利用多種手段凸顯數學本質

邱蓮

[摘 要]把握數學知識的核心，是課堂教學揭露數學本質的基本手段。在教學中，讓學生借助直觀圖，尋求知識之間的內在聯系，在分析對比、動態想象中把握數學本質，感受數學思想的魅力。

[關鍵詞]直觀;對比;想象;數學本質

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）08-0064-02

數學知識是依靠數學思維和數學思想方法聯系起來的，每一種數學知識都對應著一個核心內容，把握數學知識的核心，是課堂教學揭示數學本質的基本手段。下面我結合本人在課堂教學中的粗淺做法，談談如何遵循學生認知規律，借助直觀、對比、動態想象等手段，引領學生正確把握數學的本質。

一、 借助直觀，凸顯數學本質

人們在認識和理解抽象數學特征或規律的過程中，往往要進行動手操作活動，通過活動采用具體可感的直觀物體來表征數學問題，以便更加形象、清晰地認識知識的本質。

例如，在教學“分數基本性質”時，我改變以往依托教材中提供的相等分數進行研究的教學模式，讓學生自主創造一組相等的分數，并用自己喜歡的方式表達想法。

1.折一折：利用手中的正方形紙自主創造一組相等的分數。

2.畫一畫：通過畫、涂，找到一組相等的分數。

思考：在折、畫的過程中，平均分的份數發生了怎樣的變化？涂色部分表示的份數發生了怎樣的變化？

學生先獨立思考并動手操作，再全班交流。

生1：用兩張相同的正方形紙折一折，找到[12]=[24] 。

生2：利用一張正方形紙折一折，找到[12]=[24] =[48]。

生3：通過畫圖（如圖1），找出[14]=[28]。

生4：通過畫線段圖（如圖2），找到[12]=[24] ，[12]=[48]和[12]=[816]。

學生借助折紙和畫圖，在直觀圖的支撐下，初步發現涂色部分和平均分的份數發生同樣的變化，由此明白分子和分母同時乘或者除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變。

3.想象：依次呈現一個圓的一部分（如圖3），讓學生根據所給的圖形想象它們各占整個圓的幾分之幾。

4.歸納、概括：觀察、比較學生找出的一組組相等的分數，歸納概括出分數的基本性質。

從上述案例可以看出，當教師給予充足的探究空間時，學生自主生成的實物圖、線段圖就更為形象、具體，有利于學生感悟當圖形中每一等份平均分成若干小份，整個圖形所分的份數和涂色部分所占的份數都會隨之變化，但分數的大小不變，進而從數學本質上理解分數的本質特征，提高抽象思維能力。

二、巧用對比，凸顯數學本質

數學中的許多內容既有聯系又有區別，教師在教學時應注意溝通各部分之間的聯系，通過對比，使學生體會不同內容之間的有機聯系，感受數學的整體性，從而更好地理解數學本質。

例如，在教學蘇教版五年級下冊第45頁第8題“把一張長15厘米、寬9厘米的長方形紙裁成同樣大小的正方形。如果要求紙沒有剩余，裁出的正方形邊長最大是多少厘米？一共可以裁出多少個這樣的正方形？”時，我這樣啟發學生。

1.讀題，理解題意。

2.先獨立思考，然后同桌交流：把長15厘米、寬9厘米的長方形紙裁成同樣大小的正方形（紙沒有剩余），正方形的邊長可能是多少？它必須滿足什么條件？正方形的邊長最大是多少？

3.畫圖驗證并說理。

生1：經過嘗試，我知道要使裁后沒有剩余，那么小正方形的邊長必須既是長方形長的因數，又是長方形寬的因數，即是15和9的公因數，滿足條件的只有1和3，所以正方形的邊長最大是3厘米。

