促進深度理解的概念教學策略

張優幼

【摘要】概念是學生學習數學的種子，所有學習活動都離不開對概念的理解和應用。概念學習是一種自主建構的過程，需要引發學生深度理解概念的本質屬性：在基礎性教學中建構，借助結構化的材料，對概念進行多元表征，經歷概念從過程到結構的理解;在支持性教學中應用，借助原型和變式，糾正概念的認知偏差，經歷概念的多重建構、解構和重構;在整合性教學中聯通，建立概念網絡節點的聯系，實現大單元的網絡建構。

【關鍵詞】概念教學 策略 建構? 深度理解

概念的準確建構，需要引發學生的思考，不斷對概念進行深度理解，在概念形成或概念同化的過程中，循序漸進地自主建構、調整優化認知結構，從而形成概念網絡。

一、指向建構的基礎性教學策略

數學概念的學習一般要經歷以下四個階段：概念操作—概念意象—概念定義—概念運用。這四個階段的學習是循序漸進、依次推進的。因此，在概念教學的初始階段，借助結構化的材料，在具體操作中建立表征，實現表征之間的轉換，經歷概念過程到結構的理解。

1.實現概念外部表征間的轉換

概念的形成，離不開建立相應的表征。萊什提出數學學習的五種表征：實物操作、圖像、文字符號、口頭語言、現實情境。動作表征是指學生的思維必須借助與實物或具體物的實際操作活動來達成;

圖像表征是指具體物消逝時學生能依據實物的影像在頭腦中制作心像來進行內在的思維活動;符號表征是指學生已經能直接對數學符號進行思維操作。對于同一個知識點，學生可以體驗顯性的言語表達，欲言又止的緘默知識，形象的實物對應抽象的文字符號。在這不同的形式中，任意兩種表征之間都可以相互轉化（如圖1）。在多種形式的表達中，不斷地反復感知相關內容。借助這多元化的表征，讓相同的數學概念在不同的情境中反復，從而遷移運用先前經驗，反思抽象、內化提升。

在多元表征中逐漸豐厚概念意象，積累活動經驗。事實上，學生經歷了數學本質一致性、多樣化的數學活動，在交流、討論與反思等活動的作用下，他們的原初經驗得以改造和提煉，完成了概念意象從低層次到高層次的生長和豐厚。

如整數乘法口訣的理解和教學，通過讀、寫、畫等數學活動（如圖2），將口訣的意義在多種形式中表達。當我們說學生理解了乘法口訣時，在一定程度上就是指他們能夠理解與應用乘法口訣的不同表征。

我們在概念教學中不應唯一地強調其中的任何一個成分，而應當更加重視各個方面之間的聯結，并應幫助學生逐步學會如何能夠依據情況與需要，在這些成分之間靈活地做出轉換。

2.經歷概念過程到結構的理解

學生在概念的表征和轉換過程中，還需要關注他們是否經歷從過程到結構的理解。學生的表征并不一定是概念的定義，而可能是與概念定義同構、擬同構成的表象或概念的自我修改形式。學生自我建構形成的與概念直接聯系的“整體性”認知結構，即概念意象。概念意象形成是把操作中獲得的具體動作與信息逐漸轉化成抽象定義的過程，包括相應的心智圖像，對其性質的認識和有關過程的記憶等。概念教學的一個主要目標就是要幫助學生建立起關于各個概念結構化的心理表征。

如在數概念的教學中，從小棒計數到人民幣寫數，再到半抽象的結構化計數器，最后對應抽象的數位順序表，是一個借助具體半結構化的材料理解數的建構過程。教學中以百元、十元、一元人民幣的動態飛躍計數，學生在想象中對應相應的數位寫數，在按數序寫數的過程中逐漸抽象成數位順序表，這是概念的意象，也是數概念逐步抽象的建構過程。大數的認識就是在萬以內數的認識基礎上，脫離了借助實物建構數位的過程，直接抽象成大數在對應的數位上認識數、讀寫數。

二、指向應用的支持性教學策略

當學生已經對概念有了一定的理解后，我們就應該進行支持性的概念教學，可以讓學生在變式中進一步抽象，糾正認知偏差，在應用中多重建構、解構和重構。

1.適時運用概念的原型和變式

原型在數學概念學習中具有積極作用，實際上是與數學概念具有自然概念的特征相聯系的。數學概念同時又是科學概念，是人工定義的概念。學習數學概念最終必須掌握其本質屬性，這些本質屬性在概念各種例子中是相同的，但由于許多無關特征的干擾，使得概念的本質屬性往往隱藏得很深，僅從原型的標準特征上難以把握其本質特征。因此，必須通過各種變式比較，排除由具體對象本身的非本質屬性所造成的干擾，才能充分揭示概念的本質屬性，真正形成概念。在概念學習的過程中，這些帶有大量的非本質屬性的概念實例就構成了概念的變式。

