二自由度碰振準哈密頓系統雙碰周期解的Melnikov方法

張思進 劉喻 吉德三

摘 ??要：采用攝動法和Poincaré映射方法推導出了具有立方非線性項和外部激勵項的二自由度碰振系統周期解的擴展Melnikov函數，并運用該Melnikov函數研究了二自由度碰振系統的雙碰周期解特性，確定了系統穩定雙碰周期2運動的存在條件，即在參數域內的一條臨界曲線.通過數值模擬驗證，結果表明：該臨界曲線下方區域參數是雙碰周期2運動，上方區域參數是非雙碰周期2運動;當保持其他參數不變，僅增加系統激勵幅值f時，系統的運動狀態會從多碰多周期運動逐步向雙碰周期2運動轉變;當保持其他參數不變，僅增加系統恢復系數η0時，系統的運動狀態會從雙碰周期2運動逐步向多碰多周期運動轉變.

關鍵詞：碰振系統;Melnikov方法;雙碰周期2運動;Poincaré映射;擴展Melnikov函數

中圖分類號：O322 ??????????????????????????????????文獻標志碼：A

Melnikov′s Method of Periodic Solutions with Double Impacts for

a 2-DOF Vibro-impact Quasi-Hamiltonian System

ZHANG Sijin1，LIU Yu1，JI Desan2

（1. College of Mechanical and Vehicle Engineering， Hunan University，Changsha 410082，China;

2. College of Science，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430065，China）

Abstract： Perturbation method and Poincaré mapping method were used to derive the generalized Melnikov function of the periodic solution for a two-degree-of-freedom vibro-impact system with cubic non-linearity and external excitations. By using the?Melnikov′s method， the characteristics of periodic motions with double-impact of the 2-dof system were studied， and the existence condition of period-2 motions with double-impact was determined as a critical curve in the parameter domain. The results of numerical simulations show that the regions below the critical curve are the period-2 motions with double-impact， the upper regions of the critical curve are not period-2 motions with double-impact;Meanwhile，increasing the force amplitude and keeping the other parameters unchanged， the motion state of the system changes from multi-period motions with multi-impact to period-2 motions with double-impact， while increasing the system restitution coefficient and keeping the other parameters unchanged， the motion state of the system changes from period-2 motions with double-impact to multi-period motions with multi-impact.

Key words： vibro-impact system; ?generalized Melnikov′s method;period-2 motion; Poincaré maping; generalized Melnikov′s function

在實際工程系統中往往存在碰撞、沖擊、干摩擦、變剛度、開關、閾值等大量非光滑因素，人們致力于研究力學系統中這些非光滑因素帶來的復雜動力學行為.非光滑動力系統通常表現出與光滑動力學系統截然不同的特征，例如： 加周期分岔、擦邊分岔、粘滯分岔和C型混沌吸引子等.學者們[1-8]建立了非光滑動力學系統定性理論（例如脈沖微分方程理論、微分包含理論、非光滑分岔理論等），它們在分析非光滑系統的分岔、混沌以及運動復雜性上發揮了重要作用.

碰撞振動（簡稱碰振）系統是一類典型的非光滑動力系統.針對這類系統早期的研究對象是沖擊消振器，該類系統一般為有擋板的單自由度碰撞振動系統.后來逐步發展為多自由度碰撞振動系統.Chávez等[9]研究了兩自由度的Jeffcott轉子的非光滑動力學模型，在過載及粘性阻尼的共同作用下的復雜動力學特性.Xu等[10]研究了兩自由度振動沖擊系統發生擦邊運動的存在性和穩定性，并比較了兩自由度的Poincaré圖與原微分方程模擬圖，證明了不連續映射方法的有效性.Al-Shudeifat等[11]研究了加裝非線性能量阱（NES）的二自由度振動系統在單邊振動沖擊下的響應機制，著重探索了NES對系統振動的抑制以及系統內的靶向能量傳遞（TET）特性.Luo等[12]研究了帶間隙的二自由度周期強迫系統的動態性能與系統參數之間的關系.

