高考中的函數方程思想考法

◎曹學勤

高考數學考的主要是高中數學的基本知識和數學的應用。而近幾年更加突出了數學的應用，對數學思想考察比例的加大就是一個標志。常見的四種數學思想中函數方程是非常重要的。結合2019年高考，我們來看一下對函數方程思想的考察形式，以便我們在復習中要針對性的做好工作。

函數方程思想方法本身就是一種解題方法同時也是數形結合的前提。所謂的“數形結合”中的數指的都是函數，形指的就是函數的圖像。利用圖像來解決問題。如果沒有發掘出函數，當然就沒有圖像，更談不上結合。結合2019年高考題，我們來探討一下有關函數方程思想的考察方法和規律。

以全國卷I為例，2019年的文科第3題是：已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，則（）

A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a

比較大小很多時候要用到函數的單調性。三個數是的具體準確數值是得不到的。這時可以考察三個函數y=log2x，y=2x，y=0.2x，分別當x=0.2和0.3時的函數值。只需將三個函數的圖像做出來，根據所描點的高低不同，很容易比較出三個數值的大小。這個題考察的是什么，形式上是比較指數和對數的大小，實際上考察了函數的知識和應用。除了基本知識，更重要的是應用，這是用函數圖像來估計函數值！典型的函數方程是思想和數形結合思想的應用。以比大小的形式考察了指對函數的相關性質。

函數方程思想遠不止解決類似于以上這些涉及函數的問題，其實，在其他的內容中也有很多可以利用函數來解決的問題。2019年高考文科試題的第18題：記Sn為等差數列｛an｝的前n項和，已知S9=-a5.

（1）若a3=4，求｛an｝的通項公式；（2）若a1＞0，求使得sn≥an的n的取值范圍.

這是這是一道數列題，怎么解決，要用函數。數列實際上是定義域特殊的函數，很多數列的問題往往可以用函數辦法來解決。比如常見的求數列的最值項，求數列前n項和的最值等，都是將數列問題轉化為關于n的函數來解決旳。常見的考題中，通項公式an=f（n）和前項和公式sn=g（n）的相關問題比較多見。從形式上就體現出這就是定義域為正整數的函數。而這道題，把函數和數列結合的更加完美巧妙。對于條件sn≥an，代入了等差數列的通項公式和前n項和公式，就變為了一個關于n的一元二次不等式。這不就是一元二次函數的應用嗎？典型的函數方程思想的應用。這道題出題更加明顯的強調了函數在解決數學問題中的應用。

第20題本身就是函數的問題。21題第一問已知點A，B關于坐標原點O對稱，|AB|=4，圓M過點A，B且與直線x+2=0相切.（1）若A在直線x+y=0上，求圓M的半徑；很多學生覺得這道題難，其實是函數方程意識不好。其實就是簡單的將條件中的方程列出，然后解方程即可。再比如2018年高考理科20題，一道概率題，問的是這樣每一件產品不合格概率為p，20件產品中恰有2件不合格概率為f（p），求f（p）的最大值點P0。這題完美的將獨立事件恰好發生k次的概率和函數問題完美的結合。

以上幾個題，看似數列，概率等問題，而實質上都在考察函數！不難看出，函數方程的考察在高考中占有了重要的地位。隨著新課改的實施和對數學核心素養考察的加強，對數學思想的考察必將進一步加強。那我們怎樣復習，才能讓學生取得更好的成績呢。在平常的教學工作中要做到以下：

第一，基礎知識的脈絡體系要清晰明了。對于函數方程這一塊，要讓學生清清楚楚的知道他分為兩部分，函數的基本概念和應用。基本概念包括函數的定義，函數的性質，主要有單調性、奇偶性、周期性、對稱性等。還有常見的基本初等函數：一次函數，二次函數、正比例函數、反比例函數、指對函數、三角函數等。當然還要知道他們的簡單復合。沒有這一系列的函數知識基礎，是談不上函數方程思想的。第二，要有應用函數的意識。在平常的教學中，要有意識的強化學生應用函數方程思想解決問題的意識。對于這個問題，在教學中可以總結一些套路，然后再培養靈活利用的意識。比如說一些涉及到最值的問題，學生看到最值“最值”這個標志就會想想能否用函數來求最值呢，久而久之就慢慢培養了應用函數方程思想解決問題的意識。

第二，教學中要做到理論實踐結合，挖掘教材的材料巧妙利用。平常的教學過程中精講精練，注意一題多解，在變式訓練和比較中感受函數方程思想的重要性和操作方法。讓學生在應用的過程中，解決問題的過程中不斷提高。

2019年的高考落下帷幕，它進一步指明了下一步的復習思路和方向，我們只有在平常的教學過程中，深研硬拼多下功夫，研究學生，研究教材，更要研究考試說明，才能取得更好的復習效果。