在三角形高的概念教學中，學生僅在原型的認識上很難理解高的本質。（如圖3，過A點畫BC邊上的高）當把三角形進行位置旋轉或形狀變換后，學生就會遇到困難。通過原型經驗引發變式，在變式中引發認知沖突，引導學生從定義出發，再次解讀概念，抽象出高的本質屬性：過一點畫垂線，從而排除圖形位置和形狀引發的概念非本質屬性的干擾，深度理解對邊和垂線的關系。

2.多重經歷概念的建構和重構

學生的概念學習不是對知識進行復制的過程，而是以自己原有的經驗系統為基礎，對新的知識進行編碼，通過新舊知識和經驗間反復的、雙向的相互作用過程，以自己獨特的方式對已有的建構進行選擇、修正，并賦予新知特有的意義。這個過程是別人無法替代的，其實質是建構、解構與重構的循環往復：學生用經驗建構自己的理解，而新知的進入使原有認知結構發生調整和改變，新舊經驗的沖突會引發原有觀念的轉變和解體，最后完成認知結構的重組。在建構新概念的過程中不斷建立聯系，這不僅是指同一概念不同表征之間的聯系，也是指不同概念之間的聯系。

例如：在“7的乘法口訣”練習過程中，學生通過對計算結果的比較，感悟前后兩句口訣之間的聯系，加深對算式和口訣的意義理解。以圖來解釋口訣，以形象來豐厚抽象的表征，引發學生對口訣的再一次表征，讓隱形語言顯性化。借助形的支撐，學生在幾何直觀中進一步解讀乘法的意義，也為長方形的面積學習積累經驗（如圖4）。有了這樣豐富的建構、解構和重構過程，學生對乘法意義、口訣結構的認知將更加穩固、完善。

三、指向聯通的整合性教學策略

學生對概念有了清晰的建構，還需要關注概念的前因后果，對概念進一步梳理，那么我們應該進行整合性的教學，促進學生深度理解、聯通相關概念，形成概念網絡。

1.建立概念網絡節點的聯系

概念的三個核心：是什么，為什么，怎么樣？概念教學的核心思想是在聯系中進行教學。概念學習需要與更多的知識建立更豐富的聯系，處在網絡里的概念節點可以組合成一個統一的家族，它們既有共同特征的抽象概括，又有具體例子的形象表征。聯系是概念網絡的重要組成部分，概念網絡具有縱向和橫向兩個維度，縱向反映概念的“層次性”，橫向反映概念的“豐富性”。因此，任何一個概念的教學，都不是孤立存在的，需要有橫向的比較和縱向的發展，這樣才有利于學生的意義建構，才能在解決問題時有效激活和應用。以一節課推想到一類課，以一類課帶動一個領域的教學內容，以一個領域的教學凸顯一門學科的教學價值。

例如：在多邊形的面積梳理中，從梯形的面積公式S=（a+b）×h÷2出發：當上底越來越長，和下底長度相同時，就成了平行四邊形S=（a+a）×h÷2=2a×h÷2=ah;當上底越來越短，長度為0時，就成了三角形S=（0+b）×h÷2=b×h÷2;當上底和下底長度相同，而且四個角是直角時，就成了長方形，高相當于寬，S=（a+b）×h÷2=（a+a）×b÷2=ab;而當a=b時，又成了正方形，S=a×a。根據這些圖形的特征，學生通過動態想象和公式推導，又一次溝通概念之間的聯系，把各個知識點聯結起來，長出一個立體結構的認知網絡（如圖5）。

2.大單元背景下的網絡化建構

概念的教學，還應該有大單元的視野，將概念教學的內容主題化，解讀不同階段的學習任務，從中比較共性、異性，實現教學結構化、網絡化，有利于概念的遷移、抽象和建構。以“類”區分：思考成“類”的整體性，突顯一類課的共性可遷移性;以“序”漸進：關注成“序”的遞進性。以學生為主體的數學活動，是一個不斷打破原有認知結構的平衡，發生同化或順應組建新的認知結構的過程。學生的認知序在結構化的整體教學中更容易得到遷移和發展。

例如：對于整數概念的教學，針對學生的認知特征，關注認知節點，應該對整個認知體系進行定位和解讀（如下表）。從中不難發現，學生的認知起點不同，學生對數的感知體驗是循序漸進的。因此在認識100以內的數時，借助直觀形象模型理解的數學概念，從直觀的材料出發，從逐一計數到按“群”計數，感知結構化的學習材料，溝通數概念間的前后聯系。

總之，在基礎性、支持性和整合性的概念教學中，應該圍繞著概念的本質屬性，關注學生在概念建構過程中的思維路徑，暴露學生的認知偏差，讓學生經歷多重的建構、解構和重構，建立概念間的聯系，形成概念網絡，凸顯概念內涵，促進學生對概念的深度理解。

【參考文獻】

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[2]朱樂平.“整數乘法口訣教學研究”校本教研活動方案[J].教學月刊（小學版），2012（10）.