一道數(shù)學(xué)題爭(zhēng)辯引發(fā)的思考

杜麗彬

[摘 要]真理都是在爭(zhēng)辯中產(chǎn)生的，真相越辯越明。在數(shù)學(xué)中，即便是一些看似幼稚可笑的問題，只要揪住疑點(diǎn)不放，展開辯論，總可以從各方的辯詞中發(fā)現(xiàn)一些有價(jià)值的線索，沿著這些線索，往往可以發(fā)現(xiàn)重大價(jià)值。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)題;爭(zhēng)辯;思考

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）08-0027-02

前陣子，筆者參加了一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)研討活動(dòng)，在小組研討環(huán)節(jié)，一位教師展示了一道期中考題，并在活動(dòng)研訓(xùn)中征集解題的意見。這道題是這樣的：

閱卷時(shí)，教師在第（1）問的解法選擇上出現(xiàn)嚴(yán)重分歧，有的教師覺得，這臺(tái)車從A地行至C地總耗時(shí)為4小時(shí)，速度應(yīng)為：160[÷4=40]（千米/時(shí)）;有的教師持反對(duì)意見，認(rèn)為小轎車半路駐車1小時(shí)，沒有做有用功，也沒有增加里程，這1小時(shí)不應(yīng)算入總時(shí)長(zhǎng)，于是，行駛時(shí)間應(yīng)該扣減1小時(shí)，速度應(yīng)為：160[÷]3=53[13]（千米/時(shí)）;還有的教師中和雙方意見，提出折中處理法：如果駐車時(shí)間短就應(yīng)算在內(nèi)，如果駐車時(shí)間長(zhǎng)則忽略不計(jì)。各方堅(jiān)持己見，互不相讓，幾場(chǎng)論戰(zhàn)下來，都找不出令眾人信服的處理方案。

一、關(guān)于這道題的爭(zhēng)議

這道題主要是讓學(xué)生聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活情境，整理分析出各個(gè)數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，從而正確解題。上述爭(zhēng)議題正好是相關(guān)內(nèi)容的應(yīng)用和延伸。學(xué)生觀察示意圖可知，小轎車從A地行至C地耗時(shí)4小時(shí)，半路駐車1小時(shí)，抵達(dá)C地后，就地熄火停車2小時(shí)，然后啟動(dòng)折返，耗時(shí)2小時(shí)。如果學(xué)生能夠準(zhǔn)確地描述出上述行車情況，則說明教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)完成。

對(duì)于第（2）問求解“這臺(tái)國產(chǎn)小轎車返程的平均速度”，教師的觀點(diǎn)出奇的一致，即160[÷]（8-6）=80（千米/時(shí)）。教師始終對(duì)前進(jìn)時(shí)途中駐車的1小時(shí)耿耿于懷，到底是算還是不算？這個(gè)問題一直盤踞在教師心中。

二、對(duì)爭(zhēng)議問題中“1小時(shí)”的思考

筆者認(rèn)為，向前進(jìn)發(fā)時(shí)中途停駐的“1小時(shí)”不應(yīng)算在行車時(shí)間內(nèi)。

理由如下：

題目中要求解的是這臺(tái)國產(chǎn)小轎車的平均速度，行車平均速度=駕車總行程[÷]行車時(shí)長(zhǎng)。速度的物理意義是物體在單位時(shí)間內(nèi)通過的路程，如果物體靜止不動(dòng)，沒有發(fā)生移動(dòng)，也就沒有路程，則可認(rèn)為沒有速度，也就是速度為0。小轎車在半路停滯不前，這段時(shí)間轎車的路程為0，換言之，小轎車在這個(gè)時(shí)段內(nèi)沒有前移，那么在這段時(shí)間內(nèi)轎車處于靜止?fàn)顟B(tài)，也就沒有速度，對(duì)此中途停駐的“1小時(shí)”應(yīng)除外。

這是一個(gè)不值得爭(zhēng)辯的“口水問題”。一位基礎(chǔ)教育專家說過：“在當(dāng)今的數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些‘口水問題大量存在，這些毫無價(jià)值的問題會(huì)引發(fā)一定范圍內(nèi)的大辯論，而這些辯論幾乎都是白費(fèi)口舌，是一些上不了臺(tái)面的口水仗?！鄙项}中求轎車從A地行至C地的平均速度，就屬于一個(gè)“口水問題”。出題者的初衷是想把“看圖找關(guān)系”與計(jì)算平均速度糅合到一起，但由于設(shè)計(jì)得不周密，造成學(xué)生理解出現(xiàn)障礙，這是某些圖文題設(shè)計(jì)的通病，看似別致有趣，充滿新意，實(shí)則給學(xué)生準(zhǔn)確捕捉圖形信息制造困難。其實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是理解基礎(chǔ)概念，滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法。在出題時(shí)，教師應(yīng)該著重彰顯問題的實(shí)質(zhì)內(nèi)容。

