巧設數學問題 拓展思維深度

劉彩霞

教學內容：人教版小學數學四年級下冊第90～91頁的例1、例2及相關內容。

教學目標：

1.在具體問題情境中，感受求平均數的需求。通過操作和思考體會平均數的意義，知道平均數的求法，體會平均數在統計學中的作用，并能夠用自己的語言解釋其實際意義。

2.培養學生深度思考的能力，增強合作交流的意識，提升學生的數學核心素養。

教學重、難點：理解平均數的意義，掌握求平均數的方法。在生活中理解平均數的意義及作用。

教學過程：

一、生活問題導入，激趣生疑

（多媒體出示資訊：《 2015年世界衛生統計》報告顯示：目前中國女性的平均壽命是77歲。）

師：老師看了這份資料很高興，因為我離這個年齡還很遠。可是小明卻很郁悶，因為他的奶奶已經76歲了，他為什么郁悶呢？

生：他覺得奶奶快去世了。

師：事實真像小明想的這樣嗎？這節課我們就一起來研究這方面內容。

二、分層探究，建構新知

1. 聯系生活，情境激趣。

師：我們班級要進行一場男女踢毽子對抗賽。現在邀請大家當裁判員，你們愿意嗎？

第一輪：

師：誰贏了，理由是什么？

生：男生隊贏，因為男生每人踢的都比女生多。

第二輪：

師：這回數據發生變化了，誰贏了？ 理由是什么？

生：女生贏，因為女生隊一共踢了64個，男生隊一共踢了60個。女生隊踢的總數比男生隊的總數多，所以女生隊贏。

師：非常好，這是利用總數進行比較。

師：目前兩隊踢成平手。第三輪誰贏呢？

第三輪：

師：這得怎么評判？比較兩隊總數，女生隊同意嗎？

生：不同意，女生隊比男生隊少了一個人，太不公平了。

師：不能比較兩隊總數，那怎么評判呢？

（先獨立思考，再同桌交流。）

師：誰想出好辦法了？

生：我們可以先求出每隊平均每人踢多少個？然后再比較。

師：真善于思考！的確，不管是4個人還是5個人，算出他們平均每人踢了多少個，再來比較，這個方案比較合理。

（板書問題：女生隊平均每人踢多少個？男生隊平均每人踢多少個？）

2.建構概念，認識平均數。

師：我們先來看看女生平均每人踢了多少個。不計算，你能估計一下嗎？

生：把高蕊踢的20個，給于水瑤一個，這樣女生每人都是踢了19個。

師：真有想法，現在我把這些數據放在統計圖中。（課件演示。）像這樣幾個不相同的數據，從多的里面移一些補給少的，使它們變得同樣多，數學中把這一過程叫做移多補少。（板書。）

