從理解數學角度審視高二“方差”教材

王佩 趙思林

【摘?要】?方差是刻畫數據波動（離散）程度的重要統計量.從理解數學的角度，對人教社A版普通高中課程標準實驗教科書數學2j3（選修）《離散型隨機變量的方差》的幾個問題作了探討.

【關鍵詞】?理解數學;方差;審視;教材

2017年6月21日，筆者到四川省Z學校聽了一堂“離散型隨機變量的方差”的觀摩課，授課的L老師經驗豐富，教學整體安排合理、環節緊湊、層次清晰、銜接自然.授課順序安排如下：復習隨機變量X的均值（數學期望）→“射擊比賽”中“應該派哪名同學參賽？”的問題引入→隨機變量X1和X2的分布列圖→提問“怎樣定量刻畫隨機變量的穩定性？”→隨機變量的方差、標準差→隨機變量的三個性質→范例與練習.

1?問題提出

在揣摩教材編寫意圖，仔細分析教材結構體系，反復考量內容順序，字斟句酌教材語言后，筆者不禁對人教社A版普通高中課程標準實驗教科書數學2-3（選修）《離散型隨機變量的方差》（以下簡稱教材）該節內容，提出如下值得深度思考的問題：

（1）“射擊比賽”引例中，射中某環所對應的概率數據是否過于復雜？

（2）“怎樣定量刻畫隨機變量的穩定性”中的“穩定性”相較于“波動性”是否欠妥？

（3）通過類比引出“隨機變量的方差”是否有利于學生理解數學的本質？

（4）隨機變量方差的三個性質，教材是否需要呈現其證明過程？

2?問題的思考與解決

2.1?“射擊比賽”引例中，射中某環所對應的概率數據是否過于復雜

本章章頭語中表明，“…學習某些離散型隨機變量分布列及其均值、方差等知識，利用離散型隨機變量思想描述和分析某些隨機現象，解決一些簡單的實際問題…”[1].于是教材通過“射擊比賽”中“應該派哪名同學參賽？”這一實際問題引入，但根據X1和X2的均值，不能區分這兩名同學的射擊水平.至此通過問題“還有其他刻畫兩名同學射擊特點的指標嗎？”引入新知“方差”.可是在計算X1和X2的均值過程中，由于數據復雜，導致計算量偏大.如

E（X1）=5×0.03+6×0.09+7×0.20+8×0.31+9×0.27+10×0.10=8;

E（X2）=5×0.01+6×0.05+7×0.20+8×0.41+9×0.33=8[1].

一般的課堂教學時間為40或45分鐘，而問題引入環節最多只能占3～5分鐘，除去學生大量運算所花費時間，還剩多少寶貴的課堂引入時間，用于學生靜心閱讀，認真思考，處理信息，抓住關鍵.“數學是思維的體操”，“數學是思維的科學”，數學對培養人的科學精神、思維方法、探索能力、思辨能力、量化思維、審美情趣等具有重要作用[2].故在數學課上，應該更多地崇尚“腦力勞動”，而非簡單四則運算下的“體力勞動”.因此建議將引例中的數據，調整為既能反映隨機變量X1和X2的均值相等，又便于運算的相對較簡單的數據，或者更換為能同時兼顧以上兩點的另一引例.

或許有人會說，調整引例中的數據后，還能反映兩名同學的真實射擊水平嗎？還能達到解決一些簡單的實際問題這一目的嗎？對此，筆者作如下解釋：一是將選拔同學參加射擊比賽，作為實際問題，其實很難與中學生引起共鳴，并且在大多數畢業踏入社會的同學的生活中也鮮有出現;二是本節內容目的是“學習離散型隨機變量的方差，用于解決一些簡單的實際問題.”但“目的”和“目標”是兩個相互聯系，卻又有所不同的概念.目的，是一種很特別的目標，和一般短期、立即的目標不同.目標，是達到目的的手段.有了目的，你會開始安排各種目標，讓自己一步步到達那個目的[3].因此欲達到本節內容的目的，就引入環節而言，可以先安排既能簡單明確地反映隨機變量X1和X2的均值相等，又無法對該問題做出判斷的目標即可.暫時無需非用實際問題中的實際數據拔高起點.同時這也有利于培養學生，抓住數學問題的主要矛盾和數學矛盾的主要方面.

2.2?“怎樣定量刻畫隨機變量的穩定性？”中的“穩定性”相較于“波動性”是否欠妥

教材欲通過兩個環環緊扣的思考[1]：“除平均中靶環數外，還有其他刻畫兩名同學各自射擊特點的指標嗎？”以及“怎樣定量刻畫隨機變量的穩定性？”進而引出新知.

