小學數學“數形結合”思想方法的靈活妙用

涂倩

摘 要：數和形是數學的兩個基本概念，全部數學大體上就是圍繞這兩個概念的提煉、演變、發展而逐步展開的。而數形結合就是把抽象難懂的數學語言、數量關系與直觀形象的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使相對的復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。

關鍵詞：數 形 數形結合

一、以形助數

根據數學問題中“數”的結構，構造出與之相應的集合圖形，并利用幾何圖形的特征，規律來研究解決問題，這樣可以化抽象為直觀，易于顯露出問題的內在聯系，同時借助幾何直觀審題，還可以避免一些復雜的數字討論。在這里我們暫且稱之它為“以形助數”， “以形助數”其實指在我們數學學習的過程中，經常會有抽象的數學概念和復雜的數量關系，而我們往往可以借助圖形使之形象化、直觀化，把抽象的數學語言轉化為直觀的圖形，可避免繁雜的計算，獲得出奇制勝的解法，以便于我們對其進行分析和理解。 “以形助數” 中的“形”，或有形或無形。若有形，則可為圖表與模型，若無形，則可另行構造或聯想。因此“以形輔數”的途徑大體有三種：一是運用圖形；二是構造圖形；三是借助于代數式的幾何意義。而小學階段常用第一種或第二種，第三種則在高段中偶爾有出現。那么“以形助數”該如何運用到課堂中去呢？請看：

1.用圖形的直觀，幫助學生理解數量關系，提高教學效率

用數形結合策略表示題中量與量之關系，可以達到化繁為簡、化難為易的目的。“數形結合”可以借助簡單的圖形（如統計圖）、符號和文字所作的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。它是小學數學教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。 眾所周知，學生從形象思維向抽象思維發展，一般來說需要借助于直觀。例如：中年級學生學習“求比一個數的幾倍還多幾（少幾）”的應用題時，學生對“幾倍多幾”或“幾倍少幾”較難理解，為突破這個教學難點，我設計了右面的圖形：

結合圖形，讓學生說：有6個□，△的個數比□的3倍還多4個；也可以說：有6個□，△的個數比□的4倍少2個；

接著，出示下面的問題：

（1）□有6個，△比□的3倍多4個，△有多少個？

算式：6×3+4=22個

（2）□有6個，△比□的4倍少2個，△有多少個？

算式：6×4-2=22個

比較兩題的算法，都要分兩步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上或減去跟整倍相差的數。

這一段教材，一般的教法是：先教求比一個數的幾倍多幾的數，再教求比一個數的幾倍少幾的數，最后綜合練習。我把這兩個相關的內容結合起來一起教，并借助圖形的幫助，學生容易理解，比分開教還理解得清楚，學生的思維也更靈活。如自編應用題時，有的學生編了：“皮球的個數比足球的4倍少3個，也就是比足球的3倍多2個，足球有多少個？”這題編得富有創造性，這是用一般教法所不能達到的，如果沒有圖形的幫助，這樣的教學效果也是不可能達到的。

2.借助表象，發展學生的空間觀念，培養學生初步的邏輯思維能力

兒童的認識規律，一般來說是從直接感知到表象，再到形成科學概念的過程。表象介于感知和形成科學概念之間，抓住這中間環節，在幾何初步知識教學中，發展學生的空間觀念，培養初步的邏輯思維能力，具有十分重要意義。

接著，我還運用運動變化的思想進行教學，使學生的認識進一步深化，并進行辯證唯物主義觀點的啟蒙教育和發展空間觀念。出示靜態的等底等高的圓柱體和圓錐體，然后運用電教手段使它們變為動態。

（1）把圓錐的高升高到原來的3倍，圓柱不變。這時兩者之間的體積關系怎樣？

（2）把圓錐還原，而把圓柱升高到原來的3倍，這時，兩者的體積關系怎樣？

（3）把圓柱和圓錐的高同時升高到原來的3倍，它們的體積關系又怎樣？

這時，學生的思維非常活躍，想象也很豐富，回答同一問題，有各種不同的思路，有的同學先把升高了的圓錐想象為圓柱，那么這個想象中的圓柱體積是它左面的圓柱體積的3倍積一樣大。有的學生則想到，圓錐的高擴大到3倍，這3倍與原來圓錐的

除了想出圓柱高是原來的3倍，體積就是圓錐的9倍外，有的學生把升高的圓柱看作3個圓柱，每個圓柱是右面圓錐的3倍，3個圓柱的體積共是9倍。學生多角度地靈活思考，大膽想象，對知識的理解逐步深化。

又如解決問題中，我們也往往會借助線段圖來理解題中的數量關系，從而來解決問題；再或者利用韋恩圖等表示出問題中的包含關系，使問題簡單化。如在解決問題中有這樣一題“某班有57人，報名參加數學活動社團的有30人，參加英語口語社團的有38人，兩項都沒有參加的有7人，那么同時參加數學活動和英語口語的有多少人？”解決這一題我們就可以很好地利用韋恩圖來表示此題中的數量關系。如下圖，從圖中我們可以清楚地看出，參加學生社團共57-7=50人，而參加英語口語和數學活動之和是30+38=68人，68比50多18人，而這18人正好就是參加兩項的人數，也正好是英語口語和數學活動兩者的交集部分，即同時參加了數學活動和英語口語兩項學生社團。

二、以數解形

有關圖形中往往蘊含著數量關系，特別是復雜的幾何形體可以用簡單的數量關系來表示。而我們也可以借助代數的運算，常常可以將幾何圖形化難為易，表示為簡單的數量關系（如算式等），以獲得更多的知識面，簡單地說就是“以數解形”。它往往借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，表示形的特征、形的求積計算等等，而有的老師在出示圖形時太過簡單，學生直接來觀察卻看不出個所以然，這時我們就需要給圖形賦予一定價值的問題。

三、數形結合，為建立函數思想打好基礎。

小學數學中雖然沒有學習函數，但還是慢慢的開始滲透函數的思想。為初中數學學習打好基礎，如確實位置中，用數對表示平面圖形上的點，點的平移引起了了數對的變化，而數對變化也對應了不同的點。此外，在六年二期學習的比例中，讓學生通過描點連線來表示正比例函數的圖象，發現成只要是正比例關系的式子，畫在坐標圖中是就一條直線。從而體會到圖形與函數之間密不可分的

關系。

總之，在小學數學教學中，數形結合能不失時機地為學生提供恰當的形象材料，可以將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學生順利地、高效率地學好數學知識，為學生今后的數學學習，甚至物理、化學等理科的學習打下堅實的基礎。