突擴式消力池R型水躍的長度特征分析

傅銘煥，梁維軍，陳炳斌，洪銀有，盧志男，張志昌

(1.浙江省水利水電勘測設計院，浙江 杭州 310002；2.浙江銘誠建設有限公司，浙江 紹興 312030；3.西安理工大學，陜西 西安 710048)

1 研究背景

自貝登(G.Bidone)1818年研究水躍現象以來，距今約有200年的歷史。水躍共軛水深關系作為水躍控制的重要參數，備受各家學者關注。但表征水躍特性的另一重要參數——水躍長度，卻由于水流的復雜性，其研究成果遠沒有共軛水深研究的深入與透徹。現階段水躍長度的研究成果多為各家學者提出的經驗或半經驗公式，關于水躍長度的理論研究還相對較少。

Rajaratnm[1]和Hughes[2]先后將水躍分為水躍旋滾長度Lr和水躍長度Lj，其中水躍旋滾長度是指水躍躍首斷面到水躍表面旋滾末端斷面之間的水平距離，而水躍長度是水躍躍首至躍后水深約等于尾水水深時兩斷面間的水平距離。文獻[3]收集了國內外43個水躍長度公式，按其躍后水深、躍前和躍后水深、躍前斷面的弗勞德數與躍前或躍后水深以及其他表示方法進行了分類，并明確了水躍長度與旋滾長度的關系。

突擴式消力池作為一種特殊消能工，常被布置于上下游渠道斷面寬度不一致的河床上，用以銜接上下游水流。發生于突擴式消力池內的水躍稱為突擴式水躍。突擴式水躍有別于一般二元水躍，是一種三元水躍。文獻[4]和文獻[5]根據突擴式水躍躍首斷面位置的不同，將其分為R型、S型和T型共3種水躍。

文獻[4]-[9]研究了S型水躍水躍區沿程斷面流速分布、水躍躍后水深、水躍長度及消能率的變化規律。其中文獻[9]通過建立水躍區水體質點的運動方程，研究突擴式消力池水躍躍長的變化規律，提出了突擴式消力池S型水躍躍長的半理論公式。

文獻[4]試驗研究了R型水躍躍后水深和水躍旋滾長度、水躍長度的變化規律。研究表明，R型水躍旋滾長度隨著擴散出流斷面弗勞德數的增大而增大，但由于旋滾長度變化的復雜性，其并未給出具體的計算公式。

由以上研究可以看出，突擴式消力池R型水躍的研究成果較少，雖有學者對其變化規律做了定性分析，但并未提出定量計算公式。作者旨在重新分析文獻[4]的試驗成果，得出R型水躍各特征長度的定量關系，為R型水躍突擴式消力池設計提供參考。

2 R型水躍參數

圖1為一突擴式消力池R型水躍簡圖。由圖1可知，下泄急流從較窄渠道突然出流擴散到較寬渠道時，主流沿渠道前進方向有一滑行段，該滑行段水流斷面水深沿程逐漸減小，即斷面水深從出流時的h0降到水躍躍前斷面水深h1，此時主流滑行的水平距離為L1。由于下游水深的頂托作用，下泄主流在較寬渠道內發生水躍，斷面水深相應從h1發展到躍后斷面水深h2，此時主流旋滾段長度為Lr。由于銜接渠道斷面的突然擴大，水流會在斷面突然擴大處附近形成部分回流，回流段水平長度L0見圖 1。圖中，b 為上游渠道寬度，B 為下游渠道寬度，v0、v1、v2分別為擴散出口斷面、躍前和躍后斷面的平均流速，ω為水流擴散角。

圖1 突擴式消力池R型水躍簡圖

3 回流段長度與水流擴散角

當消力池邊墻沿程向兩側擴散時，下泄水流就有可能擴散不佳，致使邊壁處產生回流。文獻[10]的試驗結果表明當邊墻擴散角為9°時，水流出現脫壁現象，在邊壁處有回流產生。文獻[4]試驗結果亦表明，突擴式消力池中（邊墻擴散角為90°），下泄水流流經突然擴大斷面時，水流會向兩側邊墻擴散并形成回流。文獻[4]給出了回流段水平長度L0的計算公式，即：