近年來，不少學者開始應用Melnikov方法來研究碰振系統的同宿軌道、亞諧周期運動、全局分岔乃至混沌運動等動力學特性.Zhang等[13]將Melnikov方法應用于碰振準哈密頓系統的局部亞諧軌道，推導出了局部亞諧軌道的Melnikov函數.Du等[14]以碰撞倒擺為模型，提出了一種同宿軌道與剛性面相切的非光滑同宿分岔的Melnikov方法.Yagasaki[15]將擴展的分段光滑系統的次諧Melnikov函數應用于三線性振動器模型.更多非光滑系統的Melnikov方法參見文獻[16-19].

本文運用攝動法和Poincaré映射方法推導了二自由度準哈密頓碰振振子系統雙碰周期2運動的Melikov函數.此函數可以確定雙碰周期2運動和非雙碰周期2運動的參數區域，并通過數值模擬驗證了該分析方法的正確性.

1 ??非光滑準哈密頓系統的描述

考慮以下二自由度非線性碰振振子（圖1），當 時，兩質量塊非碰振運動的控制方程為：

忽略碰振瞬間兩質量塊的位移改變，當x1 - x2 = δ時發生完全彈性碰撞;由于碰振過程中動量守恒和能量守恒，有：

以上兩式中：ε表示O（1）小量分別表示碰振前和碰振后的速度;f（x）表示單位質量塊上作用的恢復力，εg1（t）是周期為T 的周期性激勵函數;1-εη0∈（0，1]表示碰振恢復系數;δ是質量塊m1與質量塊m2之間的間隙.

方程（1）和（2）可以改寫為如下矢量形式：

該擾動系統（3）則被稱為準哈密頓碰振系統.其中，

{X1，X2} = {x1，y1，x2，y2}

JDH1（X1） = {？墜H1/？墜y1，-？墜H1/？墜x1}

JDH2（X2） = {？墜H2/？墜y2，-？墜H2/？墜x2}

G1（X1，t） = {0，g1（x1，y1，t）}

G2（X2，t） = {0，g2（x2，y2，t）}

當ε=0時，方程（3）可以表示為（所謂未擾系統）：

為了研究在外部激勵和粘性阻尼作用下的二自由度碰振系統（1）雙碰周期運動的存在性，我們將通過分析手段構建雙碰周期2運動的廣義Melnikov函數.

2 ??碰振準哈密頓系統雙碰周期的Melnikov

函數

方程（4）描述的未擾系統碰振過程一般比較復雜，為便于分析，這里僅考慮兩質量塊碰撞面是固定的情形.引入以下假設：

1）方程（4）有一簇周期軌道，可以表示為L1=

2）Xh11 ?（t）和Xh22 ?（t）的周期分別為T1（h1）和

T2（h2）;

3）共振關系應該滿足以下條件

這里Mj和nj （j=1，2）是互質整數.

研究擾動系統（3）的雙碰周期2運動，其軌道如圖2所示.由于方程（3）中的兩個表達式類似，這里我們僅分析前一個方程的擾動軌道，可以用同樣的方法分析第二個方程.

當x1 - x2 小于δ時，擾動軌道Xε（t，t0）是光滑的，因此可以將其展開成泰勒級數的形式，如下：

Xε（t，t0，ε） = Xα（t - t0） + εX（1）（t，t0） + O（ε2） ? （6）

式中，Xα（t）表示未擾軌道表達式.

為了便于分析，定義以下算子：

Δ（t，t0） = F（Xα（t - t0））∧Xα（t，t0） （7）

Δ0（t，t0） = F（Xα（t - t0））∧Xε（t - t0） （8）

Δ1（t，t0） = F（Xα（t - t0））∧X（1）（t - t0） （9）

光滑條件下，我們可以得到：

Δ1（t，t0） = F（Xα（t - t0））∧H（Xα（t - t0），t） （10）

這里∧表示楔形算子.

