學(xué)，才能在最終的高考中取得滿意的成績.