3.2.2函數模型的應用實例(第二課時)說課稿

孔志文 王文英

各位老師們：

大家好！我是北京市朝陽外國語學校的數學教師孔志文.很高興能有機會參加這次教學研討活動，向各位老師們學習.

我說課的題目是《函數模型的應用實例》.下面我將從教學背景說明、教學內容分析、學習者分析、教學目標及重難點、教學過程設計、教學特點及反思這六個方面對本節課進行說明.

1 教學背景說明

1.1 指導思想

《普通高中數學課程標準（2017）》提出，通過數學建模學習，“學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學和現實世界的關聯，學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗.”可見，數學建模在高中數學課程中的地位和作用.

1.2 理論依據

荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾認為：“數學教學方法的核心是學生的‘再創造.”將現代信息技術應用于數學教學之中，讓學生置身于“數學實驗室”，可為學生創設“再創造”的數學實驗和探究的環境，促進學生積極探索數學問題，主動建構數學模型.

2 教學內容說明

《函數模型的應用實例》選自普通高中課程標準實驗教科書人教A版必修1中的第3.2.2節.函數模型的應用是中學數學的重要內容之一，對于發展學生的數學建模核心素養有著重要的意義.它主要包含三個方面的內容：利用給定的函數模型解決實際問題，建立確定性函數模型解決問題和建立擬合函數模型解決實際問題.本節課的主要內容為建立擬合函數模型解決實際問題.

3 學習者分析

學生已經學習了函數的圖象和性質，理解了函數的圖象與性質之間的關系，尤其是學習了3.2.1幾類不同的函數增長模型，對利用函數模型解決實際問題有一定的了解.授課班級學生有過用幾何畫板研究簡單基本函數的經歷，但不夠熟練，學生有著較強的數學學習興趣.學生對統計數表和散點圖的處理缺乏有效手段，對擬合函數認可度不夠，這些都給學生選擇合適的模型造成一定的困難.

為了更好地了解任教班級學生的學習情況，我擬定了2個試題（詳細情況請參看附件），用以了解學生對常見函數的熟練程度及求解能力.

通過對課前調查第1題（求二次函數解析式，見附件），發現所有學生（30人）能夠運用待定系數法求解二次函數的解析式.

通過對課前調查第2題（求類指數函數解析式，見附件），發現大多數學生能夠正確求解類指數函數的解析式.

根據教學內容分析和學習者分析，我確定本節課的教學重點和難點如下：

教學重點：建立合適的擬合函數模型解決問題.

教學難點：建立、選擇合適的函數模型.

4 教學目標

根據課程標準，基于上述分析.我確定本節課教學目標如下：

（1）通過數學建模活動，了解數學建模的一般過程，會建立確定性函數模型;

（2）借助信息技術，利用數據畫出函數圖象，探究出合適的擬合函數模型;在建立模型的過程中，掌握建模解決實際問題的基本思路和方法，體會數形結合、特殊與一般、函數與方程等數學思想;

（3）學生經歷探究函數模型，體驗合作探究的樂趣，體驗函數是描述變化規律的基本數學模型，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，增強數學應用意識.

5 教學過程設計

為了達成上述教學目標，在具體教學中，我把這次課分為以下五個階段：

下面對每個階段教學中希望解決的問題和教學步驟作出說明：

5.1 創設情境

這個階段學生需要理解實際問題，并將實際問題數學化，即通過閱讀、理解題意，能知道以身高為自變量、體重為因變量進行研究.對于學生來說，此背景很容易理解，不需要教師過多解釋.

問題：某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如下表.

（1）根據上表提供的數據，能否建立恰當的函數模型，使它能比較近似地反映這個地區未成年男性體重ykg與身高xcm的函數關系？試寫出這個函數模型的解析式.

（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

活動意圖說明 以學生熟悉的問題出發創設情境，引起學生的學習興趣.5.2 小組合作建模

本節課在計算機房分組合作學習，每個組員都需要清楚自己的任務，在任務驅動下，大家才能緊張有序地進行學習，否則，在機房學習很容易浪費時間.因此，我設計了活動1，保證學生能高效進行探究活動.

活動1 明確小組任務.

①根據表中的數據各組員獨立地找到男性體重和身高的函數關系;

②小組每個成員把自己得到的函數關系和同組同學的函數關系比較，是不是同一類函數？如果是同一類函數，函數解析式是否相同？

③如果是同一類函數，為什么不是同一個函數解析式，請通過討論說服本組其他同學？如果不是同一類函數，可以嗎？給出理由;

④請各組派一個成員代表本組闡述本組想法、做法.

活動意圖說明 合作學習首先要做的就是讓全體成員明確在本小組的任務是什么，每個成員將自己探究出的函數模型和本組其他成員比較，分析產生不同的原因.通過討論、交流找到模型不一樣的原因，這個環節指向模型的選擇、建立及檢驗.

各組學生明確自己的任務后，就得開始建立模型了.由于部分學生使用幾何畫板不熟練，并且沒有用幾何畫板作散點圖的經歷，為了幫助全體同學掌握畫散點圖的技能，我設置了活動2，目的是讓每一個同學都會畫散點圖.

活動2 請同學們在平面直角坐標系中畫出散點圖.

