數學解題規避分類討論的幾種思路

2019-04-04 03:42:52王健發

王健發

(廣東省惠州市華羅庚中學 516000)

分類討論是一種重要的數學思想，不僅要靈活運用數學基本知識與方法，同時對思維的深刻性和嚴謹性提出了很高的要求. 活躍在各類考試的舞臺上，綜合性強，學生普遍感到棘手. 學生由于對分類原則考慮不全導致顧此失彼. 本文結合高中所學知識介紹幾種規避分類討論優化解題的思路，期望對大家有所幫助.

一、靈活運用公式

例1 解不等式|x+log2x|

解由|a+b|≤|a|+|b|，知當且僅當ab≥0時，等號成立，從而x·log2x<0.又x>0，所以log2x<0.故解集為x∈(0,1).

例2 設a>0,a≠0,0|loga(x+1)|.

證明因為00，lg(1-x2)<0.

又因為|loga(1-x)|-|loga(x+1)|

所以|loga(1-x)|>|loga(x+1)|.

例1和例2 都含有絕對值和對數，一般而言需要討論絕對值內代數式的正負以及對數中底數a>1或0

例3 若p∈R,且當|log2p|<2時，不等式px+1>2x-p恒成立，試求x的取值范圍.

本題若用常規方法，以x為主元，則需分類討論，而以p為主元，可避免討論.

例4 等比數列{an}的前n項和為Sn. 若S3+S6=2S9，求公比的實數值.

解由Sn=Sm+qmSn-m(n>m)，得S6=S3+q3S3，S9=S6+q6S3=S3+q3S3+q6S3.

因為S3+S6=2S9，所以2S3+q3S3=2(S3+q3S3+q6S3)，即2q6S3+q3S3=0.

例5 等比數列前n項和為2，其后2n項的和為12，求再其后3n項的和.

解由已知得Sn=2，S3n-Sn=12，所以S3n=Sn+12=14.

又因為S3n=Sn+qnS2n=Sn+qn(Sn+qnSn)，所以14=2+2qn+2q2n，解得qn=2或qn=-3.

又S6n-S3n=(S3n+q3nS3n)-S3n=q3nS3n=14q3n，所以S6n-S3n=14·23=112或S6n-S3n=14·(-3)3=-378.

例4和例5涉及到等比數列和的問題，通常要對公比q分q=1和q≠1兩種情形討論. 但是，不論公比q是否為1，我們將等比數列和的公式進行重組之后，總有Sn=Sm+qmSn-m(n>m). 用此公式解決有關等比數的前n項和的問題，常可避免分類討論.

本題若從正面求解需分兩種情況討論：(1)兩點都在橢圓外，(2)兩點都在橢圓內. 若用命題的否定思想則不需要討論，計算簡潔. 對于題目中出現“至少”、“至多”、“無”等關聯詞，可通過命題的否定思想進行求解.

例7 當-10恒成立，求實數a的取值范圍.

解原命題等價于不等式x2-2x+3>2a(x+2)在-1

當直線繞著點(-2,0)順時針旋轉時也滿足題設條件.

例8 已知函數f(x)=ex-1-x-ax2.

(2)當x>0時,f(x)≥0恒成立, 求實數a的取值范圍.

(2)當x>0時,f(x)≥0恒成立等價于ax2≤ex-1-x在區間(0,+∞)恒成立.

令y1=ax2,y2=ex-1-x, 即當x>0時, 函數y2=ex-1-x的圖象恒在函數y1=ax2圖象的上方.

因為當x>0時,y2′=ex-1>0, 所以函數y2=ex-1-x在(0,+∞)單調遞增.

例7是求二次函數f(x)=x2-2(a+1)x+3-4a在(-1,1)上的最小值，需分三種情況進行討論，例8需要畫出f(x)=ex-1-x-ax2的圖象，經分類討論之后確定a的取值范圍，過程不但比較復雜，而且容易出錯. 但例7通過分離出一次函數求解，例8通過分離二次函數求解使得問題輕松求解.

充分運用分類討論的思想方法解題，是解題的一個重要策略，也是訓練邏輯思維能力的重要手段，提高整體把握問題意識的能力. 但在有些情況下，其過程較為繁瑣，因此也容易造成解題中的失誤. 故我們在掌握這一方法的同時，要靈活變通，克服思維定勢帶來的負遷移，學會簡化或避免分類討論，以達到方法上的優勢互補.