師：剛才同學們利用移多補少的方法估計出女生平均每個人踢了19個。現在我們來實際計算一下。

（學生計算解答。）

生1：女生隊平均每個人踢了19個。

生2：我是先求出女生隊一共踢了多少個，再用總數除以總人數，就等于女生隊平均每個人踢了多少個。

師：要求女生隊平均每個人踢了多少個，就是用踢的總個數除以總人數。（板書。）

3.深度思考，體會平均數的意義和特點。

（1）感受平均數是一個虛擬的數。

師：通過計算我們得出19是她們4個人平均每人踢的個數，想一想這個19是某一個人的成績嗎？是什么？

生1：是把4個學生踢的總數平均分成4份得到的數。

生2：是平均成績。

師：注意觀察，在這4個人當中，有的人踢的個數要比平均成績——

生：高。

師：還有的人踢的個數要比平均成績——

生：低。

師：看樣子這個平均成績既不是這里最大的，也不是這里最小的。它反映的是女生隊踢毽子的——

生1：總體情況。

生2：整體水平。

（師板書：整體水平。）

師：這個19在數學中就叫做這組數據的——平均數。（板書課題。）

師：平均數是為了代表這組數據的總體水平而創造出來的一個“虛擬”的數。

師：誰來說一說19是哪幾個數的平均數？

生：18、20、19、19。

（2）體會平均數的取值范圍。

師：男生隊平均每人踢了多少個？你能估計這組數據的平均數嗎？這組數據的平均數應該在什么范圍？

生1：比20少，比15多。

生2：在15到20之間。

師：非常好，也就是說平均數比最大的數據小，比最小的數據大。

師：下面動手算一算，看看你估計得準不準。

（學生完成后指名板演。）

師：為什么除以5而不是除以4了呢？

生：因為男生隊一共5個人，所以得除以5。

師：17代表的是什么？

生：代表男生隊的整體水平。

（3）對比整體與個體。

師：5個男生的隊伍和4個女生隊伍的PK，誰贏了？為什么？

生：女生隊贏了，因為女生隊整體水平高。

師：事實勝于雄辯，人多不一定就勝利。5個男生的隊伍輸給了4個女生的隊伍。那是不是這里的男生個個都不如女生呢？

生1：男生隊雖然輸了，但并不代表每個男生都輸給女生。

生2：張銘陽就比于水瑤和辛佳瑩踢的都多。

生3：于水瑤踢的比周卓然少。

師：所以說，平均數代表的是一組數據的整體水平。整體水平高并不代表每個人的水平高，整體水平低并不代表每個人的水平低。

（4）感受平均數的變化。

師：如果女生再派出一名女生（陸婉婷）上場。情況又會怎么樣呢？討論一下：陸婉婷踢幾個，女生整體水平不變？

生：踢19個。

師：如果她只踢了4個，平均數會變化嗎？如果她踢了24個，平均數又會怎樣？由此，你能得出什么結論？

（自主探究，合作交流。）

生1：如果她只踢了4個，平均數是16。女生隊就輸了。

生2：如果她踢了24個，平均數是20，女生隊還贏。

（課件直觀演示，觀察比較。）

師：所以說平均數很敏感，它會隨著某個數據的變化而發生變化，在統計數據時一定要做到準確。

三、回顧新知，生活運用

師：現在誰來說說對平均數的認識？

生1：平均數是虛擬的數。

生2：它體現的是一組數據的整體水平。

生3：平均數的范圍是比最小的數據大，比最大的數據小。

生4：我知道可以用移多補少的方法求平均數。

生5：也可以用總數除以總份數求平均數。

師：求平均數的兩種方法各有各的長處，我們可以根據數據的特點來靈活選擇。

師：生活中有很多關于平均數的應用，你能找到嗎？

生：期中、期末考完試后，比較哪個班的成績好，就是比較平均分的多少。

師：如果你的成績低，就會把班級的平均分拉下去，為了班級的整體水平也要好好學習。

師：坐公交車時，標有120厘米以下兒童免票，為什么是120厘米呢？

生：因為這個身高的孩子都特別小。

師：差不多，這是根據某一年齡兒童的平均身高得到并制定的政策。

師：對于平均數的研究，你還有問題嗎？

（學生質疑。）

四、分層練習，學以致用

1.基礎練習。

下面說法正確嗎？正確的畫“√”，錯誤的畫“×”。

王悅5次跳遠的總成績是10m，她每次的跳遠成績肯定都是2m。（ ）

2.拓展練習。

（1）一條小河平均水深0.8m，小明身高是1.3m，下去會有危險嗎？

（2）選擇正確算式的字母填在括號里。

2014年小剛家各季度用水量情況統計圖

小剛家平均每月用水多少噸？ （ ）

A.（16+24+35+21）÷4

B.（16+24+35+21）÷12

C.（16+24+35+21）÷365

師：除以4，求的是什么？除以365呢？

3.思維訓練。

李想的語文、數學兩科的平均分是92分，英語考了89分，數學、語文、英語三科的平均分是多少？

五、實踐作業，課后延伸

師：回到開始的問題，如果小明學了今天的知識還會郁悶嗎？為什么？

生：不會了。平均年齡不代表全部，有的人還能活到100多歲呢。

師：要想長壽必須有個好身體，標準的身高體重十分關鍵。課后請統計全班同學的身高和體重，并計算出全班同學的平均身高和平均體重。再和自己的身高、體重比較，看看你發現了什么？