接下來，我們考慮始于截面經過mT時間后返回到該截面的擾動軌跡Xε（t，t0）.Poincaré截面上起始點和返回點間的距離（見圖2）可以通過下式計算，得：

d（t0）==

[Δ（t0+mT，t0）-Δ（t0，t0）]/DH（Xα（0））

（11）

雙碰周期2運動的Melnikov函數定義為：

Mm（t0） = Δ1（t0 + mT，t0） - Δ1（t0，t0） ?（12）

將方程（12）改寫為以下分段表達的形式：

Mm（t0）=Δ1（t0+mT，t0）-Δ1（t0，t0）=

=Δ1（t0+mT，t0）-Δ1（tε ??2，-，t0）+

Δ1（tε ??2，-，t0）-Δ1（tε ??1，+，t0）+Δ1（tε ??1，+，t0）-Δ1（tε ??1，-，t0）+

Δ1（tε ??1，-，t0）-Δ1（t0，t0） （13）

然后，將方程（9）對時間t求導，得：

dΔ1（t，t0）/dt=DH（Xα（t-t0））·G（Xα（t-t0），t）（14）

在積分區間[t0，tε ??1，-]內積分，并結合分段表達式Xα-（t-t0），可得：

Δ1（tε ??1，-，t0）-Δ1（t0，t0）=

H（Xα-（t-t0））·G（Xα-（t-t0），t）dt（15）

假設tε ??1，±，tα ??1，±，tε ??2，±，tα ??2，±分別是擾動軌道和非擾動軌道到達碰撞面x1 - x2 = δ的時刻，將表達式tε ±在未擾軌道碰振時間tα ±處展開，得：

tε ??1，± = tα ??1，± + εt1 ??1，± + O（ε2） ? （16）

將式（16）代入式（15），得

Δ1（tε ??1，-，t0）-Δ1（t0，t0）=

）

類似地，在區間[tε ??1，+，tε ??2，-]內積分方程（14），得

Δ1（tε ??1，+，t0）-Δ1（tε ??2，-，t0）=

）

由式（16）易知下式成立：

Δ1（tε ??1，+，t0）-Δ1（tε ??1，-，t0）=Δ1（tα ??1，+，t0）-Δ1（tα ??1，-，t0）+O（ε）

（19）

將式（17）～（19）代入式（13），得到

Δ1（tα ??1，+，t0）-Δ1（tα ??1，-，t0）+Δ1（tα ??2，+，t0）-Δ1（tα ??2，-，t0）+O（ε）

（20）

接下來，將表達式Δ1（tα ??1，+，t0）-Δ1（tα ??1，-，t0）運用泰勒公式展開，并結合方程（6）和定義算子（7）～（9），易知：

Δ（tα ??1，+，t0）-Δ（tα ??1，-，t0）=Δ0（tα ??1，+，t0）-Δ0（tα ??1，-，t0）+

ε[Δ1（tα ??1，+，t0）-Δ1（tα ??1，-，t0）]+O（ε2）（21）

注意到未擾軌道是封閉的，所以

Δ0（tα ??1，+，t0）-Δ0（tα ??1，-，t0）=0（22）

因而，Δ1（tα ??1，+，t0）-Δ1（tα ??1，-，t0）≈[Δ（tα ??1，+，t0）-Δ（tα ??1，-，t0）]/ε.又根據算子定義：

Δ（tα ??1，+，t0）-Δ（tα ??1，-，t0）=

[f1（Xα1（tα ??1，+-t0）Xε1（tα ??1，+，t0））+

（Yα1（tα ??1，+，t0）-Yα2（tα ??1，+，t0））（Yε1（tε ??1，+，t0）-Yε2（tε ??1，+，t0））]-

[f2（Xα1（tα ??1，--t0）Xε1（tα ??1，-，t0））+

（Yα1（tα ??1，-，t0）-Yα2（tα ??1，-，t0））（Yε1（tε ??1，-，t0）-Yε2（tε ??1，-，t0））]

（23）

將上式中Xε（tε ??1，±，t0）在時間tα±處做泰勒展開，

如下：

Xε1（tα ??1，±，t0）=Xα1（tε ??1，±，t0）-εYα1（tα ??1，±-t0）t1 ??1，±+O（ε2）Yε1（tα ??1，±，t0）=Yα1（tε ??1，±，t0）+εf1（Yα1（tα ??1，±-t0））t1 ??1，±+O（ε2）

（24）

以上分析了兩質量塊未發生接觸時，質量塊m1的運動軌線部分（碰撞面右邊部分）;類似可得質量塊m2的亞諧運動軌線表達式，這里不再詳細描述.

