追向量之根溯內積之源

摘 要：中學階段向量運算主要有線性運算和數量積運算，數量積運算涉及長度、夾角等問題，但數量積運算常常與三角函數、解三角形、圓等交匯，故綜合強度大.

關鍵詞：數量積定義；幾何意義；投影；基底；坐標法

一、問題的提出

在新課程改革中，教材在必修與選修中都引入了向量，其目的很明確，即為研究平面幾何、空間幾何問題提供新的研究手段，充分體現向量的工具性.向量這個既有大小又有方向的量，不僅從“數”的方面可以運算，也可以從“形”的方面巧妙呈現，所以高中數學中向量的問題，往往比較靈活，而其中數量積問題（也稱內積），既考查數量積概念及幾何意義的靈活運用，又考查幾何圖形性質的應用，學生往往無從下手.究其原因，發現不少學生只是粗淺地記憶數量積公式，沒有站在向量整個模塊的高度來審視數量積.

向量數量積不同于向量的線性運算，因為它的結果是數量，不是向量.向量數量積與距離、夾角等緊密聯系，用它可以解決一些涉及距離、夾角的幾何問題.但是作為工具性的章節，向量的考查往往又與三角函數、解三角形、圓、函數與導數等交匯，綜合強度大，學生往往困于破解的突破口，本文將追根溯源，探求數量積概念的本源，揭示處理數量積問題常用的幾種角度.

二、數量積的定義及其意義

三、平面向量基本定理與數量積的坐標表示

平面向量基本定理是向量坐標表示的理論基礎.直角坐標系中與x軸、y軸方向相同的單位向量是它的一組正交基底，平面內任何一個向量都可由一對有序實數（x，y）表示.這樣建立了向量的坐標表示與點的坐標表示的對應關系，把向量（以原點為始點的有向線段）與點對應起來.

由此可見，合理選擇基底，把所求向量都用基底轉化，再進行數量積運算，則可以有效計算出數量積.這是從選擇基底的角度轉化表示數量積，體現了化歸與轉化的思想.

用坐標法解決幾何問題的基本過程就是：合理建系，坐標表示，向量運算，化簡結果，最后再把向量運算結果翻譯成幾何結論.

若能方便建系，表示所求點的坐標，則可快速表示數量積.這是從坐標化的角度表示數量積.這兩個角度可以說是從教材中數量積這一節與前后兩節知識聯系而挖掘出來的.

評析：由單位圓出發，建系，使用三角函數定義設點，表示所求向量坐標，數量積一運算，貌似復雜，但繼續算下去經三角變換，發現可以合并成一個三角函數，利用三角函數有界性可快速求出最值.真是“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”！而還可以求出最小值或范圍.相比于前兩種角度，第三種角度思維量小，計算量也不大，抓住三角函數定義這個本質，較徹底地認識·的變化情況.

本題是選擇題，不少學生大膽猜想當BC∥PQ時，取得最大值.但要嚴格推理論證或是變式一下，就無從下手了.只要學生能深刻理解數量積的定義，從本質出發，熟悉常用的幾種切入口，這種數量積的問題就能輕松拿下.

萊布尼茲曾說過：“學生在我看來，沒有什么能比探索發明的源頭還要重要，它遠比發明本身更重要。”很多數學問題，我們應該經常思考，應該選擇什么角度入手，把握概念的本質以及其來龍去脈，做到能正向研究，也能逆向思維，則我們就能站在一個相對的高度上看數學問題.透過現象看本質，則解題就水到渠成了！

作者簡介：林清利，男，出生于1985年5月，大學本科學歷，就職于福建省莆田第一中學，在高中教學第一線。endprint

摘 要：中學階段向量運算主要有線性運算和數量積運算，數量積運算涉及長度、夾角等問題，但數量積運算常常與三角函數、解三角形、圓等交匯，故綜合強度大.

關鍵詞：數量積定義；幾何意義；投影；基底；坐標法

一、問題的提出

在新課程改革中，教材在必修與選修中都引入了向量，其目的很明確，即為研究平面幾何、空間幾何問題提供新的研究手段，充分體現向量的工具性.向量這個既有大小又有方向的量，不僅從“數”的方面可以運算，也可以從“形”的方面巧妙呈現，所以高中數學中向量的問題，往往比較靈活，而其中數量積問題（也稱內積），既考查數量積概念及幾何意義的靈活運用，又考查幾何圖形性質的應用，學生往往無從下手.究其原因，發現不少學生只是粗淺地記憶數量積公式，沒有站在向量整個模塊的高度來審視數量積.

向量數量積不同于向量的線性運算，因為它的結果是數量，不是向量.向量數量積與距離、夾角等緊密聯系，用它可以解決一些涉及距離、夾角的幾何問題.但是作為工具性的章節，向量的考查往往又與三角函數、解三角形、圓、函數與導數等交匯，綜合強度大，學生往往困于破解的突破口，本文將追根溯源，探求數量積概念的本源，揭示處理數量積問題常用的幾種角度.

二、數量積的定義及其意義

三、平面向量基本定理與數量積的坐標表示

平面向量基本定理是向量坐標表示的理論基礎.直角坐標系中與x軸、y軸方向相同的單位向量是它的一組正交基底，平面內任何一個向量都可由一對有序實數（x，y）表示.這樣建立了向量的坐標表示與點的坐標表示的對應關系，把向量（以原點為始點的有向線段）與點對應起來.

