重視性質，提高解題效益

■寧夏銀川一中 周天佐

同學們在解題過程中，一般采用常規方法，即通法去解決。但有一些題目，如果用常規解法，有時運算量大，過程煩瑣，若沒有扎實的基礎很難做出。若能用性質或一些常用的結論去處理，不僅運算簡便得多，問題也很容易得到解決，尤其對一些選擇題、填空題，會收到事半功倍的效果。下面就一些性質或結論在解題中的應用進行分享。

一、函數中的應用

例1 已知函數f(x)=l n(1+|x|)—，則使得f(x)＞f(2x—1)成立的x的取值范圍是( )。

解析：由f(x)=l n(1+|x|)—，可知f(x)是偶函數，且在[0，+∞)上是增函數，所以f(x)＞f(2x—1)?f(|x|)＞故選A。

本題是考查函數性質的綜合題，是高考重點考查內容之一。若此題用其他方法去解，不僅運算量大，而且運算困難。若用偶函數的性質去解，則運算過程簡單，會有事半功倍的效果。

二、立體幾何中的應用

在立體幾何斜二測畫法中，原圖形的面積與其直觀圖的面積之間的關系有以下性質

例2 如果等邊三角形的邊長為1，那么它的平面直觀圖的面積為( )。

此題若利用斜二測畫法畫出直觀圖，再求面積，則比較麻煩，而用上述性質，則使解題變得容易。

三、三角函數中的應用

在三角函數中，函數y=Asin(ω x+φ)(A＞0，ω＞0)的性質：

(1)函數y=Asin(ω x+φ)為奇函數?φ=kπ(k∈Z)；函數y=Asin(ω x+φ)(φ≠0)為偶函數?φ=kπ+(k∈Z)；

(2)函數y=Ac o s(ω x+φ)(φ≠0)為奇函數?φ=kπ+(k∈Z)；函數y=Ac o s(ω x+φ)為偶函數?φ=kπ(k∈Z)。

例3 函數y=sin(2x+φ)的圖像沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數的圖像，則φ的一個可能取值為( )。

解析：將已知函數y=sin(2x+φ)的圖像沿x軸向左平移個單位后，得到函數y的圖像，由已知條件知它為偶函數，則+kπ，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z。故選B。

此題考查三角函數的圖像及其變化，若由偶函數f(x)=f(—x)代入去做，則會比較麻煩。

四、平面向量中的應用

在△A B C中，角A，B，C所對應的邊長分別為a，b，c，有以下重要結論：

例4 已知O，N，P三點在△A B C所在 的 平 面 內 ，則點O，N，P依次是△A B C的( )。

A.重心，外心，垂心

B.重心，外心，內心

C.外心，重心，垂心

D.外心，重心，內心

解析：由上面的結論知答案為C。

熟記一些重要性質和結論，并能靈活運用，對培養同學們的數學思維能力、分析問題和解決問題的能力，以及提高同學們的數學素養具有積極作用。

五、解析幾何中的應用

1.雙曲線中的應用。

例5(1)與雙曲線=1有共同的漸近線，且過點(—3，2)的雙曲線的標準方程是( )。

(2)雙曲線的一條漸近線方程為2x—3y=0，且過點(—，—2)的雙曲線方程是____。

解析：(1)設所求雙曲線方程為=λ(λ≠0)，又雙曲線過點(—3，2)，所以=λ(λ≠0)，解得λ=—2，故所求雙曲線方程是

(2)設所求雙曲線方程為4x2—9y2=λ(λ≠0)，又雙曲線過點(—，—2)，所以4·(—)2—9·(—2)2=λ(λ≠0)，解得λ=—1 2，故所求雙曲線方程是4x2—9y2=—1 2，即

本題是雙曲線標準方程和性質的題型，如果用分類代入去做，則不僅運算煩瑣，浪費時間，而且對解方程的要求比較高。

2.拋物線中的應用。

在拋物線中，過拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，則對于其他幾種拋物線仍然適用。

例6過拋物線y=4a x2(a＞0)的焦點F作一直線交拋物線于A，B兩點，若|A F|，|B F|的長分別是m，n，則( )。

解析：由已知(a＞0)，則2p=，所以故選A。

類似本文所給出的性質和結論在高中數學中還有很多，需要我們在學習過程中及時加以總結，并牢牢記住它們。同學們在學習過程中應有意識地對這類題進行訓練，這樣有助于提升同學們的數學思維能力，提高數學素養，從而激發同學們的求知欲，增強解題成就感，樹立學習數學的信心。