式中，Fr0為擴散出口斷面弗勞德數，2.21＜Fr0=v0/h0＜8.88；g為水流重力加速度。

由公式（1）可知，回流段水平長度L0是擴散出口斷面弗勞德數Fr0和消力池上下游斷面寬度差B-b的函數。筆者根據文獻[4]的試驗數據，對公式（1）的計算結果進行了驗證。結果表明，公式（1）計算的R型水躍回流段水平長度L0的平均誤差為4.62%，最大誤差為16.17%。

對公式（1）進行變形可得水流擴散角ω的計算式，即：

由公式（2）可知，水流擴散角ω是Fr0的函數，并隨著Fr0的增大而增大。

文獻[11]亦試驗研究了突擴式水躍水流擴散角ω的變化規律，提出的水流擴散角ω的計算公式為：

由公式（2）和公式（3）比較可知，文獻[4]和文獻[11]均認為水流擴散角ω為水流擴散出口斷面弗勞德數的函數，但公式（3）的系數略大于公式（2）的系數。分析認為，這是由于突擴式水躍在回流段紊動強烈，使施測者施測困難造成的。由于公式（3）并未給出具體的試驗突擴比及擴散出口斷面弗勞德數的變化范圍，故筆者建議使用公式（2）計算水流擴散角ω和回流段水平長度L0。

4 射流距離

同S型和T型水躍不同，R型水躍由于下游尾水水深相對較淺，下泄水流在流經擴散出口斷面后仍有一段急流滑行。在該滑行段內，水流斷面水深沿程逐漸減小，直到水躍躍前斷面平均水深，后水流發生水躍現象。此時主流滑行段的水平距離為L1（下文稱射流距離）。

文獻[4]分析了相對射流距離L1/（B-b）隨Fr0的變化規律，但其并未給出射流距離L1的具體計算公式。筆者重新整理分析文獻[4]的實測資料，得到射流距離L1新的變化規律如圖2所示。（文獻[4]試驗的消力池突擴比β=B/b分別為1.2、1.5、2、3和6共5種體形。由于文獻[4]在β=6時的試驗工況只有2組，且其與其余4種體形的突擴比變化跨度較大。為了更好的分析射流距離的變化規律，本文圖2中并未將只有2組工況的β=6體形列入討論。）

由圖 2可知，在突擴比 β=1.2～3，2.21＜Fr0＜8.88情況下，突擴式消力池R型水躍的相對射流長度L1/（B-b）與Fr0/β0.2近似呈線性分布，相對射流長度L1/（B-b）隨Fr0/β0.2的增大而增大。對圖2進行擬合可得射流長度L1的計算公式為：

公式（4）計算的最大誤差為17.72%，平均誤差為6.77%，在43組工況中，只有11組的計算誤差超過10%。可見公式（4）具有較高的計算精度。公式（4）的適用條件為突擴比，β=1.2～3，2.21＜Fr0＜8.88。

用公式（4）檢驗突擴比β=6時的2組試驗工況，計算的射流距離L1分別為61.61 cm和74.19 cm，與實際值71.12 cm和91.44 cm的誤差分別為-13.38%和-18.87%。由此可知，公式（4）雖由突擴比β=1.2～3的試驗工況得出，但其計算的大突擴比射流距離并未產生明顯的偏離，其對大突擴比R型水躍的適用性后續可進一步驗證。

圖2 射流距離的變化規律

5 水躍旋滾長度

由圖1可知，突擴式消力池R型水躍有別于S型水躍和T型水躍，其躍前斷面明顯遠離擴散出口斷面，R型水躍的整個水躍旋滾段位于擴散后的渠道內。但同一般二元水躍不同，R型水躍回流末端后由于水流反射、沖擊波等影響，R型水躍躍前斷面在兩側邊墻附近仍會受到額外的紊動作用力。

