威布爾帕累托(Ⅳ)分布：性質及應用

宋曉琳

摘?要?利用T-X變換技巧將威布爾分布及帕累托（Ⅳ）分布組合，構建了威布爾帕累托（Ⅳ）分布并研究極限，單峰性，香農熵，力矩等相關統計性質;利用R語言對兩組經典數據進行分布擬合;給出幾種模型的參數估計及擬合優度的比較，并根據似然比檢驗，對威布爾帕累托（Ⅳ）分布和其他幾種分布做對比分析，結果表明威布爾帕累托（Ⅳ）分布具有更優的擬合效果.

關鍵詞?威布爾分布; 帕累托（Ⅳ）分布; T-X分布; EM算法

中圖分類號?O212?文獻標識碼?A

Abstract?We used ?T-X transform techniques to combine the two distributions， built ?the Weibull-Pareto （Ⅳ） distribution and studied ?the related statistical properties， including the limit， unimodal， shannon entropy and moment etc. Two groups of classic data distribution were fitting by using the R language.The comparison of parameter estimation and fit optimization of several models were given.And according to the likelihood ratio test for Weibull-Pareto （Ⅳ） distribution and several other distribution analysis of the contrast，the results show that Weibull-Pareto（Ⅳ） distribution has a better fitting effect.

Key words?Weibull distribution; Pareto（Ⅳ） distribution; T-X family of distributions;EM algorithm

1?引?言

威布爾分布有單調的失效率，常用來模擬生命周期數據.帕累托分布及其推廣提供了非常靈活的厚尾分布族，可以用來模擬收入分配、金融、保險等相關領域的數據.威布爾分布廣泛應用于各種類型的數據建模，尤其在生存分析和可靠性分析中得到了廣泛的關注.然而，它無法刻畫具有非單調失效率函數的數據集，因此統計文獻對威布爾分布進行了各種形式的推廣[1-2].經典的帕累托分布是一類具有冪律概率尾的統計模型，常被用來模擬具有高度正傾斜和右厚尾數據[3].但是，帕累托分布的密度函數是單調遞減的，因而無法處理具有駝峰形狀的數據集.在各種類型的帕累托模型中，帕累托（Ⅳ）更值得關注，它是由Cronin[4]最早提出的.值得注意的是，大多數關于帕累托（Ⅳ）分布的分布理論都可以通過使用KOTZ等[5]提出的布爾分布獲得，也可以參考Harris[6]的早期文獻.帕累托（IV）模型的一個顯著特征是，它包含了帕累托密度族的最大參數.

最近，統計學家和應用研究人員對構建靈活的分布族非常感興趣，以便更好地對實踐中數據進行建模.Alzaatreh等[7]提出了一種生成連續分布族的新方法，并提供了幾種使用該技術構建的廣義族的例子.Kong等[8]提出貝塔-伽瑪分布，并考察了它的性質，如分布的可靠性、失效函數和應用.Akinsete等[9]研究了一個四參數的貝塔帕累托分布，該分布具有單峰和單調遞減的風險率，討論了其均值、均值偏差、方差、偏度、峰度和熵的表達式.Alzaatreh等[10]構造了威布爾帕累托分布，給出了威布爾帕累托分布的各種性質.Alzaatreh等[11]提出了伽瑪帕累托（IV）分布并研究了該分布的各種性質和分布特征.

參考文獻

[1]?KHAN M S， KING R . Transmuted modified weibull distribution： a generalization of the modified weibull probability distribution[J]. European Journal of Pure and Apllied Mathematics.2013， 6（1）： 66-88.

[2]?IBRAHIM B， ABDUL M.Transmuted burr type III distribution[J]. Journal of Statistics： Advances in Theory and Applications.2015， 14 （1）：37-47.

[3]?KLUGMAN S A， PANJER ?H H，WILLMOT G E. Loss models from data to decisions[M].New York： John Wiley & Sons， Inc，1998.

[4]?CRONIN D C. Function for size distribution of incomes： a further comment[J]. Econometrica， 1979， 47（3）： 773-774.

[5]?KOTZ S，BALAKRISHNAN N，JOHNSON N L.Continuous multivariate distributions.[M]. New York： John Wiley & Sons， Inc，2000.