教材上說[1]：“樣本數據與樣本的平均值的偏離程度，用它可以刻畫樣本數據的穩定性.”何為穩定？百度百科對“穩定”的解釋是：穩固安定;沒有變動;使穩定.筆者由此產生疑惑，樣本數據的選取雖有隨機性，但樣本一旦選定不就已經穩定了嗎？那從何談樣本數據的穩定性呢？帶著此疑惑，筆者翻閱從初中到高中具有代表性的各版本數學教材中方差的定義，詳見下表1.

由表1比較發現，方差或是刻畫數據波動（離散）程度、或是考察樣本數據分散程度、或是反映隨機變量取值偏離于均值的平均程度，均未說明方差是刻畫樣本數據的穩定性，或刻畫隨機變量的穩定性.

章建躍[4]于2016年12月17日在“中國教育學會第二十九次學術年會”第三分論壇“數學核心素養與高中數學教學質量”上發言“科學性是對教材的基本要求，學科育人是以課程教材的嚴謹精確作為基礎.科學性體現在教材內容的準確性，包括素材的準確性，概念原理的正確性，問題解答正確無誤，用詞、術語、符號、圖表規范等.”基于“用詞規范”建議，將教材思考題“怎樣定量刻畫隨機變量的穩定性？”中的“穩定性”改為“波動性”.

2.3?通過類比引出“隨機變量的方差”是否有利于學生理解數學的本質

教育部考試中心《考試大綱》，對該部分內容提出的考查要求較低，“理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單問題[7]”.由于高考對該部分內容考查要求較低，如若再不將這三個性質的證明呈現于教材，則多數教師就不會講解其證明，而是要求學生記住這三個性質，并輔以大量的練習，學生會應用性質解題即可，這便會造成學生學得很棒的假象.并且學生只知道為了考試非學不可，對為什么要學這些，知之甚少，缺了“為什么”這一環節，勢必不能激發和激活學生全心全力、自動自發的學習動機.

裴光亞[8]曾指出，“不論是著眼于考試，還是立足于素質，都必須：以理解數學的本質為前提，以培養數學能力素養為重點，以激發求知欲和好奇心為關鍵.了解數學產生的背景和應用，體驗數學發現和創造的歷程.不能單純的依賴于記憶和套路.”

綜上，那到底該怎樣解決“應試困境”與“理解數學”之間的矛盾呢？建議將以上三個性質的證明通過教材呈現出來，對于相對簡單的性質①和性質③，教師應在課堂上適當講解，而對于性質②，可作為學有余力的學生自學，或作為研究性學習的素材.相信通過這樣改進，能更好地激發學生的求知欲和好奇心，并且演繹出良好習慣，科學態度，探索自覺，理性精神，美學追求，高遠視野[8].裴光亞[8]曾肯定地說：求知欲和好奇心，就是實現數學教學全面價值——“撬起地球”的那個支點.

3?兩點啟示

3.1?“共同富裕”的方差解釋

人類社會為什么追求“共同富裕”？“共同富裕”是指居民普遍比較富裕并且貧富差距較小.從數學的角度看，方差的思想可以解釋這個問題：若居民貧富差距較大，則方差就較大;若居民貧富差距較小，則方差也就較小. 因此，居民收入的方差是刻畫居民貧富差距的一個重要指標.

3.2?方差對教育的啟示

一個班級或某學科的學生成績的方差越大，則說明學生各自的成績偏離于班級平均成績或學科平均成績的程度越大，即波動性越大.因此方差帶給班主任或學科教師的啟示是，應根據成績方差制定相應幫扶措施，從而使得全班同學在學習上能共同進步.

參考文獻

[1]李勇，劉紹學等. 普通高中課程標準實驗教科書數學2-3（選修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：43，64-68.

[2]趙思林，王婷.立德樹人——高考數學命題的新亮點[J].數學通報，2017，56（4）：39-43.

[3]佚名.斯坦福教授：父母如何幫孩子找到目標和動力？[EB/OL].[2017-07-03].http：//www.sohu.com/a/43114681_212810.

[4]中國教育學會.如何在教材編寫中落實核心素養？[EB/OL].[2017-02-22].http：//www.sohu.com/a/126953497_387107.

[5]林群，薛彬等. 義務教育教科書數學八年級下冊[M]. 北京：人民教育出版社，2012：129-130.

[6]張淑梅，劉紹學等. 普通高中課程標準實驗教科書數學3（必修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：75-77.

[7]教育部考試中心. 2012年普通高等學校招生全國統一考試大綱（理科·課程標準實驗版）[M]. 北京：高等教育出版社，2012：54.

[8]裴光亞.應試困境與數學教育旨趣的博弈——從一個悖論談起[J].內江師范學院學報，2017，32（6）：16-22.