高觀點，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更多元

王小波

[摘 要]小學(xué)數(shù)學(xué)課堂在高觀點的引領(lǐng)下，擺脫了“只緣身在此山中”的禁錮。教師“居高臨下”地看待問題，能直擊數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、豐富數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，幫助學(xué)生加強知識間的聯(lián)系，建構(gòu)完善的知識體系。

[關(guān)鍵詞]高觀點;課堂教學(xué);多邊形的內(nèi)角和

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）08-0007-02

高觀點下的數(shù)學(xué)知識應(yīng)當(dāng)是豐富而全面的，是深刻而通透的，是經(jīng)緯交織而融會貫通的。高觀點下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)并不是讓教師再回頭去學(xué)習(xí)大學(xué)里的高等數(shù)學(xué)知識，用高等數(shù)學(xué)知識來解決小學(xué)數(shù)學(xué)問題，而是要求教師高屋建瓴地研究教材，探尋數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，從學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展的角度出發(fā)，把高觀點的數(shù)學(xué)思想方法滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生在高觀點的引導(dǎo)下真正成為課堂的主人。

一、廣：多元表征，豐富知識的內(nèi)涵

高觀點下的數(shù)學(xué)課堂經(jīng)常以興趣小組的形式呈現(xiàn)，重視學(xué)生的主體地位，把課堂交給學(xué)生，讓學(xué)生通過自主探索、深入交流而得出結(jié)論。

【教學(xué)片段1】

師：請回憶我們是怎樣研究三角形的內(nèi)角和的。

師：拿出一張五邊形的紙片，先想辦法求出它的內(nèi)角和，再在小組里交流。

生1（如圖1）：我是把五邊形每個角的度數(shù)測量出來再相加，結(jié)果是540°。但是經(jīng)過討論，我覺得這種方法有缺點，就是可能會有誤差。

生2（如圖2）：我嘗試了“撕拼法”，發(fā)現(xiàn)3個角拼在一起就已經(jīng)很接近一個周角了，還多出兩個角不懂怎么拼好。

生3：我試了折疊法也不行。

生4（如圖3）：這些方法都不太方便。我把五邊形分成了3個三角形，把3個三角形的內(nèi)角和相加就是五邊形的內(nèi)角和，即3×180°=540°。

師：想一想，他為什么要把五邊形分成三角形呢？

生5：為了把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的知識。

師：把未知轉(zhuǎn)化成已知，這是一種很好的學(xué)習(xí)策略。但是3個三角形一共有9個角呀，五邊形不是有5個角嗎？這9個角和那5個角一樣嗎？

生4：那是因為三角形的一些角拼在一起就是五邊形的角，3個三角形的角合起來就是五邊形的5個角。

師：看來，這個“分”很重要。誰能說說生4是怎么分的？

生6：從頂點來分的。

生7：我們小組討論時發(fā)現(xiàn)，可以從五邊形的中心找一點來把五邊形分成5個三角形。

生8：你們這樣處理還有一些多余的角。

生9：多余的角正好是一個周角——360°。

生7：是的，用5×180°-360°，結(jié)果也是540°。

（學(xué)生恍然大悟）

生10：那么，從五邊形邊上任意一點來分行不行呢？

師：為你的愛思考點贊！

生10（嘗試后）：這樣分也會產(chǎn)生多余的角，這些多余的角正好是一個平角——180°，則180°×4-180°=540°。

對于求多邊形的內(nèi)角和是將其轉(zhuǎn)化成三角形的方法，教材中只有從頂點出發(fā)來分這一種，而對于學(xué)生來說，既然要把五邊形分成三角形，方法肯定是多種多樣的，教師應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生足夠的空間，讓學(xué)生去研究和思考。如果只是滿足于教材，沒有高觀點的指引，學(xué)生得出探究的方法定然是片面的。只有激發(fā)學(xué)生盡情地去表達(dá)、去思考、去研究，久而久之，才能拓寬學(xué)生的思路，發(fā)散學(xué)生的思維。

二、透：追源溯流，探尋知識的本源

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，不僅講求“知其然”，還應(yīng)“知其所以然”。高觀點下的數(shù)學(xué)是要抓住問題的本質(zhì)，并將其加以延伸，促使學(xué)生深入探究知識背后的道理。