下面我們重點分析兩質量塊發生碰振瞬間（23）式的具體計算.根據碰撞法則兩質量塊應在同一時刻到達碰撞面處，因此對于兩質量塊的擾動和未擾動軌道，下列關系式顯然成立：

tε ??1，+ = tε ??1，-Xε1（tε ??1，+，t0）=Xε1（tε ??1，-，t0）Xε2（tε ??1，+，t0）=Xε2（tε ??1，-，t0）Yε1（tε ??1，+，t0）-Yε2（tε ??1，+，t0）= ????????-（1-εη0）（Yε1（tε ??1，-，t0）-Yε2（tε ??1，-，t0））

（25）

tα ??1，+ = tα ??1，-Xα1（tα ??1，+-t0）=Xα1（tα ??1，--t0）Xα2（tα ??1，+-t0）=Xα2（tα ??1，--t0）Yα1（tα ??1，+，t0）-Yα2（tα ??1，+，t0）= ????????-（Yα1（tα ??1，-，t0）-Yα2（tα ??1，-，t0）） （26）

類似地，展開表達式Yε（tε ??1，±，t0），得：

Xε2（tα ??1，±，t0）=Xα2（tε ??1，±，t0）-εYα2（tα ??1，±-t0）t1 ??1，±+O（ε2）Yε2（tα ??1，±，t0）=Yα2（tε ??1，±，t0）+εf2（Yα1（tα ??1，±-t0））t1 ??1，±+O（ε2）

（27）

將（24）-（27）式代入（23）式并結合（16）式，可知：

Δ（tα ??1，+，t0）-Δ（tα ??1，-，t0）=

（Yα1（tα ??1，+，t0）-Yα2（tα ??1，+，t0））（Yε1（tε ??1，+，t0）-Yε2（tε ??1，+，t0））-

（Yα1（tα ??1，-，t0）-Yα2（tα ??1，-，t0））（Yε1（tε ??1，-，t0）-Yε2（tε ??1，-，t0））=

-εη0（Yα1（tα ??1，-，t0）-Yα2（tα ??1，-，t0））（Yε1（tε ??1，-，t0）-Yε2（tε ??1，-，t0））

（28）

又因為：

Yε1（tε ??1，-，t0）-Yε2（tε ??1，-，t0）=Yα1（tα ??1，-，t0）-Yα2（tα ??1，-，t0）+O（ε）

（29）

重新整理方程（28）得

Δ（tα ??1，+，t0）-Δ（tα ??1，-，t0）=

-εηε2）

（33）

注意到t

3 ??雙碰周期運動Melnikov函數的應用

3.1 ??準哈密頓系統模型

以前面（圖1）給出的碰振準哈密頓機械動力學模型為例，此處的兩質量塊分別用非線性彈簧k1 - K1x21和k2 - K2x22以及阻尼系數為c1和c2的線性阻尼器連接在一起.設兩質量塊分別作用幅值為F1和F2，頻率為Ω簡諧力.系統運動微分方程如下：

r是碰振恢復系數.為便于分析，考慮弱阻尼小激勵條件下，將方程（36）和（37）的無量綱形式可以分別化簡如下：

x″1 + 2εμ1 x′1 + ω21x1 - α1x31= εf1 cosΩ 0τx″2 + 2εμ2 x″2 + ω22x2 - α2x32= εf2 cosΩ 0τ（38）

x′+1 ??+ μm x′+2 ??= x′-1 ??+ μm x′-2 ?x′+1 ??- ?x′+2 ??= -（1 - εη0）（x′-1 ??- x′-2 ?）（39）

這里

3.2 ??準哈密頓周期軌道分析

將方程（36）改寫成如下形式：

x′1 = y1，y′1 = -ω21x1 + α1x31 + ε（-2μ1y1 + f1cosΩτ）

（40）

x′2 = y2，y′2 = -ω22x2 + α2x32 + ε（-2μ2y2 + f2cosΩτ）

（41）

當ε=0時，未擾系統（40）和（41）為Hamilton系統，其哈密頓作用量為：

（44）

L

（45）

此處的dn（·），cn（·），sn（·）均為橢圓函數.