1990年，Hager[12]等給出了水躍旋滾長度的公式為：

式中，躍前斷面弗勞德數Fr1=2.5～8。

本文忽略R型水躍回流末端后水流的反射、沖擊波作用，根據文獻[4]的試驗工況并結合公式（5）探討突擴式消力池R型水躍旋滾長度計算的可行性。

文獻[3]收錄了43個計算水躍長度和水躍旋滾長度公式，并對其進行了分析。分析結果表明，美國墾務局[13]給出的水躍長度公式，即Lj=6.1h2計算的水躍長度比較準確。文獻[3]通過分析，發現在弗勞德數為1.82～7.67時，水躍長度是水躍旋滾長度的1.973～1.614倍。

由上述結論可知，一般二元水躍的水躍旋滾長度約大于躍后水深的3倍。筆者分析文獻[4]的水躍旋滾長度發現，其施測的部分水躍旋滾長度嚴重偏小。分析認為，這可能是由于突擴式消力池R型水躍的強烈紊動給施測者施測帶來困難造成的。為了更好分析R型水躍旋滾長度的變化規律，同時考慮突擴式消力池R型水躍的特殊性，篩除旋滾長度與躍后水深之比小于2.5的試驗工況，對文獻[4]中的水躍旋滾長度重新進行分析。文獻[4]的具體試驗參數與實測結果詳見表1。文獻[4]試驗研究的突擴比分別為1.2、1.5、2、3、6五種消力池體形共45組工況，篩除旋滾長度與躍后水深之比小于2.5及突擴比為6時的2組工況后剩余37組工況。本文用擴散斷面弗勞德數代替躍前斷面弗勞德數，用公式（5）反算得到的躍前斷面水深h1見表1。同時，表中還列出了衰減系數ζ=h1/h0的實測值。

圖3 衰減系數ζ的變化規律

筆者對衰減系數ζ進行分析，分析結果見圖3。由圖3可知，衰減系數ζ是消力池突擴比、躍后斷面水深與擴散斷面水深之比的函數。對其擬合可得：

另躍后斷面水深與擴散斷面水深之比為η'，則公式（6）變形為：

公式（7）計算的衰減系數ζ值見表1。根據公式（7），即可求得R型水躍躍前斷面水深h1為：

將公式（8）帶入公式（5），可得R型水躍旋滾長度的計算公式為：

由公式（9）可知，R型水躍旋滾長度隨Fr0和h0的增大而增大，隨β和η'的增大而減小。由于公式（9）在推導過程中忽略了R型水躍回流末端后水流反射、沖擊波等的影響，并且用擴散出流斷面Fr0代替原公式（5）中的躍前斷面弗勞德數Fr1。故公式（9）計算的R型水躍旋滾長度需進行修正。另修正系數為公式（9）計算值 Lr'與文獻[4]實測值 Lr[4]的比值，即 ξ=Lr'/Lr[4]。用文獻[4]上下游資料計算的修正系數ξ見圖4，對圖4進行擬合可得：

圖4 修正系數的變化規律

故修正后的突擴式消力池R型水躍旋滾長度，即：

公式（11）的適用條件為突擴比 β=1.2～3，2.21＜Fr0＜8.88。

表1 文獻[4]試驗參數表

公式（11）計算的37組R型水躍旋滾長度只有一組誤差超過20%，最大誤差為20.37%，平均誤差為10.25%，計算結果見表1。表1中還列出了用公式（11）計算的另6組（即6組旋滾長度與躍后水深之比小于2.5的工況）試驗工況值計算值，43組R型水躍旋滾長度的平均誤差為14.46%。由此可知，根據公式（5）探討突擴式消力池R型水躍旋滾長度計算的可行性。

6 結語

本文通過文獻[4]的實測資料，分析與研究了突擴式消力池R型水躍主要特征長度——回流擴散段水平長度、射流長度及旋滾長度的變化規律。研究發現，R型水躍邊墻擴散角是出流斷面弗勞德數的函數，文獻[4]提出的回流擴散段水平長度公式具有較好的計算精度。相對射流長度L1(B-b)隨Fr0/β0.2的增大而增大，筆者提出的射流長度公式計算的平均誤差為6.77%。定義了表征躍前斷面水深和擴散出流斷面水深關系的衰減系數概念，分析發現衰減系數ζ是消力池突擴比、躍后斷面水深與擴散斷面水深之比的函數。給出了R型水躍旋滾長度的計算公式，該公式計算的平均誤差為10.25%。