北師大版教材六年級(jí)上冊(cè)總復(fù)習(xí)中有一道同類型題，教材的處理就非常巧妙，提問平均速度時(shí)，避開停船時(shí)間，提問行駛情況時(shí)，涉及停船時(shí)間，既實(shí)現(xiàn)了練習(xí)的目標(biāo)，問題的提法又能直中要害，指向性強(qiáng)，為教師命題提供了很好的范本。題目如下：

12.下面是某艘游艇某日航行路程統(tǒng)計(jì)圖。問：

三、爭(zhēng)論后的反思

某道試題激起了業(yè)內(nèi)的軒然大波，問題本身可能不值一提，于是冒出一種聲音，說這個(gè)問題是毫無價(jià)值的問題，討論這個(gè)是吃飽了撐的。這種論調(diào)，乍一聽似乎不無道理，話糙理不糙，也確實(shí)出現(xiàn)過一些不入流的無聊問題引得大家爭(zhēng)相研究，浪費(fèi)了無數(shù)的時(shí)間和心血。若因此就斷定這個(gè)是“無聊問題”，也無可厚非，但是具體情況得具體討論，不可胡子眉毛一把抓，一概而論。道理是明擺的，科學(xué)上的重大發(fā)現(xiàn)都是源自對(duì)一些看似無聊透頂?shù)膯栴}的執(zhí)拗研究而得出的，如“萬有引力”就是牛頓從研究蘋果為什么是落到地上而不是飛向天空而發(fā)現(xiàn)的，所以“無聊”的問題有時(shí)卻可以發(fā)揮巨大能量。

以上題為例，求國產(chǎn)小轎車在某個(gè)時(shí)段內(nèi)從A地到B地的平均速度，中間有1個(gè)小時(shí)因故駐車，這停留的1小時(shí)該不該計(jì)算在行車時(shí)間之內(nèi)，用于計(jì)算小轎車的平均速度。兩種觀點(diǎn)相持不下，各方都有很充足的理由，于是為了平息紛爭(zhēng)，調(diào)和矛盾，把槍口對(duì)準(zhǔn)問題本身，指責(zé)這是個(gè)“無聊問題”。我們?nèi)绻钠綒夂?、?shí)事求是地琢磨這個(gè)問題，還是會(huì)發(fā)現(xiàn)一些有價(jià)值的地方，例如小轎車連續(xù)不斷地從A地行至B地，時(shí)快時(shí)慢很正常，路況好、人流少的地段高速行駛，路況不好、人流密集的路段低速行駛;遇到紅燈，停車等待通行，塞車時(shí)更需怠速慢行，駕車過程中因?yàn)楦鞣N客觀因素造成中途停滯非常常見，不能說停車1小時(shí)是大事，停半分鐘就算了，歸根結(jié)底，解答此類問題要考慮精確度。

若從A地行至B地耗時(shí)4小時(shí)，中途駐車就白白浪費(fèi)了3個(gè)小時(shí)，汽車實(shí)際有效行進(jìn)時(shí)間只有1個(gè)小時(shí)，那么在計(jì)算駕駛?cè)说墓ぷ餍蕰r(shí)就應(yīng)仍然算作4小時(shí);如果只是針對(duì)汽車的性能進(jìn)行評(píng)估，則只能算1小時(shí)。若汽車中途只停了10分鐘，其他時(shí)間持續(xù)行進(jìn)，各路口紅燈共計(jì)超過20分鐘，但是求平均速度時(shí)并沒有要求很高的精確度，30分鐘的停止時(shí)間照樣可以忽略。

數(shù)學(xué)本身很純粹，如果放到具體情境中就會(huì)變得復(fù)雜起來，文中的討論其實(shí)并不是無聊的爭(zhēng)論，站的角度不同，立場(chǎng)不同，只要計(jì)算不出紕漏，都可以算作正解。我們總是說要建立模型，倡導(dǎo)算法多樣化，這就是一個(gè)典型的計(jì)算有效行駛時(shí)間的簡(jiǎn)易模型，這個(gè)模型中蘊(yùn)含不同的理解方式，主要取決于計(jì)算的精確度，精確度不同，方法也會(huì)不一樣，結(jié)果亦五花八門。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 董建勛，劉君.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決初中數(shù)學(xué)中的行程問題[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（18）：119.

[2] 張寅秋，袁俊.基于核心素養(yǎng)的小學(xué)習(xí)題課建設(shè)：以“行程問題”為例[J].教育教學(xué)論壇，2018（38）：237-238.

（責(zé)編 童 夏）