師：這是我國標準的身高體重數據，大家看一下。為了身體健康要加強運動，愿同學們都有健康的體魄。

反思：

平均數是統計中的一個重要的概念。在小學數學中，它常用于表示統計對象的整體水平，是在第一學段學生已經理解了平均分及除法運算含義的基礎上教學的。

《數學課程標準（2011年版）》特別強調從統計學的角度來理解。所以本節課筆者把教學重點放在平均數的意義上，創造性地使用教材，將例1、例2融合在一起，同時將所有人名都設計成本班學生的名字，構建數學思考活動，讓學生在具體問題情境中加深對平均數的理解和想象，形成良好的數感。傳統教學側重于從算法的角度理解平均數，這容易將平均數的學習演變為一種簡單的技能學習而忽略了平均數的統計學意義。所以筆者從概念本質入手，關注學生的學習和思考過程，深度建構，側重于探究為什么學習平均數，平均數概念的本質意義和特點是什么，平均數在現實生活中的統計價值等。個人認為本節課有以下亮點：

1.層層深入，引出平均數的重要性。

學生在充當裁判員的過程中，遇到不同的情況：第一輪比賽可以直觀看出數據的多少，直接評判；第二輪比賽無法直接判斷，可以通過計算總數判斷出輸贏；第三輪比賽通過“兩隊人數不同，不能用總數比較”這一思維的矛盾，促使學生進一步理解平均數的意義，進而發現運用平均數作比較的必要性。

2.對比中感受平均數的虛擬性。

平均數的統計學意義是它能刻畫和代表一組數據的整體水平。平均數不同于原始數據中的每一個具體數據，但又與每一個原始數據相關，表示的是這組數據的平均水平，這就是平均數的“虛擬性”。為了讓學生感悟這一點，教學時我讓學生將平均成績與每個學生的成績對比，發現平均成績并不是某一個學生的成績，其中有的學生成績有可能高于平均成績，也有可能低于平均成績，也有可能和平均成績相等。

3.輸贏中體會平均數的整體性。

平均數反映的是一組數據的整體水平，個人水平不能代表整體水平。在解決完5個男生和4個女生的PK后，我繼續提出問題：“男生輸給女生，那是不是5個男生個個不如女生呢？”學生進入深度思考，通過觀察數據并舉例對比發現：男生隊雖然輸了，但并不是每個男生都輸給女生，使學生進一步理解平均數代表的是一組數據的整體水平。整體水平高不代表每個個體的水平高，整體水平低也不代表每個個體的水平低。

4.一個數據的變化感悟平均數的敏感性。

在完成例題后，筆者又設計了一次數學活動：女生隊增加一名隊員，讓學生猜測和想象這位同學踢出什么成績，女生隊的平均成績不會變；什么情況下平均數會變化，又會發生怎樣的變化。這個數學活動把教學推向深入，學生在猜測和想象中感悟到一組數據的平均數會受到這組數據中每一個數據的影響，感悟到平均數的敏感性。

平均數是一個抽象的概念，怎么讓學生理解、接受是需要不斷思索的。執教完這節課，筆者覺得還有很多不足和遺憾。

第一，在引導學生尋找日常生活中的平均數時，因為課前沒有給學生提示和準備，所以學生思考需要時間，而且舉例單一。如果筆者在課件中設計出如平均速度、平均身高、平均產量、平均成績等詞語的舉例，就會打開學生思路。

第二，評價時，激勵語言的運用還不太豐富，語言表述還是不夠精準，還需要豐富教學語言。

（作者單位：嘉蔭縣第一小學）

編輯∕韓曉雨