一類具有垂直傳播食餌捕食模型的動力學(xué)行為

蘇 強(qiáng),趙亞飛，呂貴臣

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

20世紀(jì)Kermack和Mckendrick[1]提出的傳染病倉室模型引起了流行病學(xué)家的廣泛關(guān)注，近年來，傳染病動力學(xué)的研究進(jìn)展迅速。經(jīng)典的方法是在明確某種疾病傳播機(jī)理的基礎(chǔ)上，建立該疾病傳播的數(shù)學(xué)模型，然后對模型進(jìn)行動力學(xué)行為分析，進(jìn)而給出疾病控制策略。

1 模型的建立及解的有界性

(1)

定理1 系統(tǒng)(1)所有滿足初值問題的正解是最終一致有界的。

證明令ζ=S+I+Y，沿系統(tǒng)對ζ求導(dǎo)，則

r-d1S-(d2-a)I-d3Y≤r-ηζ

其中η=min{d1,d2-a,d3}，由比較原理[8]可知，存在T>0，當(dāng)t>T時：

Ω是其最終有界集。

2 非負(fù)平衡點(diǎn)的存在性及局部漸近穩(wěn)定性

通過計(jì)算，容易得出系統(tǒng)(1)存在下列非負(fù)的平衡點(diǎn)：

E3=(S*,I*,Y*)

存在，其中：

由于系統(tǒng)是非線性自治系統(tǒng)，可利用Lyapunov穩(wěn)定性定理間接法[8]結(jié)合Routh-Hurwitz判據(jù)[9]研究非負(fù)平衡點(diǎn)E1、E2、E3的局部漸近穩(wěn)定。

定理2

3) 若k1>0，k2>0且k1k2-k3>0，則平衡點(diǎn)E3局部漸近穩(wěn)定。其中

(λ-λ*)f(λ)=0

其中：

由E2的存在性知

對于平衡點(diǎn)E3=(S*,I*,Y*)，系統(tǒng)(1)的線性近似系統(tǒng)在E3的特征方程為

λ3+k1λ2+k2λ+k3=0

其中：

由Hurwitz判據(jù)知，當(dāng)k1,k2>0，且k1k2-k3>0時，特征方程的所有特征根具有負(fù)實(shí)部，則平衡點(diǎn)E3局部漸近穩(wěn)定。

3 Hopf分支和系統(tǒng)的持久性

以下將考慮當(dāng)內(nèi)部平衡點(diǎn)E3出現(xiàn)Hopf分支的情況，取感染者死亡率d2作為分支參數(shù)。

1)k1(d2)k2(d2)-k3(d2)=0;

其中ki(d2)>0(i=1,2,3)。由條件1)直接計(jì)算可得：

(ρ1+ρ2-d3ρ3)

(2)

其中:

A1=c(βI*+d1)(b+I*)2

A2=(βI*+d1)(b+I*)2-Y*I*

A3=(β2S*-βa(1-p))(b+I*)3

A4=c-(βI*+d1)(b+I*)

因此式(2)等于零得Hopf分支參數(shù)值

接下來考慮條件2)，直接計(jì)算可得：

(k3(d2)-k1(d2)k2(d2))′=

因?yàn)閗1,k2>0，則

為了研究系統(tǒng)(1)的持久性，先引入以下定義和引理。

設(shè)X為完備度量空間，X0是開集并在X中稠密，X=X0∪?X0,X0∩?X0=?。T(t)為X上的連續(xù)半流且滿足如下性質(zhì)：

Tt°Ts=Tt+s,t,s≥0,T0(x)=x,x∈X

WS(A)=xx∈X,ω(x)≠?,ω(x)?A

引理1[10]假設(shè)流T(t)滿足以下條件：

1)T(t):X0→X0,?X0→?X0；

2) 存在一個t0≥0，使得對t≥t0時，T(t)是緊的；

3)T(t)在X中是點(diǎn)耗散的；

M=M1,M2,…,Mn

則T(t)是一致持久的，當(dāng)且僅當(dāng)對任意Mi∈M有WS(E1)∩X0=?。

通過運(yùn)用引理1，可以得到系統(tǒng)(1)的一致持久性，見定理4。

證明定義如下集合：

X0=S,I,YS>0,I>0,Y>0

?X0=S,I,YI=0,Y≥0

顯然，X0?X,?X0?X,?X0∩X0=?。

接下來證明WS(E1)∩X0=?。假設(shè)WS(E1)∩X0≠?，那么存在系統(tǒng)(1)的一個正解(S(t),I(t),Y(t))滿足

故存在ε>0和T>0，使得當(dāng)t>T時，

于是當(dāng)t>T時，由系統(tǒng)(1)的第2個方程得：

所以，

這與系統(tǒng)(1)解的有界性矛盾，故WS(E1)∩X0=?。因此由引理1知系統(tǒng)(1)是一致持久的。

4 結(jié)束語

本文建立了食餌患病且具有垂直傳播帶Holling Ⅱ功能反應(yīng)函數(shù)的生態(tài)流行病模型，對該模型進(jìn)行了動力學(xué)行為分析，得到了3個平衡點(diǎn)E1、E2、E3局部漸近穩(wěn)定、內(nèi)部平衡點(diǎn)E3出現(xiàn)Hopf分支和系統(tǒng)一致持久的充分條件。