利用Venn圖巧記概率的運算公式

夏天

摘 要 概率的運算公式比較多，難以記住。本文介紹利用Venn圖，來記住一些常用的概率的運算公式，其方法簡單直觀，易于掌握。

關鍵詞 概率 Venn圖 概率的運算公式

中圖分類號：O211 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.02.016

Use Venn Diagram to Remember the Probability Formula

XIA Tian

（School of Mathematics and Statistics， Guizhou University of Finance and Economics， Guiyang， Guizhou 550025）

Abstract There are many formulas for calculating probability， which is hard to remember. In this paper， we use Venn diagram to remember some common probability formulas， which is simple， intuitive and easy to master.

Keywords probability； Venn diagram； the operation formulas of probability.

概率的運算公式是概率論與數理統計課程中的最基本的公式，它貫穿于整個概率論與數理統計課程的教學中，其公式比較多，難以記住。本文介紹如何利用Venn圖，來巧記概率的運算公式的方法。

1 Venn圖

Venn圖就是用一條封閉曲線（通常是園或橢圓）直觀地表示集合及其關系的圖形，它能直觀地表示集合之間的關系。Venn圖是由十九世紀英國的數學家Wenn發明的。Venn圖可以直觀地表達集合之間的運算，比如：集合的并，交，差，補均可用Venn圖表達出來。

在概率論中，樣本空間S的子集A稱為隨機事件A，簡稱為事件。特別地，空集與樣本空間S分別稱為不可能事件與必然事件。由于隨機事件是樣本空間的子集，從而事件之間的關系與運算和集合之間的關系與運算是完全類似的。

事件與事件之間的關系可以概述如下（見文獻[1，2，3，4]）：

若事件A發生必然導致事件B發生，則稱事件B包含了A，記作或。

稱事件“A與B中至少有一個發生”為A和B的并事件。記作。

稱“A與B同時發生”這一事件為A和B的交事件。記作或。

稱“A發生B不發生”這一事件為A與B的差事件，記作。

稱“”為A的對立事件或稱為A的逆事件，記作。

從集合的觀點看，事件就是集合，事件與事件之間的關系就是集合與集合之間的關系，因此事件與事件之間的關系可用Venn圖表示。

圖1給出了事件和它的對立事件的Venn圖，它們的并就為樣本空間。圖2給出了事件的Venn圖，圖3和圖4分別給出了兩個事件的并和兩個事件的交的Venn圖，圖5給出了三個事件的并的Venn圖。

2 Venn圖在記憶概率的運算公式中的妙用

下面介紹如何利用Venn圖來記憶事件的概率的一些運算公式。首先我們回顧一下概率的描述性定義。

定義：在一次試驗中事件A發生的可能性大小的量度稱為事件A的概率，記為），規定 （見文獻[1]）。

既然事件的概率是量度事件發生的可能性的大小，它就是一個數；眾所周知，區域的面積也是一個數；此外，事件的概率與區域的面積有一些共同之處，比如：它們均具有下面的一些性質：

（1）非負性：即對任意的事件或任意的區域，均有或。

（2）可加性：即對于任意兩個事件或任意的兩塊區域，若，則有

或

因此，我們不妨將視為的面積，并且規定，。那么由Venn圖就可記住一些常用的概率運算公式。

綜上可見：對于一些常見的概率運算公式，都可以畫Venn圖來記住其公式，如果同學們將公式忘了，那么通過畫Venn圖就可以輕松地寫出公式。關于Venn圖，同學們都很熟悉，這種方法，簡單明了，易于掌握，本人在教學過程中，介紹過這種方法，同學們反映效果很好。

基金項目：這篇文章受到國家自然科學基金（11361013）的資助

參考文獻

[1] 吳傳生.經濟數學-概率論與數理統計（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 梁之舜，鄧集賢，楊維權等人.概率論及數理統計（上冊，第二版）[M].北京：高等教育出版社，1988.

[3] 蘇均和.概率論與數理統計（第二版）[M].上海人民出版社，2005.

[4] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.