二維非穩態對流擴散邊界控制問題的簡化算法

張國平 羅賢兵

摘?要?針對二維非穩態對流擴散邊界控制問題計算量大的問題， 提出了基于降階模型的最優實時控制方法. 利用POD（the Proper Orthogonal Decomposition）和奇異值分解以及Galerkin投影方法得到了具有高精度離散形式的狀態空間降階模型. 在所得的降階狀態空間模型中， 利用離散時間線性二次調節器方法設計出了最優控制器. 對流-擴散過程的控制模擬結果說明了所提方法的有效性和準確性.

關鍵詞?對流擴散邊界控制問題; 特征正交分解（POD）; 奇異值分解; 降維模型

中圖分類號?0242.1?文獻標識碼?A

Abstract?Boundary control of two-dimensional unsteady convection diffusion is a large-scale optimization problem， and ?an approach was presented for optimal control based on reduced-order model， which was derived from a discrete-time low-order state-space model with high accuracy by using POD（the Proper Orthogonal Decomposition）， singular value decomposition （SVD）and Galerkin projection. Optimal controllers were designed based on the low-order state-space models using discrete-time linear quadratic regulator （LQR） techniques. The controlling simulation results in the convection-diffusion process illustrate the effectiveness and accuracy of the proposed method.

Key words?convection-diffusion boundary control problem; the Proper Orthogonal Decomposition （POD）;singular value decomposition; dimensionality reduction model

1?引?言

對流擴散方程所描述的最優控制問題[1]廣泛應用于許多領域， 如：大氣污染控制問題， 流體控制問題等， 所以尋找穩定、高速實用的數值方法[2]， 有著非常重要的實際意義. 目前常用有限差分法[3]

和有限元法[4]解決此類問題， 然而一般情況下， 大多數的差分格式和有限元格式計算量比較大， 而且占用計算機內存多， 特別是對于高階的離散系統， 其計算量將呈指數規律增長， 計算成本將變得很大. 因此， 現在重要的問題是如何簡化計算，減少計算時間和內存容量，并確保解具有足夠的精確性.基于矩陣奇異值分解的特征正交方法（Proper Orthogonal Decomposition）能提供具有足夠高精度而自由度又較小的低階模型， 簡化計算，節省CPU和內存.

文中所介紹的特征正交分解方法[5]主要是提供一種有效逼近大量數據的最優逼近方法， 它的實質是在最小二乘意義下[6]找尋能代表已知數據的一組正交基.即一種求已知數據的最優逼近方法. 此外，由于POD方法是在最小二乘意義下最優的，所以該方法有完全依賴數據而不對數據作任何先驗假設的優點. ?在文獻[7]中以對流擴散反應過程為例，設計了基于低階模型的線性二次調節器的最優控制[7]， 將離散空間模型的階數大大地降低了， 其仿真實現了最優反饋控制的實時應用， 但是沒有對二維對流擴散方程描述的系統實現最優控制.

本文將特征正交分解應用于二維非穩態對流擴散邊界控制問題， 在文獻[7]的基礎上將低階模型與最優控制問題相結合提出了基于低階模型的二維對流擴散邊界控制問題. 首先采用有限差分法計算出由瞬時對流擴散方程解集構成的瞬像（snapshots）， 再利用奇異值分解[8]和POD分解方法獲得對流擴散瞬像的最優特征正交基， 再與伽遼金投影方法結合將高階的狀態空間模型轉化為精度較高的低階模型， 并結合線性二次調節器的最優控制方法， 得出基于無約束的線性二次調節器的最優反饋控制的輸入/輸出. 以二維對流擴散邊界控制問題為例， 結果表明在保證較高精度的優化結果的同時可大幅度提高求解速度.

5?結?論

本文應用POD方法提出了基于低階模型的對流擴散最優控制問題， 基于該方法， 從兩個層次上提高了計算和優化的效率， 從以上仿真可以看出， 全階模型在每個時間步上需要求解2499個方程， 但降階模型在每個時間步上只需要求解13個方程， 而且， 當空間步長變小時， 全階模型在每個時間步上需要解的方程的個數將會增多， 而降階模型在每

個時間步上還只是求解13個方程， 不但解決了對流擴散離散系統計算量大的問題， 并節省了計算機內存和計算時間. 在最優反饋控制中， 基于高階模型的狀態空間模型設計， 所需要的計算內存和時間都比較多， 相對于低階模型所需要的計算時間就要少得多， 且基于高、低階模型具有相同的控制效果. 這些都體現了降階模型的有效性和高效性.

參考文獻

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