試談高觀點視角下的小學數學教學

周衛東

[摘 要]高觀點的視角，即站在學科結構和學生認知結構的寬度，立在知識性與思想性相統一的高度，處在知識抽象性、概括性、包容性等的厚度，使知識呈現高低度、縱深度與寬窄度有機地構成的三維結構。通過大概念統領、思想性包攝、結構化關聯，促使小學數學教學呈現一派新的景象與新的生機。

[關鍵詞]高觀點;大概念統領;思想性包攝;結構化關聯

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）08-0001-02

德國著名數學家、數學教育家克萊因倡導“高觀點”，即從高等數學的角度來審視初等數學。高觀點給初等數學的教學帶來了生機與活力。藉此意蘊，我認為，所謂“高”者，即不一般、優于常態也，高觀點視角下的數學教學，可以從內容的縱深維度遷移到內容的寬窄維度，推及到思想的高低維度等。

傳統小學數學教學有著太多的疵議，比如，“只見樹木，不見森林”，教學中就題論題、就事論事，只看到單一的知識點而不及其他;比如，“只見皮囊，不見靈魂”，只重視知識、技能等知識“硬件”，對隱含在知識內部的“軟件”無知覺，使數學教學呈現“癱”著的狀態而“立”不起來;比如，“只重當下，不念過往”，表現在教學中就是“斬頭去尾燒中段”，只對眼前的教學負責，對知識“從哪里來”“往何處去”不關注也不思考。

美麗的風景在遠方，在深處，在高點。數學教學呼喚一種新的視角、新的境界，迫切需要一種新的教學理念來引領。而高觀點的視角，可以站在學科結構和學生認知結構的寬度，立在知識性與思想性相統一的高度，處在知識抽象性、概括性、包容性等的寬度，使知識呈現高低度、縱深度與寬窄度有機地構成的三維結構（如圖1），使小學數學教學呈現一派新的景象與新的生機。

一、大概念統領

高觀點視角下的小學數學教學首先體現為大概念統領。

大概念是美國教育心理學家奧蘇伯爾所說的上位知識，它位于學科知識金字塔的頂端，其抽象性、概括性、包容性最高，解釋力最強。借用生物學術語來說，大概念就是學科知識體系的內核，它內含遺傳密碼，最具再生力、生發力和預示力，是最具活性和繁殖性最強的一種知識類型，是其他知識得以生發與依附的主根。從學生學習的角度來看，大概念是一個綱，綱舉目張;是一個組織者，整合所學的知識;是一根紅線，把知識串起來。如果說學科知識體系是“鷹架”式結構，那么，大概念就是撐起這一“鷹架”的支點，抓住了大概念，學科的其他知識和相應的學習活動就可以被提起來。可以說，大概念是整個學科學習活動的連心鎖，是賦予學習活動整體性的關鍵。

比如，“用字母表示數”就是一個大概念。它是代數學習的起始階段和重要環節，理解用字母表示數的意義是運用代數式、方程、正反比例等進行交流的前提條件，是形成符號意識和代數思維的關鍵，可以用圖2表示。

通過該內容的學習，經歷由字母表示數、由日常語言表示數量關系到用符號語言表示數量關系的抽象過程，是學生數學思維發展的一次跨越，也是學生進一步學習代數知識乃至其他數學知識的重要基礎。

再比如，分數知識中的單位“1”也是一個大概念。對于“分數的意義”這一課，很多教師對單位“1”的理解往往局限于教材，從文本出發，依次呈現“一個物體”“一個計量單位”“多個物體”三種素材中具體分數的含義，然后進行統整：“無論是一個物體、多個物體，還是一個計量單位，都有一個共同的名稱，就叫單位‘1，通常用自然數‘1來表示。”這種“只見樹木，不見森林”式的教學，學生對單位“1”的理解不具有多少“生長性”。我們不妨換一個視角：出示6個同樣大小的正方形，并引發學生思考：“這些正方形該用什么數來表示呢？”學生展開想象，在充分的討論和爭辯中，形成“6個正方形可以用任何數來表示，關鍵看我們把多少個正方形看成‘1，‘1變了，這些正方形表示的數也就變了” 的共識，從而理解了單位“1”的本質：“整數就是單位‘1的疊加，有幾個單位‘1，就可以用整數幾來表示;如果不滿1個單位‘1，或者比幾個單位‘1還多一小部分時，就用分數來表示。”這樣，單位“1”就跳出了一般性定義，成為一個被比的標準，像一把“尺子”，在“度量意義”的視角下被賦予更深層的含義，充分體現了分數的重要內涵，即它的無量綱性。