生2：我借助畫圖列出算式（如圖4），算出最終一共裁得15個小正方形。

我繼續出示變式題：“有兩根圓木，第一根長20米，第二根長15米，把它們截成同樣長的小段且沒有剩余，每小段最多長多少米？一共截成多少小段？”受上一題的影響，學生直接想到求“每小段的長度”就是求“20和15的最大公因數”。可在巡視過程中我發現，部分學生在解決“一共截成多少小段”時，竟然列式為20÷5=4， 15÷5=3，? 4×3=12（段）。可見，學生的腦海中并未建構起相應的模型，一旦脫離了直觀圖，形成算式的過程就會出現各種問題。“想一想，可以通過什么來驗證你的結果是否正確呢？”在我的啟發下，學生紛紛采用畫圖驗證，得出“4×3是錯誤的，應該是4+3”的結論，并利用直觀圖（如圖5）清晰地表述了思考過程。

為了讓學生進一步理解數學本質，我再次引導觀察比較：“這兩道題有什么相同和不同之處？”學生經過交流討論發現，相同的是，要想滿足紙（圓木）沒有剩余，所裁（截）正方形的邊長（小段圓木的長度）最大（多）只能是長方形的長和寬（兩根圓木的長度）的最大公因數;不同的是，小正方形是在長方形里裁的，沿著長方形的長裁決定一排有幾個，沿著長方形的寬裁決定有幾排，最后用乘法計算，而圓木有兩根，應先求每一根能截成幾段，再求兩根一共截成的段數，要用加法計算。

從上述案例可以看出，為了避免學生受知識負遷移影響，教師要利用素材巧設對比，組織學生觀察比較，凸顯數學本質，從而深化學生的理解。

三、動態想象，凸顯數學本質

學習“空間與圖形”時，想象力較弱的學生很難在文字語言與圖形語言之間建立聯系，以及進行合理的轉換，解題時往往停留于文字層的面。教學中，教師應尋找并建立恰當的新舊知識之間的聯系，鼓勵學生動態想象，在想象中完善認知。

例如，解決“一個底面周長是12.56厘米，高是3厘米的圓柱體沿底面半徑平均分成若干小份，拼成一個近似的長方體，表面積比原來增加了多少平方厘米？”時，學生很難在短時間內捕捉到有價值的信息，這時，我改變以往先呈現直觀圖的方式，鼓勵學生先想象動態的切、拼過程，繼而用課件呈現直觀圖（如圖6），驗證想象。學生經歷了想象的過程，在教師呈現動態圖時，更容易找到解決問題的突破口——增加的表面積為兩個長方形的面積之和，長方形的寬是圓柱底面的半徑，長是圓柱的高。

為了讓學生在腦海中形成一個完整的知識網絡，我適時追問：“由圓柱的切、拼，你還能聯想到什么？”學生很快回答：“可以沿著與底面直徑垂直的方向切，分成兩個半圓柱。”我引導學生想象這種切法，并以課件動態呈現（如圖7），完善學生的想象，然后要求學生脫離直觀模型在腦海中建構直觀圖，深刻理解“兩個半圓柱的表面積比原圓柱的表面積增加了兩個長方形的面積之和”， 繼而又引導學生閉目想象、對比，發現與之前切、拼情況增加的面的本質不同，建構直觀模型。

“關于圓柱因‘切引起的表面積變化，我還有不同的切法。”學生紛紛舉手發言，如圖8所示的切法應運而生。學生看到，切法不同，增加的面（表面積）也有所不同。在回顧、反思、想象、交流中，學生在腦海中建立起相應的幾何模型，并能根據模型的不同變換想象到由于切的方向、次數不同，增加的表面積也有所不同。

從上述案例可以看出，在“空間與圖形”的練習中，教師應該具有知識的整合能力，引導學生經歷“根據文字動態想象—建構圖形—聯想對比”的學習過程，在想象中運用直觀尋求它們的相同點和不同點，理解數學本質。

回顧以上幾個教學案例，可以看到教學是一個不斷反思、不斷創新的過程。教師在鉆研教材時，要關注每節課的數學本質，通過數學活動引導學生借助直觀圖，尋求知識之間的內在聯系，在想象、分析對比中把握數學本質，感受數學的魅力。

（責編 李琪琦）