由此可見，合理選擇基底，把所求向量都用基底轉化，再進行數量積運算，則可以有效計算出數量積.這是從選擇基底的角度轉化表示數量積，體現了化歸與轉化的思想.

用坐標法解決幾何問題的基本過程就是：合理建系，坐標表示，向量運算，化簡結果，最后再把向量運算結果翻譯成幾何結論.

若能方便建系，表示所求點的坐標，則可快速表示數量積.這是從坐標化的角度表示數量積.這兩個角度可以說是從教材中數量積這一節與前后兩節知識聯系而挖掘出來的.

評析：由單位圓出發，建系，使用三角函數定義設點，表示所求向量坐標，數量積一運算，貌似復雜，但繼續算下去經三角變換，發現可以合并成一個三角函數，利用三角函數有界性可快速求出最值.真是“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”！而還可以求出最小值或范圍.相比于前兩種角度，第三種角度思維量小，計算量也不大，抓住三角函數定義這個本質，較徹底地認識·的變化情況.

本題是選擇題，不少學生大膽猜想當BC∥PQ時，取得最大值.但要嚴格推理論證或是變式一下，就無從下手了.只要學生能深刻理解數量積的定義，從本質出發，熟悉常用的幾種切入口，這種數量積的問題就能輕松拿下.

萊布尼茲曾說過：“學生在我看來，沒有什么能比探索發明的源頭還要重要，它遠比發明本身更重要。”很多數學問題，我們應該經常思考，應該選擇什么角度入手，把握概念的本質以及其來龍去脈，做到能正向研究，也能逆向思維，則我們就能站在一個相對的高度上看數學問題.透過現象看本質，則解題就水到渠成了！

作者簡介：林清利，男，出生于1985年5月，大學本科學歷，就職于福建省莆田第一中學，在高中教學第一線。endprint

摘 要：中學階段向量運算主要有線性運算和數量積運算，數量積運算涉及長度、夾角等問題，但數量積運算常常與三角函數、解三角形、圓等交匯，故綜合強度大.

關鍵詞：數量積定義；幾何意義；投影；基底；坐標法

一、問題的提出

在新課程改革中，教材在必修與選修中都引入了向量，其目的很明確，即為研究平面幾何、空間幾何問題提供新的研究手段，充分體現向量的工具性.向量這個既有大小又有方向的量，不僅從“數”的方面可以運算，也可以從“形”的方面巧妙呈現，所以高中數學中向量的問題，往往比較靈活，而其中數量積問題（也稱內積），既考查數量積概念及幾何意義的靈活運用，又考查幾何圖形性質的應用，學生往往無從下手.究其原因，發現不少學生只是粗淺地記憶數量積公式，沒有站在向量整個模塊的高度來審視數量積.

向量數量積不同于向量的線性運算，因為它的結果是數量，不是向量.向量數量積與距離、夾角等緊密聯系，用它可以解決一些涉及距離、夾角的幾何問題.但是作為工具性的章節，向量的考查往往又與三角函數、解三角形、圓、函數與導數等交匯，綜合強度大，學生往往困于破解的突破口，本文將追根溯源，探求數量積概念的本源，揭示處理數量積問題常用的幾種角度.

二、數量積的定義及其意義

三、平面向量基本定理與數量積的坐標表示

平面向量基本定理是向量坐標表示的理論基礎.直角坐標系中與x軸、y軸方向相同的單位向量是它的一組正交基底，平面內任何一個向量都可由一對有序實數（x，y）表示.這樣建立了向量的坐標表示與點的坐標表示的對應關系，把向量（以原點為始點的有向線段）與點對應起來.

由此可見，合理選擇基底，把所求向量都用基底轉化，再進行數量積運算，則可以有效計算出數量積.這是從選擇基底的角度轉化表示數量積，體現了化歸與轉化的思想.

用坐標法解決幾何問題的基本過程就是：合理建系，坐標表示，向量運算，化簡結果，最后再把向量運算結果翻譯成幾何結論.

若能方便建系，表示所求點的坐標，則可快速表示數量積.這是從坐標化的角度表示數量積.這兩個角度可以說是從教材中數量積這一節與前后兩節知識聯系而挖掘出來的.

評析：由單位圓出發，建系，使用三角函數定義設點，表示所求向量坐標，數量積一運算，貌似復雜，但繼續算下去經三角變換，發現可以合并成一個三角函數，利用三角函數有界性可快速求出最值.真是“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”！而還可以求出最小值或范圍.相比于前兩種角度，第三種角度思維量小，計算量也不大，抓住三角函數定義這個本質，較徹底地認識·的變化情況.

本題是選擇題，不少學生大膽猜想當BC∥PQ時，取得最大值.但要嚴格推理論證或是變式一下，就無從下手了.只要學生能深刻理解數量積的定義，從本質出發，熟悉常用的幾種切入口，這種數量積的問題就能輕松拿下.

萊布尼茲曾說過：“學生在我看來，沒有什么能比探索發明的源頭還要重要，它遠比發明本身更重要。”很多數學問題，我們應該經常思考，應該選擇什么角度入手，把握概念的本質以及其來龍去脈，做到能正向研究，也能逆向思維，則我們就能站在一個相對的高度上看數學問題.透過現象看本質，則解題就水到渠成了！

作者簡介：林清利，男，出生于1985年5月，大學本科學歷，就職于福建省莆田第一中學，在高中教學第一線。endprint