論大學數學在計算機專業課中的應用

鄭素華 曾 鈺 韓曉艷

（青島工學院基礎教育學院，山東 青島 266399）

大學數學是理工類專業的基礎課程，是每一個理工科學生必須學習的內容。大學數學包括高等數學、線性代數、概率論語數理統計三門課，對后續專業課的學習非常重要。但在實際教學中，常常有同學感到疑惑，大學數學對以后的哪些專業課到底有什么幫助。由于大學數學老師都是數學專業出身，往往并不是十分熟悉這些聯系。本文通過三門課中的三個例子對這個問題加以討論，希望對學生學習和教師教學有所幫助。

一、微分方程在信號與系統中的應用舉例

我們在高等數學中專門有一章講的是微分方程，其中線性方程是其中的重點，同濟大學版本用了四節的內容介紹了一階線性微分方、線性方程解得結構、高階常系數齊次和非齊次線性微分的解法。在學習信號與系統這門專業課中，我們知道線性時不變系統是最常見的最有用的一類系統，描述這類系統輸入-輸出特性的是常系數線性微分方程。從微分方程出發，在時間域中研究輸入信號通過系統后響應的變化規律，是研究系統時域特性的重要方法即時域分析法。

例1設有二階系統的微分方程為y"（t）+5y'（t）+6y（t）=f'（t）求輸入信號f（t）=9e-t·ε（t）的零狀態響應。

解：由系統對應的特征方程λ2+5λ+6=0

得特征根λ1=-2，λ2=-3；將f'（t）代入原方程，有

從而，F（t）=3ε（t）-3e-tε（t）x2（t）=(e-2t-e-3t)ε（t）故零狀態響應

另外，分析工程上常用的周期和非周期信號的一些基本特性以及信號在系統中的傳輸問題時，傅里葉級數（對周期信號）和傅里葉積分（對非周期信號）是最基本的分析工具。當然，在各門專業課中常見的積分、微分表示的問題也非常多，限于篇幅，僅以此例說明高等數學是計算機各專業課的基礎。

二、矩陣運算在數字圖像處理中的應用舉例

矩陣在計算機專業課中的應用隨處可見，本文舉一個矩陣運算在圖形的幾何運算中的例子。在某種意義上來說，圖像的幾何運算是與點運算相對立的。圖像幾何算法中國的圖像平移、圖像鏡像、圖像縮放和圖像旋轉都是通過矩陣的運算實現的。

1、圖像平移

圖像平移就是使圖像沿水平方向或豎直方向平移。具體算法為：如果把坐標原點（0，0）平移到點（x0，y0）處，則變換公式為：

其中（x，y）是原圖像坐標，（x'，y'）是變換后的圖像坐標，圖像中的各像素點移動了距離。此過程可用矩陣的運算表示為：

2、圖像鏡像

鏡像是一個物體相對于一個鏡面的復制品。分為水平鏡像和垂直鏡像兩種。水平鏡像用矩陣形式表示為：

垂直鏡像用矩陣形式表示為：

其中W和H分別表示為圖像的寬和高。

3、圖像縮放

圖像的縮小和放大的定義是，將圖像中的點（x，y）經縮小和放大后其位置變為（x'，y'），則兩者之間的關系是：x'=ax，y'=by

a和b分別是x方向和y方向的放大率。a和b比1大時放大，比1小時縮小。當a=-1，b=1時，會產生一個關于y軸對稱的鏡像；當a=1，b=-1時，會產生一個關于x軸對稱的鏡像。此過程用矩陣表示為：

5、圖像旋轉

如果平面的所有點繞原點逆時針旋轉θ0，則它的變換公式為：

逆變換公式為：x'=x cosθ+y sinθ，y'=-x sinθ+y cosθ

用矩陣表示為：

另外，數學形態學是一門建立在嚴格數學理論基礎上的學科，它已形成了一種新型的圖像處理方法和理論，并成為計算機數字圖像處理的一個主要研究領域。

三、貝葉斯公式在神經網絡中的應用舉例——貝葉斯分類器

20世紀90年代以來的一些理論分析和實驗結果表明，很多情況下多層感知器的輸出可以看作是對貝葉斯后驗概率的估計。設所有訓練樣本的集合是X，其中屬于ω1類和ω2類的樣本的集合分別是X1和X，則訓練的均方誤差為：

把樣本x看作隨機變量，其概率密度函數為p（x），設兩類的先驗概率分別是 p（ω1）和 p（ω2），p（x|ωi），i=1，2 是兩類樣本的類條件概率密度，p（ωi|x），i=1，2 是樣本 x 屬于 ωi的后驗概率。設訓練樣本無窮大，且它們的分布反映真實的概率分布，則上面誤差就成為：

利用貝葉斯公式

上式可轉化為

這說明：當訓練樣本為無窮多時，以使均方誤差最小為目標訓練的神經網絡的輸出在統計意義上是對樣本后驗概率的最小均方誤差估計。

結語

由以上討論，我們知道大學數學的知識點在計算機各專業課中的應用是非常廣泛的.本文僅討論了高等數學、線性代數、概率論與數理統計中各一個知識點的應用，當然大學數學對計算機專業課的基礎作用不僅于此。比如，鏈式求導法則在深度學習的作用等，可以繼續加以討論。

另外，我們還可以討論大學數學對建筑類專業課和機械類專業課的重要基礎作用。從而，可以在教學中加以運用，正面回答同學們“學這些有什么用”的問題，進而提高課堂教學效果。