淺析高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線問題

摘要：高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線問題有一定的難度和抽象性，我們?cè)诮獯鸬倪^程中，可能會(huì)存在沒有解題的思路等問題。所以，在日常學(xué)習(xí)的過程中，要對(duì)這類問題進(jìn)行詳細(xì)的探究，詳細(xì)了解其中的理論知識(shí)和定理，并將其靈活應(yīng)用在具體的解題中。因此，本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線問題做出了進(jìn)一步探究，對(duì)圓錐曲線的范圍問題、圓錐曲線點(diǎn)坐標(biāo)問題、圓錐曲線方程給出了詳細(xì)的分析。

關(guān)鍵詞：高中;數(shù)學(xué);圓錐;曲線

我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，圓錐曲線是非常重要的知識(shí)內(nèi)容，需要我們對(duì)其詳細(xì)掌握。在日常學(xué)習(xí)的過程中，不但要對(duì)其中的理論知識(shí)和定理有詳細(xì)的了解，還要學(xué)會(huì)應(yīng)用相關(guān)的理論知識(shí)，并將解題的速度和效果進(jìn)行雙重提升，提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果。

1、圓錐曲線的范圍問題分析

對(duì)于圓錐曲線知識(shí)的學(xué)習(xí)，經(jīng)常需要解決一些范圍問題，如在已知的條件下，對(duì)離心率的范圍進(jìn)行計(jì)算，或者計(jì)算范圍參數(shù)。這些經(jīng)常遇到的問題，我們?cè)诮鉀Q分析的過程中，會(huì)找不到解決問題的點(diǎn)，以至于不能對(duì)題目進(jìn)行深度的解析[1]。面對(duì)這樣的情況，要結(jié)合對(duì)應(yīng)的知識(shí)定理，深入并且全面的理解和分析問題，以便對(duì)問題進(jìn)行正確的解答。

例如：已知雙曲線 x2/a2-y2/b2=1（a>0，b>0），若過其右焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線l與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的范圍是？

要使直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即b/a

∵b=∴1∴e的范圍是（1，2）。

2、圓錐曲線點(diǎn)坐標(biāo)問題解析

對(duì)于點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算，是圓錐曲線問題當(dāng)中經(jīng)常遇到的問題，在對(duì)這類問題進(jìn)行解析時(shí)，要先設(shè)置好點(diǎn)到線之間的距離，之后引用橢圓的定義進(jìn)行解答，這樣便可求出改點(diǎn)的坐標(biāo)[2]。

例如：已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)|PA|+|PF|取得最小值時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是？

由題意得 F（1/2，0），準(zhǔn)線方程為 x=-1/2，設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|，則由拋物線的定義得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值為|AM|=3-（-1/2）= 7/2.把 y=2代入拋物線y2=2x 得 x=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，2）。

3、圓錐曲線方程問題

方程求解一直都是學(xué)習(xí)當(dāng)中的重點(diǎn)，對(duì)于橢圓問題、雙曲線問題和拋物線問題，通常情況下，我們會(huì)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)方程來對(duì)問題進(jìn)行探究，但得到的結(jié)果會(huì)有所不同。并且，在這一過程中，還會(huì)將解題的難度增加。所以，在思考問題時(shí)，可統(tǒng)一應(yīng)用圓錐曲線，以便將問題進(jìn)行簡化[3]。

例如：橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2，0），其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）當(dāng)頂點(diǎn)為A（2，0）為長軸端點(diǎn)時(shí)，a=2 ∵a=2b ∴b=1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/4+y2=1;

（2）當(dāng)頂點(diǎn)為A（2，0）為短軸端點(diǎn)時(shí)，b=2 ∵a=2b∴a=4。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2/4 + y2/16 =1

又例如：已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓與直線x+y-1=0交于A，B兩點(diǎn)，M為A、B中點(diǎn)，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程

解，因，橢圓的中心在原點(diǎn)，短軸長為2

所以，設(shè)橢圓方程為x2/a2+y2/1=1，A（x1，y1），B（x2，y2）

即x2+a2y2=a2

所以，x12+a2y12=a2，（1）

x22+a2y22=a2，（2）

由（1）=（2）化簡：a2（y22-y12）=-（x22-x12）

[（y2+y1）/（x2+x1）]×[（y2-y1）/（x2-x1）]=-1/a

又因，M[（x2+x1）/2，（y2+y1）/2]

所以，OM的斜率=[（y2+y1）/2-0]/[（x2+x1）/2-0]=（y2+y1）/（x2+x1） =0.25

又因，直線x+y-1=0的斜率為（y2-y1）/（x2-x1）=-1

所以，0.25×（-1）=-1/a2（M是等邊直角OAB的斜邊AB的中點(diǎn)，OM=AB/2）即，a2=4所以，橢圓方程是：x2/4+y2=1

4、結(jié)束語：

總之，我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)的日常學(xué)習(xí)中，圓錐曲線問題既是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。圓錐曲線知識(shí)結(jié)構(gòu)當(dāng)中包含的題型非常多，在解決問題的過程中經(jīng)常會(huì)遇到一些困難。所以，要掌握一定的解題技巧和正確的解題方式，結(jié)合具體的定義對(duì)其進(jìn)行深入的思考和分析，這樣才能系統(tǒng)的解決問題，有益于學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升，并提高自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能力，完善學(xué)習(xí)體系，學(xué)習(xí)效果才會(huì)有明顯的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭啟淳.圓錐曲線的學(xué)習(xí)總結(jié)[J].中國校外教育，2018 （08）：120-121.

[2]范航.試分析高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線問題[J].農(nóng)家參謀，2017 （20）：133.

[3]周子淳.尋求最簡 爭取時(shí)間——對(duì)一個(gè)圓錐曲線定點(diǎn)問題的一題多解探究[J].亞太教育，2016 （28）：34+9.

作者簡介：馮智博（2001.03）男，民族：漢族，學(xué)校：三門峽市外國語高級(jí)中學(xué)。