數學歸納法在數列問題中的應用分析

◆黃天宇

(江蘇省常州市北郊高級中學)

一、引言

數列問題是數學領域非常重要的一個分支，也是高中所必修必考內容之一，其主要是由于在現實中應用十分廣泛，如人們的儲蓄額度、社會人口、分期付款等最終都可以抽象為數列問題，甚至有科學家曾說沒有數的序列就沒有數學問題，可見數列在數學領域中的重要地位。數列本質上是指一列有序的數，但實際研究和應用中這組數據都存在一定的規律，如典型的有等差數列、等比數列、斐波那契數列等。但遇到不能快速發掘規律的數列，往往有一些特殊的方法得以解決。本文提出的數學歸納法應用于數列問題求解便是其中的一種，在實際應用中具有特定的優勢。

本文正是基于一些特殊數列的求解問題，采用常規直接推導時遇到困難，結合數學歸納法解決這類問題的優勢，從多角度闡述數學歸納法在數列問題中的求解，為后續進一步學習數學相關專業奠定理論基礎。

二、數學歸納法

1.數學歸納法概念

數學歸納法作為一種演繹數學證明方法是有嚴謹的推理過程的，通過被用于從局部正確到全部正確的推理應用，也就是一種科學合理的由特殊到一般的推導證明歸納，借助這種有限步驟實現無限問題的解決，其思路來源于數論的理解，即如果一個自然數集合中，如果包含自然數1，在假設也包含自然數n的情況下，則可以證明一定包含自然數n+1，所以該集合是一個自然數集合。歷史上經典的有骨牌現象等都可以用數學歸納法給予解釋。

2.數學歸納法的解題步驟

經過高中對數學歸納法的理解、應用，對于一般的數學歸納法可以應用經典的數學歸納法步驟進行解答，其一般的解題步驟如圖1所示。

通過上述三步的合理推導，只需要簡單的陳述即可完成結論的證明。可見，該方法的思路清晰明了，原理簡單可行，在數學理論中具有十分重要的作用。

三、數學歸納法在數列中的應用

數列問題有時求解非常困難，有的甚至一眼知道結果，但是往往卻很難用嚴謹的數學推導給予證明，而數學歸納法卻是很好的方法，對這類問題有著很好的應用背景。

1.數學歸納法在數列通項或求和中的應用

數列中的通項公式和求和公式往往都是借助現成等差數列或等比數列進行得到，但現實求解過程中又會遇到一起無法用經典結論進行推導的，則需要特殊問題特殊解決。例如：

2.數學歸納法在數列不等式證明中的應用

數列解答題中的不等式證明，往往難度系數較大，通常難以得分，最為常用的方法是放縮法，即當要證明不等式AA，去證明CB，尋找中間量C

3.數學歸納法在探索數列參數范圍中的應用

數列問題中一些未知參數的求解往往較難，但有時候如果思路變通，即可以采用一些特殊的方法進行處理，進而達到解題的目的。

四、結論

綜上，借助對數學歸納法的理解和掌握，通過對數學歸納法的思想和解題步驟的總結歸納，加深對其應用的掌握程度。同時借助幾個典型的應用案例，開辟性地闡述了應用思路的來源、應用過程的分析和應該結果的分享。從使用結果來看，數學歸納法在數列問題中具有兩點優勢：(1)理解和掌握數學歸納法有助于對復雜問題有快速且有條理的去解決問題，尤其是數列的證明問題；(2)借助數學歸納法的應用，可以對思考問題的思維進行有效鍛煉，提高對內在邏輯的推演，提高綜合分析能力。