在“已有知識”的土壤中生根發芽

嚴婷 劉錫光

【摘?要】?基于建構學習理論，對學生已有的認知結構及其對學習任意角三角函數可能產生影響的因素進行分析，并以此為基礎進行教學設計，旨在希望學生能在探究和交流合作中，將任意角三角函數的概念順利地納入原有的知識結構中，進一步完善知識體系，真正達到高效的理解學習.

【關鍵詞】?建構理論;任意角;三角函數;教學設計

《普通高中數學課程標準（2017）》指出：“高中數學課程應以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養[1].”同時，在高中數學課程基本理念中提到：高中數學教學應該創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質[1].這與建構學習理論提倡情境教學的思想是相一致的.由于高中生通過初中階段的學習已經積累了一定的學習經驗，所以在教學上應該給予他們更多學習上的自主權，鼓勵學生采用獨立思考、自主學習、合作交流等多種方式進行學習，從而促進學生學會學習.這也正好與建構學習理論主張“學習是學生自己主動建構知識的過程”相吻合.基于此，本文在建構學習理論的指導下對高中數學“任意角的三角函數”的課堂教學進行了如下設計.

1?建構學習理論的教學要義

建構學習理論認為知識只是一種假設，一種解釋，并不是對現實世界的準確表征.同樣地，課本知識也只是關于各種現象較為可靠的假設，而不是解釋現實的唯一“模板”，所以在教學中要鼓勵學生探究性地學習和發現課本知識.同時，知識的獲得也是基于學習者個人的經驗背景而建構起來的，它取決于學習者在特定情境下的學習歷程，需要針對具體情境進行再創造.因此，在教學中，教師不能把知識作為預先決定了的東西強塞給學生，而應該讓學生以自身的經驗為背景來分析、檢驗知識的合理性，進而吸收、理解知識，由此通過同化和順應學習來調整和改變學習者的認知結構.

建構學習理論強調，學生并不是空著腦袋走進教室的，教師的教學不能無視學習者原有的知識經驗，簡單地從外部對學習者進行知識的灌輸，而應該引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗.教學中還要重視師生之間，生生之間的相互合作，并針對問題進行探索、交流和質疑.

建構學習理論也強調教學不是知識的傳遞，而應該是以學生為中心，創設一定的環境，讓學習者在主動探索、主動發現中主動地建構知識意義的過程.

因此，在建構學習理論指導下的教學過程應包含知識回顧、問題引路，分步建構、同化順應，理解新知、小結與反思等幾個基本環節.

2?內容解析

本節課是人教A版 《普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修4）》（以下統稱“教材”）第一章第二節的第1課時，任意角的三角函數不僅是繼任意角、弧度制后的又一重要概念，也是本章其他內容的出發點，具有承前啟后的作用.學習它不僅能深化函數的概念，同時也能為后續學習平面向量、斜率、極坐標與參數方程等內容奠定基礎.

任意角的三角函數是基本初等函數中的一種特殊函數，它是刻畫客觀世界周期變化的一種數學模型.它不僅具有一般函數的特性，還有其自身特有的性質——周期性.因此，在教學中要注意突出這兩方面的性質.另外，雖然初中學過了銳角三角函數，但不能把任意角的三角函數看作是其簡單的擴充.在教學中，要讓學生真正理解這兩個概念本質上的異同.

3?目標制定

由于學生是在剛學完弧度制后學習本節內容，對弧度制引入的意義理解還不夠透徹，所以讓學生在一課時里理解任意角三角函數的定義比較困難.另外，引入單位圓定義三角函數的優勢，學生要在后續的學習中才能進一步體會到.因此，本節課的教學目標制定如下：

（1）能在直角坐標系中用角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標表示任意角的三角函數;

（2）知道任意角的三角函數的定義及其三要素;

（3）能根據角所在象限判斷三角函數值的符號;

（4）在借助單位圓認識任意角三角函數的定義過程中，體會數形結合思想、轉化思想，并能初步解決相應問題.

4?學情分析

建構學習理論強調教師應以學生已有知識結構為“生長點”，引導學生將新知納入原有的知識體系中.因此，教師不僅要了解教學內容，還要掌握學生已有的知識基礎及學習中可能遇到的困難，從而采取有效方法引導學生順利建構新知.