二、思想性包攝

高觀點視角下的小學數學教學應該能看到知識深層的思想方法。

學科思想是學科知識中的“隱性內容”，是學科專家提出的對學科發展和學科學習最具影響力的那些觀念和見解，是知識“背后”的知識，是學科的精髓與靈魂。它是學科思維的“軟件”，基于學科知識，又高于學科知識，與學科知識具有不可分割的辯證關系。因此，如何引導學生一起去找尋和發現學習中蘊含的數學思想、新的思維方法是數學教學所面臨的最大挑戰，因為如果內容選不準，不僅會浪費師生寶貴的學習時間，而且會錯失和貽誤學生智慧生長的“黃金期”。

首先，從整體上構建教材中所蘊含的數學思想的立體框架。比如蘇教版教材“三位數乘兩位數”這一課，如果“就事論事”進行淺表性分析，似乎很難看出其中的思想內核，但若能走進教材的深處，就可以數學思想為紐帶串起整節課：在復習了“兩位數乘兩位數”的計算后，讓學生直接嘗試“三位數乘兩位數”的算式并講明道理，然后引發學生思考：“老師翻看了后面的教材，在四年級學完了三位數乘兩位數之后，不再有四位數乘兩位數或三位數乘三位數了，這是為什么？”通過這樣的問題讓學生明白，所有多位數的乘法都遵循一種運算思想，那就是“先分后合”，無論運算步數如何變化，其中的思想原理是不變的。

其次，讓數學思想有機融合在數學知識的形成過程中。比如，人教版教材一年級上冊第110頁的習題：

雖然這些題目只是要求學生在空格中填進一個合適的數，但教師應該明白，若把□換成x，則上面的題目就變成了不等式，這時x就是一個變元符號，就會有一定的取值范圍，這一個“位置占有者”的作用就會凸顯。例如，引導學生思考問題：“□內最大能填幾？最小呢？最多能填幾個數？”同樣，在此基礎上還應進一步深化：“□+○[<]7，可以填些什么數？”這樣的處理，能更好地滲透“符號變元”這一數學思想。

三、結構化關聯

高觀點視角下的小學數學教學還應該能看到知識內在的結構。

學科之所以為學科，而不是簡單概念與知識要點的堆砌，其中非常重要的原因就在于學科知識之間存在著不可割裂的內在聯系。

所謂結構，簡單地說，就是事物之間的聯系，它表現為組織形式和構成秩序。從靜態看，學科知識應該形成經緯交織、融會貫通的立體網絡。從動態看，學科知識應該形成一個自我再生力非常強大的開放系統，以充分挖掘學科知識結構區別于科學知識結構的特有的功能。為此，教師必須合理設計教學，使教學前后內容互相補充、自然推演，編織一個具有生命力的、處于運動中的思維網絡，引導學生深刻領會各個概念的實質，掌握蘊含在各個概念相互關系中的思維模式。

比如，乘法的三個運算律（乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律）之間是有內在關聯的，其本質是一致的，都是乘法意義的外在呈現。因此，教學“乘法分配律”時，有教師通過一張點子圖（如圖3）巧妙地將這三個運算律進行了統整：讓學生在點子圖上把“4×6=6×4”“4×3×2=4×（3×2）”“（5+1）×4=5×4+1×4”三道算式的運算過程表示出來，然后通過對比發現“無論是乘法交換律、乘法結合律還是乘法分配律，都求的是‘幾個幾是多少，都是根據乘法的意義衍生出來的”。

再比如，“空間與圖形”領域中“圖形與位置”的相關內容主要包括：（1）二年級用“第幾排第幾個”等方式描述物體的位置;（2）五年級用“數對”表示方格圖上點的位置;（3）六年級用“方向和距離”表示平面圖上點的位置。這三個內容雖然處于不同的教學層次，但內在的數學本質是一致的，即都與“方向”“距離”這兩個要素密切相關。因而，教學“用數對確定位置”時，教師不僅應該看到它的“今生”，還該看到它的“前世”與“后世”，即“它從哪里來”“將往哪里去”。為此，我創設了“小鴨在哪里”的教學情境，通過一維的“小鴨是怎么走的”的回憶，勾勒出全課的基調，即一個點的位置，既與方向有關，又跟“數”有關。在數對教學完畢時，再對知識的形成過程進行反溯，讓學生感受到，數對也是方向與距離的衍生物，只不過在數量上由一個變成了兩個（如圖4）。在課尾，通過“要是小鴨潛到了水里，該怎么確定它的位置呢？”的追問，聯結到三維空間里點的位置的確定，引導學生大膽想象，在學生朦朦朧朧的感覺中教學“戛然而止”。

此時，在學生的認知結構中，若隱若現留下的，是知識的全貌，是結構的雛形，更是朝向未來知識世界的美好。

（責編 金 鈴）