【教學(xué)片段2】

師：我們研究出了多邊形內(nèi)角和的公式是（邊數(shù)-2）×180°，這里的“邊數(shù)-2”是怎么來的呢？

生1：就是減去2條相鄰的邊。

生2：為什么要減去相鄰的邊呢？

師（出示圖4）：問得好！以五邊形為例，從頂點出發(fā)，就是要看分成了幾個三角形。5個頂點，需去掉與出發(fā)頂點相鄰的兩個頂點，從出發(fā)頂點向剩余的頂點（相對頂點）連線，分割線的條數(shù)總比分成的三角形的個數(shù)少1，因此多邊形的內(nèi)角和就是（邊數(shù)-3+1）×180°。

學(xué)生對公式中“邊數(shù)-2”是有疑問的，但也容易滿足于“就是減去相鄰2條邊”的解釋而不加深究，實際上，邊數(shù)和分成三角形的個數(shù)之間沒有直接的聯(lián)系，需要架上一座聯(lián)系二者的橋梁——分割線的條數(shù)，根據(jù)這三者之間的關(guān)系，推演出多邊形內(nèi)角和的公式，這恰恰就是在用高觀點來推演和證明：看似高高在上，實際上就是撥開了云霧，露出了知識的本源，加深了學(xué)生對這一知識的理解和認(rèn)識。

學(xué)生對于數(shù)學(xué)公式的認(rèn)識，不能只停留在背誦、記憶和運用上，應(yīng)該追根溯源，找到問題背后蘊含的道理，讓問題的研究更加深刻和通透。數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是“講道理”的課堂，數(shù)學(xué)道理就是數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。如果只是把知識灌輸給學(xué)生，而不去考慮學(xué)生在想什么、有什么困惑，那么學(xué)生會逐漸失去“講道理”的欲望，也會離知識的本質(zhì)越來越遠(yuǎn)。

三、融：深入淺出，完善知識的體系

基于高觀點的數(shù)學(xué)課堂，還需要對知識進行梳理、統(tǒng)整，把散落的知識點加以串聯(lián)，幫助學(xué)生構(gòu)建一個完整的知識體系。

【教學(xué)片段3】

師：這三種方法對應(yīng)了三個求多邊形內(nèi)角和的公式——（邊數(shù)-2）×180°，邊數(shù)×180°-360°，（邊數(shù)-1）×180°-180°。想一想，這三個公式之間有聯(lián)系嗎？

生1：如果用乘法分配律對它們進行轉(zhuǎn)化，三個公式其實就是一回事！

師（出示圖5）：把這三個公式放在圖中幫助理解，五邊形內(nèi)的這個點是可以在五邊形內(nèi)的任意位置，此時，內(nèi)角和公式是“邊數(shù)×180°-360°”。我們讓這個點“動起來”，當(dāng)它移動到五邊形的邊上時，就會少分割一個三角形，此時，內(nèi)角和公式是“（邊數(shù)-1）×180°-180°”。這個點移動到五邊形頂點時，就會又少分割1個三角形，此時，分割成的三角形的個數(shù)是最少的，內(nèi)角和公式是“（邊數(shù)-2）×180°”。

知識之間是有聯(lián)系的，用移動的小點來幫助學(xué)生進行“極限”思考，能使學(xué)生隱隱感覺到這是一個“從一般到特殊”的過程，再用乘法分配律把三個公式進行串聯(lián)，學(xué)生會在不知不覺中對這三個公式進行對比，進而形成完整的知識體系和結(jié)構(gòu)。高觀點引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)課堂正是要這般居高臨下而又深入淺出，才能使得學(xué)生的學(xué)習(xí)不是像“拾麥穗”，只是汲取星星點點的知識，而是像“滾雪球”，把知識不僅越滾越多，還越滾越實。高觀點下的數(shù)學(xué)課堂需要花費大量的時間和空間讓學(xué)生去討論，去探究知識背后的道理，去建立知識之間的聯(lián)系……但這樣的付出是有價值的，也許短時間不一定看到它的成效，但它是隱藏著的寶藏，即使深埋心底，等到綻放時也一定無比絢麗奪目。

（責(zé)編金 鈴）