對于本節內容，學生已有知識結構與新知的關系如下：

通過以上的學情分析，將本節課的教學重、難點確定如下：

（1）教學重點

① 任意角的正弦、余弦、正切函數的定義;

② 任意角三角函數與銳角三角函數的區別與聯系.

⑵ 教學難點

① 單位圓的引入;

② 用單位圓與角終邊交點的坐標表示任意角三角函數;

③理解任意角三角函數的定義域為實數集.

5?教學過程

⑴ 回顧舊知，引入新課

問題1?上節課學習了任意角，任意角在你頭腦中給你留下最深的特點是什么？

生：把任意角放在直角坐標系中可以看到一種周而復始的現象.

教師用幾何畫板演示角終邊的轉動（如圖1），并點出：任意角可看作由終邊旋轉生成，角終邊上的點會繞著頂點做圓周運動.

設計意圖?溫故知新，通過幾何畫板演示，讓學生建立任意角與圓、直角坐標系間的聯系，為后續探究奠定基礎.另外，演示時還應提醒學生注意課本中任意角的標法是錯誤的，因為任意角不能標方向和大小，正確標法應將角α標在終邊外面[2].

問題2?你能舉出生活中的一些圓周運動現象嗎？

問題3?圓周運動是生活中一種非常重要的運動，而函數又是刻畫運動變化規律的一種重要數學模型，那圓周運動又應該用怎樣的函數來刻畫呢？

設計意圖?通過列舉生活中的圓周運動，讓學生感受到數學來源于生活以及學習任意角三角函數的必要性并引出本節課的主題.

⑵ 問題引路，分步建構

問題4??① 如果要用函數來刻畫圓周運動，那函數研究的對象是什么？

② 圓周運動中有哪些量？哪些是變量？

③這些量之間有什么關系呢？

設計意圖?由于問題3太大，學生一時無從入手，因此需設置系列小問題，搭建腳手架，引導學生將其轉化為熟悉的銳角三角函數開始探究，使銳角三角函數的定義坐標化.

問題5?初中“銳角三角函數”的“稱謂”是否嚴謹？你能從高中函數定義這個角度解釋一下嗎？

提示：銳角三角函數的自變量是什么？

設計意圖?函數是數集與數集間的對應，而銳角三角函數是以角為自變量，初中還未學弧度制，角的集合不同于數集，因此，初中“銳角三角函數”的“稱謂”不夠嚴謹.同時，也能讓學生進一步體會到學習弧度制的必要性，達到銳角三角函數函數化，為后續理解任意角三角函數的定義做準備.

問題6?對于給定的銳角α，其對應比值會不會隨著P點位置的變化而變化呢？

教師用幾何畫板演示P點在終邊上移動（如圖2），先讓學生觀察，再引導其利用相似三角形，嚴格證明得出：對于任意給定的銳角，其對應比值不會隨著終邊上點P位置的變化而變化.

設計意圖?為單位圓的引入作鋪墊，讓學生感受到利用單位圓定義銳角三角函數的合理性.

問題7?既然在終邊上可以任意選取點（異于原點），那在什么時候，這個比值的形式最簡單？

設計意圖?從簡化定義式的角度自然而然引出單位圓，達到銳角三角函數表達式的優化，為后續借用單位圓定義任意角的三角函數奠定基礎.

⑶ 同化順應，理解新知

問題8?那任意角的三角函數都可以用單位圓上點的坐標來表示嗎？

教師用幾何畫板演示，如圖3—圖10.學生思考有什么發現？

設計意圖?檢驗學生對所學知識的掌握情況，思考題的設置是想讓學生學會舉一反三，知道已知角終邊上一點的坐標，不借助單位圓，也能求出對應的三角函數值.

總之，在授課之前，應該清楚學生已有的知識結構，在上課時，既要以學生已有的知識經驗為“生長點”來講授新知識，又要講清新舊知識間的聯系與區別，并提供腳手架幫助學生主動建構新知，完善知識體系.這樣才能提高課堂教學效率，達到預期的教學效果.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準[M].人民教育出版社，2017.

[2]王佩，趙思林.基于問題驅動的數學教學設計——以“任意角的三角函數”為例[J].中學數學月刊，2017（10）：30-34.