活動意圖說明 將表格數據變成點，這是研究函數的第一步;通過本活動，學生感悟到畫散點圖是研究函數的基本手段之一，是研究函數的常用方法.學生經歷這個過程，充分體驗數形結合思想在研究函數問題中的作用，也為進一步選擇函數模型作鋪墊.

教師在巡視過程中，適時給不會用幾何畫板畫散點圖的同學給予點撥之后引導學生進入活動3，選擇函數模型并初步求解.

活動3 根據上面的散點圖，你認為我們學過的哪一類函數的圖象與之比較接近，并求出其解析式.

根據散點圖的走向，結合學生自己的學習經驗，容易判斷出函數可能是指數函數也可能是二次函數.可能的結果如下：

活動意圖說明 根據散點圖的趨勢，從學過的函數中選擇適合的函數模型，然后通過待定系數法求解，學生對不同函數的熟練程度，選擇的函數模型不一樣.

5.3 匯報、交流、檢驗模型

本節課的教學重點、難點需要在這個階段突破.通過各個小組代表的交流、討論、生生評價、教師點評，學生掌握建立、求解函數模型的方法及檢驗模型優劣的方法.由于任務1中要求同組學生取得統一結果，各組代表就可以將本組統一結果和全班同學交流，即活動4.

活動4 請各組派一個組員將本組求出的函數圖象與散點圖在同一個坐標系中做出來，并判斷求出的函數是否滿足題意？

各組可能的結果如下：

活動意圖說明 根據散點圖的趨勢，學生會選擇不同類型的函數模型，通過待定系數法求出相應的解析式，作出擬合函數圖象，根據擬合效果，讓組內和不同組學生進行評價.通過師生評價、生生評價，同學們逐步認識到數學模型的多樣性，而非唯一，只要保證散點圖均勻分布在求出的函數圖象兩側即可.

在此活動中，學生不僅交流自己組的函數模型（結果），也會交流函數是如何得到的？比如，二次函數，先選擇其中3個點，然后用待定系數法求解（見上），學生都能感受到求解過程中計算量較大（事實上，在數學建模過程計算量都會較大，因此借助軟件計算或者計算器計算就顯得非常必要），然后將求得的函數圖象與散點圖進行比較.

學生在完成任務1的過程中，還會產生這么個問題？同組同學選用的不是同類函數，該如何選擇呢？

活動5 本小組中擬合函數是同類型函數，但解析式不同的，請分別在不同坐標系中作出求得的擬合函數圖象，并討論哪個擬合函數更好？應用求得的函數解析式，解決問題.

預設：在本活動中，學生可能會想到類指數函數，通過對函數圖象擬合、討論、比較，學生養成檢驗模型的意識.

活動意圖說明 選定了函數的類型，選擇的點不一樣，求出來的解可能是不同的，擬合效果也大不相同，這不借助信息技術是很難作出判斷的.這是檢驗模型是否滿足條件的難點，也是數學建模的重要環節.本節課只要求學生能做出感性判斷（散點均勻分布在所求函數兩側）即可，要增強模型優化意識.

至此，學生經歷了建立擬合函數模型的全過程：畫散點圖、選擇模型、求解模型、檢驗模型，同時深刻體會到計算機的不可或缺作用.

5.4 歸納、提升

為了進一步幫助學生掌握數學建模的過程、培養學生的概括和語言表達能力，我在課堂小結設置了2個問題，其中問題2是引發學生思考，學習方式的變化引起的問題解決方式的變化：合作討論解決問題、實驗解決問題等等.

活動6 通過本節課的學習請回答以下2個問題：

（1）請你談談自己經歷的數學建模過程;

（2）在數學建模的過程中，你遇到了什么困難？如何解決的？

活動意圖說明 學生通過回顧本節課所學經歷的合作過程以及研究方法，有利于學生系統地了解數學建模的基本過程，對擬合函數模型有了更清晰的理解.學生回顧利用幾何畫板作出擬合函數的圖象，觀察散點在圖象的分布情況，從而選擇合適的模型，深刻體會信息技術在建模中的應用.

5.5 課后實踐

請各小組通過網絡找到我國2005—2014年的國內生產總值，并將其列表.然后依據表格數據建立數學模型預測2015年的國內生產總值.

6 教學特點及反思

6.1 教學特點

1.教師設置活動，學生經歷畫散點圖、選擇模型、求解模型、檢驗模型等過程，置身于“數學實驗室”，主動建構數學模型，積累數學活動經驗.

2.本節課以幾何畫板為工具，借助網絡進行交流、展示，學生深度參與，本節課為發展學生數學建模素養開了一扇門.

3.發展性評價.數學建模核心素養不是一節課就能培養出來的，而是經過多年的學習實踐積累起來的，因此在課堂上對同學的點滴成功及時給予肯定，鼓勵他們通過信息手段、同組討論、實驗等方式解決遇到的困難.

6.2 反思不足

本節課一定有不少值得改進的地方，比如素材中的數據可由學生們自己來收集、整理，因為本節課在網絡環境下這還是比較容易實現的，這樣更真實體現數學建模的完整過程：收集數據、畫散點圖、選擇模型、求解模型、檢驗模型.其次，學生在選擇3點用待定系數法求二次函數時，由于數據的真實性，相關參數求解花費時間較多，是不是可以考慮在上本課前，給學生培訓MATLAB的簡單應用，這樣能節省一些時間.

以上就是我的說課內容，不足之處，懇請各位老師批評、指正.謝謝！