高的不準確定義和科學教學法

杜才峰

[摘 要]為了符合小學生的認知水平，很多小學數學概念都是簡化過的。以“高”的定義為例，對教材給出的定義以及教師的教學進行分析論述，并給出可行的教學方法。

[關鍵詞]高;定義;科學;教學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）08-0020-02

數學概念必須是邏輯嚴謹的，文字表述也必須滴水不漏，但為了符合小學生的認知水平，很多小學數學概念都是簡化過的，直到初中才得到補充完善，但是，經過簡化的表述并不意味著就可以漏洞百出。

在一次教研活動中，有一節“三角形的認識”的展示課。在引導學生了解“高”時，授課教師是這樣設置情境的：有一只小蝸牛想從A點爬到BC邊上去，走哪條路線最近？

乍一看，帶有童話色彩的故事能讓學生瞬間產生濃厚興趣，而且沒有直接提出高的概念，而是將其放到垂線的總概念中，用另一種語言間接提出“點到直線之間垂直線段最短”，讓學生找出最短路線就是間接畫出高。返校后，筆者仔細回想了這節課，將前后細節仔細琢磨一番，發現其中存在不少問題。

一、小學教材里高線定義中的漏洞

如果是在銳角三角形、直角三角形中，高線就是頂點到對邊的垂線段，即是最短路線，這樣描述并無不妥，但是如果換成鈍角三角形，銳角頂點到對邊的高線在三角形外面，此時沿著高線只能到達對邊的延長線，無法抵達對邊，此時仍沿用這一說法就不可行。如果此時蝸牛還要爬到對邊上，最佳路線還是高線嗎？如果仍然沿著高線爬行，還能順利抵達對邊嗎？懷著諸多疑惑，筆者翻開課本。課本上對“高”的描述是這樣的：從三角形的一個頂點到它的對邊畫一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高。

所謂“對邊”，即是一條邊，邊有長度，應該是線段，但是也可能出現意外的情況：那就是從頂點出發作垂線，垂足不一定在線段上，也可能在線段所在的直線上，此時就超出了概念前半句題設部分默認的條件。眾所周知，鈍角三角形有兩條高在三角形外部。那教材為何這樣草率下結論？配套的教師用書給出這樣的解釋：需要注意鈍角三角形兩個銳角夾的高在對應邊的延長線上留下垂足，這種特殊情形對學生不作要求。既然小學不作要求，那么初中又是如何規定高線的呢？初中課本是這樣定義高的：從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高。

看到初中版的定義后，筆者茅塞頓開。因為，如果僅僅說從頂點出發向對邊畫高，會引起誤解——高線的垂足一定要落在對邊上，即使教師申明可以考慮“延長”，學生也會質疑：線段明明不能延長，怎么又延長？而初中的文本表述改為“所在的直線”一說，則把對邊的線段屬性擴充到直線，于是釋放出強烈的信號：高可以是在三角形外面。這樣“線段不能延長”的質疑也就不復存在。可見，小學課本中對三角形的高的定義是有漏洞的。

二、借已有認知經驗學習“高”

學生在接觸三角形的高之前，已經掌握了“在所有連接點到直線的線段中，垂線段最短”“平行線之間夾的垂線段處處等長”“平行四邊形兩對邊所夾的任意一條垂線段都可視為平行四邊形的高”等推論，利用這些推論已經可以很好地詮釋三角形的高。

[教學方法1]

1.過已知直線BC外一點A作該直線的垂線，垂足為D。

2.過已知直線BC外一點A作該直線的平行線。

3.在已知直線上取兩點B、C，連接AB，AC。

4.在直線BC的平行線上移動點A至A[′]，連接A[′]B和A[′]C，使A[′]B正好垂直于直線BC，此時，[△]A[′]BC為直角三角形，BC邊上的高恰好就是直角邊A[′]B。

5.繼續移動點A[′]到A[″]，連接A[″]B和A[″]C，使∠A[″]BC為鈍角，那么△A[″]BC為鈍角三角形，此時BC邊上的高是點A[″]到線段BC所在直線的垂線段。

通過移動頂點，學生直觀認識到三角形的高的本質就是點到直線的一條垂線段。

三角形的高，通俗講就是三角形立起的高度，只是“高度”這個形象的生活語言到數學里就變得很專業。基于這種認識，不妨將三角形的高與生活中物體直立的高度關聯起來，將人體身高作為揭示三角形“髙”的表象支撐。三角形的高與人體高度有著本質的相同：兩者都可看成制高點到水平線的鉛錘距離。基于這一相同點，可以利用人體身高實現知識的正遷移。

[教學方法2]

1.回想生活經驗，重新認識“高度”。

比較兩位同學的身高，談一談比身高時的注意事項。

2.將三角形的高比擬成人的身高，樹立三角形的高的生活形象。

（1）△ABC與△EFG一較高低，△EFG覺得自己與△ABC一樣高，△ABC堅決抗訴，要求對齊頂點再來比較。

（2）于是，△EFG踮起腳尖，讓自己的頭頂和△ABC的頭頂齊平，這時△ABC發表聲明，高必須是頂點到底邊的垂線段，不是其他線段。

[頂點][底][高]

（3）如果是從頂點到底邊，無論三角形怎么站位，都能準確找到它的高。

三、借助物理科學現象理解“高”

“自由落體”是一種物理現象，其運算公式又含有數學定理，其垂落的路線是豎直向下的。利用這一物理現象，也可以幫助學生理解三角形的高。

[教學方法3]

1.觀察自由落體實驗現象，試著描述物體自由落地有什么特點。

2.如果把三角形底邊看成水平地面，把頂點看成落點，那么物體下落后的軌線是怎樣的？

3.分析鈍角三角形中銳角所夾的高線處于三角形什么位置。

4.概括三角形的高的定義。

鈍角三角形兩銳角所夾的高，雖然課本不作要求，但是計算三角形面積時不可避免，再者，只要講解得法，學生完全可以理解。因此，筆者強烈建議，在定義三角形的高線時，將“對邊”的表述換成“對邊所在的直線”更科學嚴謹。

（責編 金 鈴）