如果未擾系統沒有發生碰振，那么周期軌道的周期可以表示為

Tα（k類橢圓積分.

然而，碰振會導致周期軌道破裂，碰振后的軌道周期為：

T（k） = Tα（k） - ΔT ? （47）

式中ΔT為完整軌道穿越切換面的時間，它可以由解除條件來確定：

由于考慮的是周期二運動，且1 ∶ 1的內共振情況，結合公式（5），即1，可得：

2T0（k） - 2ΔT = 2T ? （49）

方程（48）和（49）可用于確定周期 的未擾軌道的橢圓模量.

將公式（44）～（45）代入（35），得：

M2（（51）

其中：

Z1 ）dτ+

，+cosΩ（τ+τ0）+y2，+cosΩ（τ+τ0））dτ.

根據Melnikov理論，如果擾動系統（40）～（41）存在周期軌道，那么M（τ0）存在簡單零點，因此可得雙碰周期2運動存在的必要條件：

-2Z1μ - 4η0Z2 + fZ3（τ0）max ≥ 0 ? （52）

將參數μ = 0.1，ω = 2，Ω = 3，δ = 2，代入公式（52），可得系統激勵幅值和恢復系數間的關系：

2.813 4 f - 9.964 8 - 3.2η0 ≥ 0（53）

3.3 ??數值仿真

方程（53）確定的臨界線將參數（f，η0）分為上下兩個部分：臨界線下方區域是雙碰周期2運動，臨界線上方的區域均為非雙碰周期2運動.為了驗證這一結論，取點A到點F（如圖3）六個不同系統參數來進行模擬.圖4～圖10是圖3中各點對應運動的相圖，實線與虛線分別代表質量塊m1和質量塊m2的運動狀態，其余參數取值：α1 = 0.1，α2 = 0.3，μm = 1.

圖4中（a）～（b）分別是系統在A點參數下運動的運動相圖.從圖中可以看出，系統表現為雙碰周期2運動.同樣位于臨界線下方的B點和C點也表現出相似的雙碰周期2運動，其相對運動相圖見圖5和圖6.

取臨界線上方點D和F驗證時，系統運動可能表現為三碰周期3的，也可能表現為四碰周期4的，甚至變為復雜的多周期多碰運動.其相對運動相圖見圖7和圖8.

當固定參數f = 7不變時，εη0從0.25（B點）逐漸增大到0.6（H點），中間經過εη0 = 0.4（E點），系統由雙碰周期2運動變為三碰周期3，最后又變為多周期的多碰運動.E點和H點的相圖如圖9和

當固定參數εη0 = 0.4不變時，f從6（G點）逐漸增大到9（C點），中間經過f = 7（E點），系統由二碰周期2運動逐步變為多周期多碰運動.G點的相對運動相圖見圖11.

4 ??結 ??論

本文應用改進的局部亞諧Melnikov方法來研究具有立方項和外部激勵的二自由度非線性準哈密頓碰振系統的雙碰周期運動特性.通過分析，構建了雙碰周期2運動的Melnikov函數，得到了雙碰周期2運動的存在條件.該條件將系統的參數區域分為雙碰周期2運動參數區域和非雙碰周期2參數區域兩部分.最后通過數值模擬驗證了Melnikov方法分析二自由度碰振系統雙碰周期2運動的有效性.

此外數值結果還表明，當保留其他參數不變，僅增加力f時，系統由多碰多周期運動，經過三碰周期3運動，最后達到雙碰周期2運動.同樣地，當保留其他參數不變，僅增加η0時，系統由雙碰周期2運動逐步變為多碰多周期運動.故可適當控制參數 f和參數η0的取值，使系統盡量避免復雜的高頻振動.

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